王丽娟,张雪霞

(太原科技大学 应用科学学院,山西 太原 030024)

近年来,学者对多裂纹尖端场问题作了大量研究[1],而对于三裂纹问题的研究相对较少。王敏中等[2]采用复变函数方法把无限宽板共线裂纹处理成Rieman-Hilbert连接问题,得到了裂纹尖端的应力强度因子;杨丽星等[3]采用复变函数法研究了具有3条不对称裂纹的圆形孔口的平面弹性问题,得到了裂纹尖端应力强度因子的解析解;Collins等[4]采用复变函数法分析了共线多裂纹远端受均匀拉伸载荷下的应力强度因子,进而估算疲劳裂纹扩展寿命。上述的研究都是以裂纹尖端附近区域的应力场和位移场的基本方程为出发点,基于复变函数理论、积分变换、弹性力学守恒定律以及复变—变分方法经过一系列推导获得的。目前,应力强度因子的解析法仍停留在理想模型和简单的边界条件上,对于实际工程中复杂载荷作用下的表面裂纹有限平板模型都难以适用。因此,寻求更好地反应实际裂纹分布的多裂纹尖端场的解析解，对于断裂理论研究和工程应用都有重要的意义。

本文利用复变函数方法,研究了裂纹在远场均匀分布载荷作用下，正交各向异性复合材料板三裂纹尖端应力场问题,得到了Ⅱ型三裂纹尖端附近的应力强度因子和应力场的解析表达式。所得结果便于计算,对于复合材料断裂理论研究具有重要意义。

1 力学模型

如图1所示,设无限大线弹性正交各向异性纤维增强复合材料板,2个坐标轴平行于正交各向异性体的材料弹性主方向,复合材料板含裂纹长为l,裂纹尖点距离坐标原点分别为h和h+l的均匀分布三裂纹,在远场受均匀分布剪切力τ作用。

图1 三裂纹

正交各向异性板裂纹尖端应力场问题归结为求解式(1)偏微分方程的边值问题[4]。

(1)

其中U为应力函数,τ为剪切力,σ为应力。

2 Westergaard应力函数

由文献可知,利用复变函数法求三裂纹问题的关键在于能够构造一个保角映射函数,将数学平面上的简单边界保角映射到物理平面上包含三裂纹的无限大平面。为此,构造(2)式保角映射函数

(2)

此映射将z(=x+iy)平面(物理平面)上带均匀分布三裂纹的无限大平面保角映射(见图1)到w(=ξ+iη)平面(数学平面)上的周期平行裂纹(见图2)。

图2 周期平行裂纹

选取westergaard应力函数

(3)

j=1,2; n=-1,0,1。

当|x|→∞,|y|→∞时，Uj=τ(对固定的n)；

当-a

(4)

情形1:Δ>0。

将式(4)代入式(1)的边界条件,得

a1=0, a2=0,

(5)

情形2:Δ<0。

将式(4)代入式(1)的边界条件,得

b1=0, b2=0。

(6)

将式(5),(6)代入式(1)，得到满足控制方程和边界条件的实值解析解U,偏微分方程边值问题(1)有解。

3 应力强度因子

考虑到裂纹是周期裂纹,在每个裂纹的尖端附近,定义应力强度因子

(7)

j=1,2；n=-1,0,1。

将式(3)代入式(7),得到

(8)

其中，

为形状因子,若记

4 应力场和位移场

由式(7),在裂纹尖端附近,有

当zj→a+nωi时,

Uj(zj)=

(9)

利用特征根关系式(5)～(8),得到位移场公式可以统一利用极坐标表示。

(10)

5 小结

本文主要研究正交各向异性复合材料板在远场受均匀分布拉应力作用的Ⅱ型三裂纹尖端场问题。利用保角映射,引入westergaard 应力函数,利用复变函数方法和待定系数法,把力学问题转化为偏微分方程边值问题。借助于不同的边界条件,解含有未知参数的方程组,并确定应力函数。定义了三裂纹尖端处的应力强度因子,推导出正交各向异性复合材料板Ⅱ型三裂纹尖端附近由应力强度因子表示的应力场和位移场的解析表达式。

参考文献:

[1] WANG Gengsun. The interaction of multiple rows of periodical cracks[J]. International Journal of Fracture, 2001, 11(2): 93-100.

[2] 王敏中,王炜,武际.可弹性力学教程[M].北京:北京大学出版社,2002.

[3] 杨丽星,刘官厅.带三条不对称裂纹的圆形孔口问题的应力分析[J].内蒙古师范大学学报:自然科学汉文版,2009,38(6):616-622.

[4] COLLINS R A, CARTWRIGHT D J. On the development of strip yield model for assessment of multiple site damage[J]. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 1996, 25: 167-178.

[5] 杨维阳,李俊林,张雪霞.复合材料断裂复变方法[M].北京:科学出版社,2005.