汤小燕，罗东升

(遵义师范学院)

1 预备知识

Banach空间X中的时变双曲型发展方程的初值问题:

其中无界闭稠定线性算子族{A(t)|t∈［0，T］}满足双曲型假设.Pazy，Kato等人［2-4］讨论了算子族{A(t)|t∈［0，T］}满足较强假设条件下Y值解和古典解的存在唯一性，然后又在较弱条件下引进温和解，给出温和解存在的一些充分条件.在该文中引进介于温和解与Y值解之间的广义解——强解，给出强解存在的充分条件.

设X和Y是Banach空间，其范数分别是‖·‖，‖·‖Y，Y是X的稠子空间且连续嵌入到X.对任意t∈ ［0，T］，A(t)是X上C0半群{St(s)，s≥0}的无穷小生成元.双曲型假设(H)*:

(H1):{A(t)|t∈［0，T］}是稳定族，其稳定系数是M，ω，

(H2):对任意t∈［0，T］，空间Y是A(t)-容许，(t)是A(t)在Y中的部分，算子族(t)|t∈［0，T］}在Y中是稳定的，其稳定系数为，，

(H3):对t∈［0，T］，D(A(t))⊃Y，且A(·)∈C(［0，T］，B(Y，X)).

定理1.1 (见文献［2］推论 5.2.27)如果Y是自反Banach空间，算子族{A(t)|t∈［0，T］}满足假设(H)*，那么在X上存在唯一的发展系统{U(t，s)，0 ≤s≤t≤T}，满足(E1)、(E2)、(E3)，且

(i)任意 0 ≤s≤t≤T，U(t，s)Y⊆Y，‖U(t，s)‖B(Y)≤e(t-s)同时U(t，s)是弱连续的.

(ii)任意ξ∈Y，0≤s＜t≤T=A(t)U(t，s)ξa.e.，且是弱连续的.

定义1.2 函数x:［0，T］→X称为初值问题(1)的强解，如果:

(i)x∈L1(［0，T］，Y)∩C(［0，T］，X).

(ii)x在［0，T］上几乎处处可微，dxdt∈

2 时变双曲型发展方程的强解

情形1:当f=0时，考虑问题:

的强解.

命题2.1 如果Y是自反Banach空间，算子族{A(t)|t∈［0，T］}满足假设(H)*，那么对任意x0∈Y，初值问题(LE)1有唯一的强解，且

证明U(·，0)x0∈C(［0，T］，X).由命题1.1 中(i)，对任意0 ≤s≤t≤T，U(t，s)Y⊂Y，且U(·，0)x0在Y空间中是弱连续的(见文献［1］)，函数x是强可测的，且

故x∈L'(［0，T］)，Y).

由定义1.1 中的(ii)，函数x(·)=U(·，0)x0是几乎处处可微的，且

由假设(H)*知.由发展系统的唯一性，问题(LE)1有唯一的强解x.情形2 当f=f(t)时，考虑问题:

的强解.

命题2.2 如果Y是自反Banach空间，算子族{A(t)|t∈［0，T］}满足假设(H)*，对任意f∈L1(［0，T］，Y)，x0∈Y，那么初值问题(LE)2存在唯一的强解x，且

证明 首先由温和解的定义，易证问题(LE)2有唯一的温和解x∈C(［0，T］，X).其次，由命题2.1，U(t，0)x0，t∈［0，T］是问题……