曹 燕， 吕小芬

(湖州师范学院 数学系, 浙江 湖州 313000)

1 引 言

设D是C中的单位圆盘,D上全纯函数的全体记作H(D). 定义空间

设φ是[0,1)上的正规权函数. 给定φ和0

定义混合模空间Hp,q,φ是指H(D)中满足‖f‖p,q,φ<∞的函数f的全体. 这里

对任意f∈H(D), 胡[1]指出

(1.1)

2 主要结论

定理1设φ是正规权, 0

(i)Lg∶H1,∞→Hp,q,φ是有界的;

(ii)Lg∶H1,∞→Hp,q,φ是紧的;

(iii)g∈Hp,q,(1-r2)φ.

进一步地, ‖Lg‖H1,∞→Hp,q,φ≅‖g‖p,q,(1-r2)φ

证(ii)⟹ (i) 显然成立.

(i)⟹ (iii). 令f(z)=z,则f∈H1,∞且G(z)-G(0)=Lgf(z)∈Hp,q,φ, 其中G是g的一个原函数. 由(1.1) 知g∈Hp,q,(1-r2)φ, 且

‖g‖p,q,(1-r2)φ≅‖G(z)-G(0)‖p,q,φ=‖Lgf‖p,q,φ≤C‖Lg‖H1,∞→Hp,q,φ.

(2.1)

对f∈H1,∞, 由于Lgf(0)=0, 结合(1.1) ,有

→0 (j→∞).

从而可知,Lg∶H1,∞→Hp,q,φ是紧的. 进一步, 对任一f∈H1,∞, 由(1.1) 可知

结合(2.1) 我们有‖Lg‖H1,∞→Hp,q,φ≅‖g‖p,q,(1-r2)φ.

定理2设φ是正规权,g∈H(D), 则下列条件等价:

(i)Lg(H1,∞)⊆Bφ,0;

(ii)Lg∶H1,∞→Bφ,0是有界算子;

(iii)Lg∶H1,∞→Bφ是紧算子;

(iv)Lg∶H1,∞→Bφ,0是紧算子;

(v)G∈Bφ,0, 其中G为g的一个原函数.

证(ii)⟹(i)和(iv)⟹(iii)显然成立. (ii)⟹ (v). 类似于定理1, 令f(z)=z, 则G∈Bφ,0且

(2.2)

(v)⟹(ii). 对任意f∈H1,∞

(2.3)

因此h(0)=0且对任意z∈D, 当j→∞时,

所以f′(z)g(z)=h′(z). 因此,

综上所述,Lg∶H1,∞→Bφ,0是一个闭算子. 由闭图像定理得,Lg∶H1,∞→Bφ,0有界.

两者矛盾. 所以G∈Bφ,0.

其中C 与ε无关. 从而可知Lg∶H1,∞→Bφ,0是紧算子.

[参 考 文 献]

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