●李培颖 (侯集高级中学 江苏徐州 221121)

又见“饮马问题”
——2013年重庆市数学高考理科试题第7题引发的探究

●李培颖 (侯集高级中学 江苏徐州 221121)

1 问题提出

例1已知圆 C1：(x－2)2+(y－3)2=1，圆C2：(x－2)2+(y－4)2=9，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 ( )

(2013年重庆市数学高考理科试题第7题)

图1

分析本题以圆为背景，考查解析几何中的最值问题.如图1，先求|PC1|+|PC2|的最小值.作点C1(2，3)关于x轴的对称点C3(2，－3)，则

因为两点之间线段最短，所以|PC3|+|PC2|的最小值为|C2C3|的长度，此时点P 在P0处.又因为点P到圆C1上的点M的距离最小值为|PC1|－1，到圆C2上的点N的距离最小值为|PC2|－3，所以

故选A.

另外，本题还可以选择作点C2关于x轴的对称点解决，同样可以得到结果.

求解本题的关键在于“作点C1(2，3)关于x轴的对称点C3(2，－3)”，那么，这一解题切入点是怎样得到的呢?以往解决过类似的问题吗?我们先从一个典故说起.

2 追本溯源

相传，古希腊一位将军遇到一个问题：如图2，从A地出发，到笔直的河岸边(直线l)C'处去饮马，然后再去B地，走什么样的线路最短呢?将军百思不得其解，于是向久负盛名的学者海伦求教.海伦给出的办法是“利用轴对称化折为直”的思想，如图3，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的2侧，作出点B关于直线l的对称点B'，则

从而利用“两点之间线段最短”加以解决：当C'在C 处，即点 A，C，B'共线时，线路最短，其值为 AB'的长度.由于这段典故，上述问题成了一个经典名题，后人称为“将军饮马问题”.

不难发现，例1的求解方法与“饮马问题”的“利用轴对称化折为直”的思想如出一辙.尽管“将军饮马……