孙启航, 徐尚巧

(鲁东大学 信息与电气工程学院,山东 烟台 264025)

0 引言

在量子场论中,非线性Klein-Gordon-Schrödinger(KGS)耦合方程刻画了守恒复中子场和中性介子场Yukawa相互作用的经典模型[1-2]．许多作者从解的性质、类型以及数值解法等方面研究了这类方程[1-6]．文献[5,7-8]中给出了KGS耦合方程的孤立波解、平面波解以及周期解．在数值方面,Xiang[9-10]利用谱方法对此方程进行了研究,并给出了该方法的误差估计．Wang等[11]利用样条配置方法给出了该方程的数值解．Bao等[12]将时间分裂谱离散的方法作用于KGS方程,也得到了较好的数值结果．张鲁明等[13-15]构造了关于KGS方程的守恒差分格式,其收敛阶为O(τ2+h2).本文介绍一个新的紧致差分格式,该格式是线性化的并且解耦的,其收敛阶为O(τ2+h4),并通过理论以及数值试验证明格式的正确性．

考虑如下KGS耦合方程的周期边值问题:

(1)

utt-uxx+u-|φ|2=0,

(2)

φ(x,0)=φ0(x),u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),

(3)

φ(x,t)=φ(x+L,t),u(x,t)=u(x+L,t), 0≤t≤T,

(4)

其中φ和φ(x,t)是未知的复值函数,u和u(x,t)是未知的实值函数,常数L为方程的周期．

1 预备知识

1.1 符号的定义

为了更方便地解决KGS耦合方程的周期边值问题,定义如下记号:

对于所研究的非线性KGS耦合方程的周期边值问题(1)～(4)的精确解,假设

max{‖un‖,‖δxun‖,‖un‖∞}≤C, max{‖φn‖,‖δxφn‖,‖φn‖∞}≤C,

经过简单计算可知,此周期边值问题满足如下守恒性质:

Q(t)=‖φ‖2=Q(0),

(5)

(6)

1.2 几个引理

引理1[16]对任意的网格函数u,v∈Vh,且满足uj=uj+J,vj=vj+J,则有

引理2[16](Gronwall不等式) 假设网格函数{wn|n=0,1,2,…,N;Nτ=T}满足不等式

其中A和Bl(l=0,1,2,…,N)是非负常数,则

引理3[16]假设网格函数{wn|n=0,1,2,…,N;Nτ=T}满足不等式

wn-wn-1≤Aτwn+Bτwn-1+Cnτ,

其中A,B和Cn(n=0,1,2,…,N)是非负常数,则

引理4[16]对于序列w={w0,w1,…,wn-1,wn}和g={g0,g1,…,gn-1,gn},有

引理5[16]对任一实值对称正定矩阵HJ×J,un∈Vh,则

其中RJ×J是一个对H进行Cholesky分解得到的上三角实值矩阵,即……