孟成芳， 李 倩， 谢世伟

（1.河北师范大学 数信学院，河北 石家庄 050024；2.张家口市第一中学 数学组，河北 张家口 075000；3.石家庄职业技术学院 管理系，河北 石家庄 050081）

设Mn是一个未定向的光滑闭流形，T∶M→M是微分同胚，且T2∶M→M是恒同映射，称T为M的光滑对合，记作（Mn，T）.F ＝ ｛x∈ M｜T（x）＝x｝称为（Mn，T）的不动点集.

如果存在光滑闭流形（Bn＋1，T），使得（Mn，T）与（Bn＋1，T）等变微分同胚，则称对合（Mn，T）协边.如果 （Mn1∪ Mn2，T）协 边，称 （Mn1，T）协 边 于（Mn2，T）.所有的带对合的光滑闭流形可以按照协边分成不同的等价类.

问题：给定一个光滑闭流形F，是否存在光滑闭流形M及其非平凡的对合T，使T的不动点集为F，进而能否决定以F为不动点集的所有对合流形（M，T）的等变协边类？

上述问题是协边理论中的一个重要问题，在20世纪60年代由Steenrod提出.近年来，很多学者对其做了深入的研究，得到了很好的结果［1－4］.

本文研究不动点集F为Dold流形P（2，3）的情况.在这一情况下，不动点集的法丛更加复杂，计算量更大.

定理1 设（M8＋k，T）是一个8＋k维光滑闭流形，T是光滑非平凡对合，T在M 上的不动点集为F ＝P（2，3），k＞0，则对合（M，T）协边于零.

本文综合利用微分周期映射、示性类理论的证明方法，通过构造合适的对称多项式，借助文献［5］的Kosniowski－Stong公式，否定对合流形的存在，或者通过计算示性数得到对合协边.

1 预备知识

设（Mn，T）是一个带有光滑对合T的光滑闭流形，T 在M 上的不动点集F ＝∪Fn－k，其中，Fn－k是不动点集F的n－k维分支的并.λk为Fn－k在Mn中的法丛.由文献［6］知，带有对合的流形（Mn，T）的协边类由它的不动点集（Fn－k，λk）的法丛的协边类决定.

引理1［5］设f（x1，…，xn）是Z2上的任意对称多项式，它的次数deg（f（x））≤n，则有示性数公式……