徐沥泉

(无锡市教育科学研究院，江苏无锡214001)

1 引言与背景简介

美国数学评论(MR)制定的国际通用数学学科分类(the Mathematics Subject Classification)、简称 (MSC) ，2010版，把数学方法论(学)正式列为一个专门的数学分支类，其代号为00A35，Methodology of mathematics， 并与教授法didactics紧密相联.本文就以此为据，就数学方法论(methodology of mathematics)(下简称MM)在我国数学教学中的应用，作一概述.因为早在1970年代，我国就把数学方法论从科学方法论和科学哲学中分离出来，作为一个单独的数学分支.徐利治先生率先提倡用波利亚的数学教育思想和方法论模式指导数学教学.在他的倡导下，大连理工大学、南京大学、曲阜师范大学等许多大学数学教师先后组织读书讨论班，系统地研究Polya，有意识地应用方法论的观点设计教学，指导改革.

如所知，20世纪30代起，美籍匈牙利数学家、数学教育家Polya致力于运用方法论模式切实地提高美国的数学教育教学水平，使美国一跃而成为世界上的数学六强和两大数学超级强国之一(当然还有其他许多方面的原因).正是他的数学探索法的研究也为尔后美国的“问题解决”的现代研究奠定了必要的基础.“文革”之前，Polya的数学教育思想在中国就有了研究与传播；“文革”后，这种研究与传播明显地活跃起来.我国科学出版社还专门组织翻译出版了波利亚的《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想》3本经典著作[1-3].但在此以前并没有人系统而明确地提及数学方法论这一概念，尤其是没有把它作为一个数学分支从科学方法论中独立出来.直到徐利治把数学方法论正式定义为一个科学分支，并于1983年出版了他的专著《数学方法论选讲》[4](注，而后又出版了《数学方法学概论》[5]).在我国首开数学方法论研究与应用的先河.徐利治教授现身说法，亲自到长春、大连、南京、武汉等地讲演数学方法论和波利亚的数学教育思想.1987年8月在大连理工大学组织召开了“全国数学方法论与数学史学术研讨会”(下称大连研讨会)，徐利治教授作了“数学方法论系列演讲”.1988年徐利治教授致信给正在筹备“波利亚数学教育思想与数学方法论研讨会”的首都师范学院数学系周春荔教授和天津特级教师杨世明等老师，提出：“要用波利亚的数学教育思想改革教材和教学法，培养波利亚型的数学工作者.”会议是1989年5月在北京召开的，题为“全国第一届数学方法论与Polya数学教育思想学术研讨会”(下称北京研讨会).这是理论背景.我们再来看一下当时的现实背景.

由上可知数学方法论应用于数学教学的探讨和理论研究自大学始，但是它的教育实验(即实践活动)却首先在我国的高中阶段开始实施.

20世纪80年代，随着改革开放的深入，我国中学数学教育改革也出现许多新事物.在数学教材方面，有美籍华裔数学家项武义与国内有关专家合作编写的中学数学《实验教材》.在数学教学法方面，有上海的“读读、议议、讲讲、练练”的八字教学法、“引导发现法”，湖南的“引导探索法”，中科院心理所的“自学辅导教学法”(主要在初中阶段进行)等新的教学法更是如雨后春笋般地出现，但不久又销声匿迹了[6].

另一方面，我国于1977年恢复高考，为渴望知识、有志于攀登科学技术高峰的青年提供深造的机会.但因考生多招生少，毕业后就业难等问题，使得正常的择优录取，逐渐兑变为以应付升学考试为目的的教育思想和教育行为的应试教育.它是一种畸形的教育模式，对数学教学法的改革造成很大冲击.

这两件事引起教育界有识之士和数学老师的反思：新的数学教学法自身有什么不足？如何既提高学生素质又避免应试教育的弊端？

相继出席了大连研讨会和北京研讨会的老师们逐渐形成了这样一个构想：用数学方法论的观点指导数学教育改革，即孕育了贯彻数学方法论的数学教育思想(下称MM教育思想).江苏无锡的与会者建议把MM教育思想与无锡地区当时正在进行的数学教育改革结合起来，进行题为“贯彻数学方法论的数学教育方式，全面提高学生素质”数学教育实验(下称MM课题或MM实验).

该设想得到无锡市教育行政部门的支持.时任无锡市教委主任周稽裘先生亲自部署：由无锡市教育科学研究所负责实验设计与组织实施；协调市教研室、江南大学·教育学院、市数理学会抽调骨干教师组成MM课题组、在高中阶段随机抽取实验学校和实验班进行实验.

在时任江苏省教委主任袁相碗(原南京大学副校长)和副主任周稽裘的支持与推荐下，1991年该课题被列为全国教育科学“八五规划”课题(全国教育科学(八五)规划课题批准通知，教科规办(1991)13号)，和江苏省教育科学九五规划重点项目(项目编号为苏教科规(重)字(九五)018号).MM课题的后续研究项目也是江苏省十五、十一五规划的青年专项课题(江苏省教育科研重点项目).

1994年第一轮实验结束以后，通过了由江苏省教育委员会委委托的，以王梓坤院士为首的专家委员会(其成员有徐利治、林夏水、张奠宙、马明等)的鉴定，并给予高度评价.鉴定意见如下：

由无锡市教育科学研究所和无锡市MM课题组设计并组织实施的《贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质》数学教育实验(简称MM课题或MM实验)，在1989年—1994年实验期间，取得了一系列重要成果.

该实验在深入分析了二十世纪八十年代以来我国数学教育教学改革得失的基础上，学习和借鉴了国内外数学方法论研究的理论成果，并把它与我国数学教育改革的实践相结合，率先在较大范围内成功地进行了具有教育科学形态的数学教育实验，应该说是数学教育方面的一个创举.

该实验充分考虑了数学教育的文化教育功能和技术教育功能，把在数学教学中，提高学生的一般文化素养和数学品质作为实验目标，有其坚实的理论基础，实验方案中对MM因子的分解、转化，可控变量和基本操作的设计，状态变量的控制以及指标体系的制订与评价，是比较科学的，对无关变量的控制是有效的.

该实验的观察资料和数据均来自实验本身，对实验结果的定性概括是适当的，统计分析是严谨的，实验结果支持了它的研究假设.

此外，该实验所确证的MM数学教育方式，只需对原有教材适当地进行教学法加工，操作简便，能与各种优秀教学方法协同使用，既能减轻师生负担，又能提高教学效益，从而大幅度提高数学教学质量.

因此，鉴定组认为，这种数学教育方式在大、中、小学以及职教和成人教育中，都是可行的，有效的.值得继续实验和大力推广.

中国教育报以“一项数学教育实验通过专家鉴定”为题发布了该鉴定消息(第2089号 1994年12月31日，教育科学版 第74期，马思援)

“MM实验”通过专家鉴定，标志着一种新的数学教育方式(简称MM教育方式)的正式诞生.因此，MM实验便进入一个新的阶段——边实验边推广阶段.

由于数学方法论的原则性高，所以它的应用广泛而深入.不久就在我国的大学数学教学中得到推广应用.

2 什么是MM教育方式，为什么要实施这种方式，怎样操作效果如何？

“贯彻数学方法论的教育方式”并非在课堂上向学生讲授数学方法论或数学观，而是把数学观、数学方法论的思想有机地融入数学教学中.为此，设计者把MM教育方式转化为可操作的、可评价的一种课堂教学方式.MM方式是怎样提出来的？为什么要在数学教育中贯彻这种方式？

2.1 第一，我们要搞清楚什么是数学方法论？

20世纪下叶，国内外一些著名数学家都致力于对数学哲学的研究.他们从本体论与认识论的角度提出了“数学是一种模式真理”的数学观.按照这种观点，数学模式在本体上具有两重性.就其内容而言具有明确的客观意义，它是思维对于客观实在的能动反应，任何数学模型都有它的现实原型；就其形式结构而言数学并非客观世界中的真实存在，而只是创造性思维.亦即理性的创造物.从前者而言，数学是人们所发现的；从后者而论，数学又是人们所发明的.而数学的每一次重大的发现和发明，都是以决定数学向本质上的崭新状态过渡的杰出成就为标记的.这中间伴随着认识论与方法论上的突破，伴随着数学思想方法的革命性的变革.有一门学问就是专门以数学的思想方法作为研究对象的，它就是数学方法论.徐利治教授指出：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问.”

2.2 第二，我们要搞清楚数学教育与数学方法论有什么关系？

从数学方法论观点看，数学具有两重性，它既是一门系统的演绎科学(从最后被定型的数学来看)，又是一门实验性的归纳科学(从创造过程中的数学来看).因此数学教学应充分体现数学的这两个侧面，使学生受到全面的数学教育，忽视数学的归纳性的一面是不完全的数学教育.

另外，运用数学方法论的观点和高级神经活动心理学已有的研究成果，分析数学思维，我们看到，数学思维也有两重性，一类是进行逻辑推理的抽象思维；另一类是进行合情推理或似真推理的形象思维.这后一类思维的具体表现形式是观察、实验、类比、联想、不完全归纳等.它们不仅在数学的发现过程中起着十分重要的作用，而且广泛应用于社会生活之中.因此，我们不应该把数学单纯地理解为一门工具科学，而应该把它当作一种文化形态来对待，在数学中致力于提高人们的一般文化修养.当然要充分发挥数学的这种文化教育功能，就必须采用一定的方式来组织教学.

Polya曾以解题为例，说明离开似真推理，人们无法接受数学中抽象结论的道理.这个例子说的是他在证明Carleman不等式，

的时候，他用一个等式来定义正数ci=c1c2…cn=n+1n，把它镶嵌到序列ai之中，从而

证明本身是非常简洁而巧妙的，但是这里推理的关键是定义序列c1,c2,c3,…，学生对此就无法理解，会感到“它是突然从天而降的”.这就是我们接受抽象结论的困难所在.古人云：“象显可征，虽愚不惑；形潜莫睹，虽智犹迷”，就是这个道理.因为人们无法了解到它的来源与构想，只能被动地承认其正确.若整个数学教材基本上是按这种体系编写，教师又不对它进行教学法加工，学生就只有被动地接受与理解这些法则.靠套公式，模仿例题而日复一日、年复一年地机械操练.这对他们智力水平的提高很难有成效.学生的智力得不到发展，而所学内容却不断深化，长此以往，他们就会对数学产生厌恶情绪.

Polya指出，要使学生真正理解与掌握数学中的抽象结论，就必须采用一种所谓“启发式”的叙述形式，把抽象结论的来龙去脉完全剖析给学生.他以c1,c2,c3,…这个序列的发现为例，详细叙述了他是如何观察、联想、猜测到嵌入这个序列后才可以用平均不等式来加以证明.起初想直接用平均不等式来证明，却出师不利.这就好比磨刀时要蘸水增大刀刃与磨刀石之间的接触面一样；在ai间镶嵌ci之后，可能会缩小ai间的差异.因为平均不等式当且仅当ai全相等时等式成立，当ai不全相等时，两边是不同的，而当ai很不相等时，两边的差距就会更大.故想到构造补偿因子ci来解决矛盾.

这一典型例子基本上反映了数学中发明创造的一般过程.提示了任何真理的出现，都得经历一番磨练.说明了在失败的现实中往往蕴含了成功的全部信息，关键是能否破译事实所提供的那些无形的密码.

由此可见，学习数学的困难，并不是它本身的抽象形式；而是离开了它抽象的背景，离开了用似真推理来发现它的过程，离开了在受到挫折以后对反馈信息的分析，离开了生动活泼的创造发明的活动机制.所以我们认为要把数学方法论的原则贯彻到数学教学中去.

2.3 怎样操作？

那么，到底怎样在数学教学中恰当而有效地组织这种方式？

①在数学教学过程中，教师遵循数学本身的发现、发明与创新等规律，遵循学生的身心发展和认知规律；师生自觉地遵循“教学·研究·发现”同步协调原则和“既教(学)证明又教(学)猜想”的原则；充分发挥数学的科学技术功能和文化教育功能；教师恰当地不失时机地对学生进行数学的返璞归真教育、数学的美育、数学发现法教育、数学家优秀品质教育、数学史志教育，进行数学中的合情推理、逻辑推理和一般解题方法的教学；并引导学生不断地自我增进一般科学素养，社会文化修养，形成和发展数学品质，全面提高学生素质.这就是数学方法论的数学教育方式.下面我们给出经中国社会科学院资深研究员林夏水先生修改以后，MM方式基本操作表的最新表述(同[6]，如表1).

表1 MM基本操作表

注 在水平栏的每一个空格中，可用序号①或②或③或④填写您认为最合适的等级.它们分别标志着优或良或中或下的4个不同级别的水平，如你认为该堂数学课上无该项操作也可以不填.进入专家系统后可对此进行模糊综合评判和统计分析[7-10].

经林夏水修改后使MM教育方式蕴涵的数学观突显出来了，充分体现了数学方法论、数学观与MM教育方式的一致性.这一基本操作表是从数学方法论和数学观到MM教育方式的一个转换器，如图1.

图1 MM方式流程图

有学者指出：“波利亚是尝试把数学方法论应用于数学教学的第一人，取得了相当的成就，但是他没有具体地解决如何把数学方法论用于数学教学的问题，更没有把它作为一种教学的方式方法.MM实验的设计者所设计的MM基本操作表，由于弄清了由‘数学方法论基本原理’到‘学生素质’的转换机制，从而解决了MM能够成为一种教育方式的核心问题.”见文献[11-13].

②把MM方式的实验目标进行分解，就得到下面的指标体系表(见表2).

从纵向看，通过数学教学，必须使学生具备一般科学素养，提高社会文化修养，形成和发展数学品质，我们称之为“纵向要求集”；从横向看，指导语栏内给出了每一类指标所要达到的三级水平，我们称之为“横向水平集”.

评价：我们把纵向要求集{一般科学素养，社会文化修养，数学品质}和横向水平集{合格水平，较高水平，高级水平}的“笛卡儿乘积集”的某些子集作为MM方式的综合评价研究.若一般科学素养符合指导语栏目中的全部内容，社会文化修养和数学品质符合相应的指导语栏目中的合格水平，我们就说实验基本成功，并形象地说是达到了“Γ”型评价；若一般科学素养和社会文化修养达到相应指导语的全部内容，数学品质达到合格水平，我们就说实验成功，并形象地说达到“F”型评价；若一般科学素养，社会文化修养，数学品质都达到其相应指导语的全部内容，我们就说实验取得圆满成功，并形象地说是达到“E”型评价.(见图2，表2的评价示意图)

表2 MM指标体系表

注① 三大能力指数学的逻辑推理能力，运算能力和空间想象能力.

注② 表2 评价示意图

图2 表2 的评价示意图

2.4 效果如何？

有发现的设计必有发现的经历.MM方式的出现，一改过去学生学习的被动局面，使他们对既教证明又教猜想的探索规律产生浓厚兴趣，整个教学过程也就融入发明发现的主旋律之中.现择其一二，有兴趣的读者可参阅参考文献[14].

① 平面解析几何中有一个我们都熟悉的问题，线段AB的两个端点在直角坐标系的两坐标轴上滑动，求线段中点的轨迹.

显然，它的轨迹是一个圆，但是问题在于能否推陈出新.MM方式要求我们加强一般解题方法的教学，要求我们尽可能地把解题过程及其结果放在不断探索、试验、总结、回顾并不断深化的数学科学知识体系中去考察.为此，我们设计了一个小实验，让学生仔细观察并验证其结果.

比如用一根教棒，使其两个端点在黑板的内角边缘上滑动.

谁知这一个十分简单的实验却带来了出人意料的收获，发现了“星形线作为直线族与椭圆族的公包络”这样一个鲜为人知的事实[15].这一发现不仅把分布在数学教材中看来似乎是零星的、分散的、孤立的而实际上是相互联系的习题，例如线段的中点轨迹、圆、椭圆与直线的参数方程，椭圆规的构造及原理，星形线等等串联起来，构成一个整体，把由方程求曲线和由曲线求方程，曲线的切线的概念，以及求切线和切线长等许多数学知识融为一体；并且在勾通初等数学和高等数学之间的连接渠道方面也做了一些穿针引线的作用，这里只给出如下的直观图示，如图3.

图3 直线族与椭圆族的公包络

[苏]A 斯托利也尔指出，画一个等腰梯形并从它的两底和腰来求高和给定一个铆钉并由一些已知尺寸来求另一些未知尺寸，这两个问题在数学方面可能完全一样，但从教法的观点看，又各不相同[16].上述发现就得益于教棒的两个端点在黑板的内角边缘上滑动的那个小实验的教学设计.

② 在数学教学中确当地组织抽象分析法的教学，其基本措施有两条.一条是引导学生从具体素材中直接抽象出数学模型，即把非数学问题数学化：二是引导学生对前人或他人所构造的数学模型(如教材中的定理公式等)进一步理论化.下面我们给出运用抽象分析法系统构建数学模型而达到数学中的再创造再发现的又一实例.

如所知，基于对代数中的“算术平均数和几何平均数”等有关定理的探讨，许多研究者都把它放到凸函数的范畴中去探讨.我们则在解题方法论(即一般解题方法)的观点下，把函数

分别定义为幂平均函数和加权幂平均函数(这里ai为不全相等的正数，qi>0).借助于数学作图软件Mathematica，其图像如下(图4)：

图4-1 幂平均函数f(x)的图像 图 4-2 幂平均函数F(x)的图像

利用其幂级数展开式

并构造一个辅助函数φy=ylnnyy>0，详细讨论了幂平均函数的有界性、连续性和一致连续性、可导性及其导函数的连续性、单调性等等，从而完成了“幂平均函数及其平均不等式”这一数学模型的综合构建，几乎用到了经典微积分学的全部重要知识[17].

③ 再看一个先由经验归纳再用抽象分析法达到数学中又一发现的例子[18].

3点钟之后又过多少时间，手表上的分针和时针又互相垂直？

把它一般化，我们从“某时刻起多久钟表之长短针(分针和时针)互相垂直”这一更具一般性的问题入手，通过经验归纳，得到公式：

(1)

其中T的单位是分钟，

分别表示该数的最大整数部分和小数部分.公式(1)就是已知变量T(某时刻)和未知变量t(多长时间)之间的函数关系，记作tT.尔后经过证明，再把它展成Fourier级数：

(2)

由(1)和(2)，并把

等一些具体的数代入，可推出：

等等.

进而猜想

等等.事实上，

其中等式右边分母上的另一个π放在了求和号下.

综上所述，MM方式一方面彻底改变了学生学习的被动局面，为他们提供了正确的思想方法和学习方法；另一方面在方法论的意义上，日常生活中最简单的数学现象也不再局限于初等数学这一小块弹丸之地，而与整个数学领域连成一片.这就为学生吸取数学科学中的现代思想，自我增进现代科学技术的文化素养开辟了一块良好的运动场.

④ 最后举一个在数理统计学中的例子[19].徐利治教授说过，对一条定理，如果只是在逻辑上能够证明还不算真懂，还必须在头脑里留下直观的印象才算真正搞清楚[20].数理统计学中有一条刻画一致最大功效检验函数φ的“Neyman-Pearson基本引理”，我们从直觉与逻辑这两个方面对它进行了分析，既给出了φ的随机化检验形式，运用测度论的观点论证了N-P充要条件；同时又给出了它的直观的图像表示.较之以往的N-P引理，其形式更为完美，证明更加严谨，且在推广的N-P引理中扩大了检验函数的集类Fφ.下面给出奈曼结构的逻辑框架和它的直观图示，如图5-1，5-2和图6：

图5-1 奈曼条件的充分性框架

图5-2 奈曼条件的必要性框架

图6 N-P引理直观图示

3 MM课题的推广应用与成果简介

3.1 MM课题的延伸与拓展

MM实验的设计者、组织者和支持者们，应各地各级各类学校的邀请，不辞辛苦，奔赴全国各地，帮助他们设计实验方案、培训教师、言传身授，把MM实验班、实验校、实验基地一个一个地建立起来，使MM教育方式在全国得到推广应用.实验学校由普通高中、职中扩大到小学、大学和成人教育学校[21].一支既能胜任教学，又能从事科研的Polya型的数学教师队伍正在形成.

MM教育方式传播到了我国的台湾.台湾中央研究院数学所的《数学传播季刊》先后发表了三篇MM教育方式的专题论文[22-24].

作者于2004年7月4-11日，应国际数学教育委员会秘书长Bernard R. Hodgson (伯纳德·霍奇森)教授和秘书处的邀请出席了在丹麦首都哥本哈根召开的第10届国际数学教育大会(简称ICME-10)，并在大会的课题研究组作了以“Briefing on MM Education Way，a New Way of Mathematics Teaching(MM教育方式简介，一种崭新的数学教学方式)”为题的报告.

此文后经吴仲和博士(美国加)扩充后，发表于国际数学教育杂志[25](Jianting Hu，Journal of Mathematics Education，December 2008，Vol. 1，No. 1，pp. 114-118.)

早在1997年底，美国蒙哥马利大学数学系教授、美籍华人章雪藻女士回国访问期间，从北京的报刊上看到无锡正在进行的MM实验，就专程来锡考察与访问了无锡市当时正在组织和进行MM实验的单位和学校.她回国后写来了一封存热情洋溢的信说：“在无锡，看到我的同行们工作是那么地带劲，有成效.很是受鼓舞…，我羡慕你们，辛勤劳动不仅自己获得成就满足，不仅自己成长，你们的血汗滴在自己的土地上，你们的成长融在祖国的成长中……”

2007年5月17日柏林自由大学格拉夫教授应邀到北京讲学之前，也从香港先专程到无锡访问、考察了MM实验，他与实验学校的师生进行了座谈.最后，他特别认真地把他的感受写下来，对MM实验给予充分肯定与赞扬.

MM课题组也因此由无锡市扩大到江苏省和全国的许多地区.围绕数学方法论和推广应用MM方式的全国性的学术会议相继在北京(PM1)、上海(PM2)、湖北襄樊(PM3)、武汉(PM4)、天津(PM5)、济南·淄博(PM6)、甘肃天水(PM7)、新疆昌吉(PM8)、成都(PM9、图7)等地召开(PM是波利亚数学教育思想和数学方法论的简称).

图7-1 2008 年9 月28 日PM9在成都市西南交通大学国际会议厅举行 图7-2 开幕式上成都市人民政府副市长傅勇林教授致欢迎词

MM课题研究促使教师站到学科教育的最前沿，涌现了一批既能胜任教学，又能从事科学研究的Polya型的数学教师.他们大都身兼国家和省、市级科技拔尖人才，全国先进教师和全国劳模等多个荣誉称号.也都是本地区的数学教学专家(特级教师honored master educationist)、教授(含教授级高级教师).

MM课题的实施始于1989年5月，至今已是第25年.

在中国自然辩证法研究会全国数学哲学委员会的指导下，20多年来边实验边推广，也取得了许多瞩目的研究成果.

2006年10月，由吴勤文老师领题的《TEC教学实验》(MM实验子课题)又通过了以王梓坤院士为首的专家鉴定委员会的鉴定，其专著《TEC教学概论》[26]，又获2006年新疆维吾尔自治区第七届哲学社会科学优秀成果一等奖(自治区区政府颁发).同时，由科学出版社出版的专著《教学·研究·发现——MM方式演绎》[27]，获2006年江苏省哲学社会科学优秀成果三等奖(省政府颁发).

2009年9月27日-10月2日全国第十届数学方法论与数学教育学术研讨会暨MM课题实施20周年纪念活动，在江苏省无锡市举行(图8).开幕式上还举行了《数学方法论应用传播丛书》首发仪式[28].

图8 九十高龄的徐利治教授宣布会议开幕

开幕式上，王梓坤院士专门发来了贺词：MM数学研究和数学方法系国内首创，是数学界的重要创新.它不仅有充足的理论依据，而且在相当广泛的范围内取得了很好的实际效果.通过20 周年纪念，MM 课题一定会更加完善，水平更加提高，并将取得更大的成绩，为我国的数学教育和研究作出更多的新贡献.[29]

刘绍学教授还写来了一封题为“祝贺MM实验二十年”的热情洋溢的贺信：我第一次接触MM 教学法是1997 年在武汉召开的MM 教学交流会上、即是我做为数学通报主编了解中学数学教学情况的一次活动.虽然是第一次接触，但MM教学方法的主张以及了解到的它的实践活动，却给了我很深的印象, 以说是“一见如故”. MM 教学法使我一下子就联想到我的老师傅种孙先生的教学.傅先生在我大三的时候(1949)给我们班讲近世代数课.从小学到大学听过很多优秀教师的课、名家的课，给我留下很深的印象.然而，听过一学期傅先生的课后，我就非常明确了：将来教书时，就要以傅先生的教学为榜样，学习傅先生的教学.

1997 年我写过一篇小文，记叙我对傅先生教学的两点印象：讲体会，并在某些关键处想出“醒耳”的语言，画龙点睛出自己的体会.这是有时化力气也不容易作到的.钱(学森)老在数十年后回忆他中学生活时，仍记得傅先生在课堂上讲的一段话(大意)：“只要承认这些前提，这些几何定理就是对的.在地球上对，到了火星上仍然是对的”.我觉得，这是傅先生对公理法的深入理解和热情赞赏，又很有想象力的采用绝妙语言去表达.真是言者有意，听者有心.借用别人的体会，借用别人的语言，在教学中也会有好的效果.但那最多是讲邻家小孩的故事的效果，绝没有讲自己亲生儿女的故事时那种亲切感人的效果.关于自己的教学，我也曾这样写过，“应该承认，在课堂上有许多时候我是把数学作为‘神学’硬着头皮搬给同学们的，对此我心中是有歉意的.多亏我的科研经历，它在很多情形下帮助我理解或设计出书上的定理是如何在人们的手中试验、摸索和制作出来的.当学生们听着这样的讲述而面露会心微笑时，我最认识到自己科研的价值和意义.”我确信，许多老师，特别是MM 教学方法的实践者，都会与我有同样的感受.

我认为MM 教学法的主张和傅先生的实际教学的作为是一致的：学习数学，理解数学，研究数学.要深入理解教学内容，要对教学内容有感受有体会，虽然不能对所有内容都作到这一点(这是很难作到的)，但一定是努力去作了.这是教好课的首要条件.

谨以此短文祝贺MM 课题实施二十年.(同[29]).

全国第十一届数学方法论与数学教育学术研讨会(下简称PM11)于2012年9月27日-10月2日在黔西南州兴义市召开(图9 http:∥www.5ishuxue.cn/).中国社科院哲学所林夏水研究员作了题为《数学方法论、数学观与MM教育方式》的报告，阐述了数学观与数学方法论的一致性、MM教育方式蕴涵着数学观、MM教育方式体现一种新的数学教育观.北京师范大学张英伯教授作了题为《法兰西英才教育掠影》的报告.

图9 美丽的金州和PM11大会开幕式现场

图10 PM11大学教师代表

金秋时节，丹桂飘香.在这收获的日子里，来自全国MM方式实验基地、实验学校的老师和志愿者分别欢聚在兴义市红星路小学、兴义市第五中学和赛文实验学校和兴义民族师范学院，座谈、欣赏和点评各地实验学校实验老师带来的MM方式教学精彩的公开课和观摩研究课.这些研究课较好地展现了MM教育方式的特点和风格，受到了与会代表的赞许和好评，也获得了评课专家的充分肯定.兴义民族师院数科院院长彭光明教授深有感触地说：“全国第十一届数学方法论与数学教育学术研讨会选在兴义市举办，这是我们的荣幸，是对我们的鼓励和鞭策，我们将把握这次机会，给数学教学注入新的活力，给MM教育方式课题实验搭建更加广阔的平台.” 图10是大学代表在兴义民族师院的合影.

3.2 MM方式在大学数学教学中的应用例

较早地把MM方式引进高数教学研究的学校有湖北省襄阳高等师范专科学校，即现在的襄樊学院.1993年在该校召开了PM3，即第3届Polya数学教育思想、数学方法论与数学教育研讨会.当时的青年教师魏跃春老师已晋升正教授，并走上了校级领导岗位(现任襄樊学院纪委书记).濮阳教育学院，即现在的濮阳职业技术学院于1998年正式拉开了“数学方法论指导高等数学教学”实验研究的序幕.武汉教育学院(即现在的江汉大学)，天津师大、山东省教育学院、天水师院等也紧紧跟上，相继在武汉、天津、济南、天水等地召开了PM4、PM5、PM6等.如今，大学类别已由教育学院、师专发展到师范大学，理工科大学和综合性大学.他们用MM方式设计高等数学的教学，出版了许多专著和研究论文.其单位与个人列举一些如下：

① 濮阳职业技术学院，徐献卿、纪保存、杨宪立、孔杰老师等早就开始用数学方法论指导高师数学教育改革，其子课题有MM(H)教育方式与概率统计教学；郑兆顺教授指出，MM(HT)实验是高师数学教育改革的成功尝试，注HT指高师[30-33].

② 云南师范大学信息传播系，朱云东、罗滨、扬建钢、肖澜楠老师等着重研究“MM教育方式与现代教育技术”[34].

③ 枣庄学院，从牛家骥教授到明清河、王兵教授等，长期以来在高师数学方法论教学法的实践与探索中积累了宝贵的经验[35].

④ 梧州高等师范专科学校，邹泽民教授，MM教育方式下常微分方程教学实验研究[36].

⑤ 天水师范学院，侯维民，谢保利，王贵军，何德明，用MM教育方式指导高师数学精品课程的建设，从数学方法论的观点揭示高等代数与中学数学多种联系；还有王三福，左卫平等的子课题“关于分维概念的情境设置”[37-39].

⑥ 南京信息工程大学数理学院，朱凤琴，大学数学的MM教育实践及其认识，其中有“微分中值定理的MM教学设计”等，这是MM方式用于工科数学教学设计的案例[40].

⑦ 陇东学院数学系，陈安宁对中学新课标与MM教育方式的比较研究[41].

⑧ 锦州医学院畜牧兽医学院，李占波，非线性教学设计下MM教育方式的课件设计[42].

⑨ 湖南师范大学数科院，崔登兰，湖南城市学院，成红艳对MM教育方式与高师解析几何教学的研究[43].

⑩ 通化师范学院数学系，李春华，王煜等，论高师院校的数学课堂教学也应实施MM教育方式[44].

由MM数学教育实验所确定的MM教育方式起始于江苏无锡的三所普通高中和一所职业中学.那么它为什么会推广应用到全国，并且适用于高等学校的数学教学改革呢？正如中国社科院哲学所林夏水研究员所说：MM 教育方式虽然是数学方法论与数学教育结合的产物, 但它却蕴涵多种数学观, 表明它具有深刻的哲理根据；同时也说明它体现一种新的数学教育观. 这就是它具有强大生命力的原因所在：这就是MM 教育方式能够由无锡传遍祖国大江南北、港澳台, 甚至走上国际数学教育大会讲台, 介绍、宣传MM 教育方式的根本原因(同[6]).

注:数学方法论(MM)原为全国教育科学(八五)规划课题(教科规办1991-13号)，江苏省教育科学九五规划重点项目(苏教科规重字九五018号)，其后续研究也被立项为江苏省和其他省(市、自治区)教育科学十五、十一五、十二五青年专项课题或重点项目.

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