●李金兴 (萧山中学 浙江杭州 311201)

用导数研究函数图像与性质时的几个细节
——以2013年部分函数高考题为例

●李金兴 (萧山中学 浙江杭州 311201)

导数作为研究函数的重要工具，能对一些函数的单调性作“精确”地描述.但导数并非万能，有些函数的导数自身比较复杂，在用导数研究函数的图像与性质时，还需要综合运用“数形结合、等价转化、放缩变换、分类讨论”等方法才能简化解题过程.解决这类问题需要在一些细节的处理上积累经验.本文以2013年部分函数高考题为例，归纳几个使用导数的细节，以期抛砖引玉.

细节1利用图像的对称性，简化解题过程

(1)图像的对称性与函数的极值.

图形直观显示，如果函数y=f(x)的图像关于直线x=x0对称，则x0是f(x)的极值点.利用这一细节，为研究四次函数带来便利.

例1若函数f(x)=(1－x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值为＿＿.

(2013年全国数学高考理科试题第6题)

图1

分析由图像关于直线x=－2对称，易知函数有4个零点：－5，－3，－1，1，从而可设

f(x)=(1－x2)(x+3)(x+5)，即f(x)=(1－x2)(x2+8x+15)，于是f'(x)=－4(x4+6x2+7x－2).又由图像关于直线x=－2对称，易知f'(－2)=0(－2是f(x)的极值点，如图1所示)，因此

反思本题利用四次函数图像的对称性，不仅简洁地求得了解析式，而且克服了对导函数(是一个三次函数)分解因式的困难.由对称性得到－2是函数f(x)的极值点是成功解题的关键.当然，如果不用导数，而用不等式方法也能求出f(x)的最大值，过程如下：

例2已知a∈R，函数f(x)=x3－3x2+3ax－3a+3.

(1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;

(2)当 x∈［0，2］时，求|f(x)|max.

(2013年浙江省数学高考理科试题第22题)

分析(1)略.

(2)因为 f'(x)=3(x2－2x+a)，所以

①若a≤0 或a≥1，则f(x)在［0，2］上单调，从而

②若……