刘诗梦，高建芳

(哈尔滨师范大学)

0 引言

近几十年来有许多文章是关于延迟微分方程(DDEs)解析解的振动性的研究［1-3］.产生这些研究的原因是此类方程在物理学、生物学、生态学及人类某些传染病蔓延等领域内建立的数学模型.有关这些应用的详细内容，可以阅读文献［4-7］.

近几年也有一些关于自变量分段连续的延迟微分方程(EPCAs)的数值解的振动性的研究，如文献［8-13］.这些文章主要是利用θ-方法和龙格-库塔方法来获得数值解振动的条件.但是目前国内外很少有对纯延迟微分方程的数值解的振动进行的研究.

1 预备知识

考虑延迟微分方程

定义1.1［14］如果x(t)有任意多个零点，则称x(t)是振动的，否则称x(t)为非振动.

定义1.2［14］如果延迟微分方程(1)的所有解都振动，则称方程(1)振动.

定义1.3［14］如果实序列{xn}既不是最终正的也不是最终负的，则称{xn}是振动的，否则称{xn}为非振动.

定理1.4［14］考虑差分方程

那么以下条件等价:

(1)方程(2)的每个解振动;

定理1.5［14］考虑延迟微分方程

那么以下条件等价:

(1)方程(3)的每个解振动;

利用文献［14］中的方法对延迟微分方程(1)做以下等价变换，令

则方程(1)化简为

因此，方程(1)的解x(t)振动等价于方程(4)的解y(t)振动.

引理1.6［14］延迟微分方程(1)的所有解振动的充要条件是，其中a=qepτ.

引理1.7 对x＜0，有

证明 构造函数f(x)=(2-x)ex-(2+x)，x＜0，有

f'(x)=-ex+(2-x)ex-1=ex(1-x)-1令f'(x)=0，得到

即f(x)=(2-x)ex-(2+x)＞0，

2 数值解的振动

2.1 显式欧拉法

这一节将研究显式欧拉法即θ=0时的θ-方法.对方程(4)应用显式欧拉方法，得到差分格式，其中是正整数.yn，yn-m分别是y(t)和y(t-τ)在tn处的近似值.

定理2.1 考虑差分方程

证明 方程……