张金成

(中央党校函授学院，安徽 广德 242200)

自从罗素悖论在数学中出现，围绕着悖论问题，一个多世纪以来，出现了众多的解决方案。然而，这些解决方案，并不能令人完全满意，悖论的数学本质并没有解释清楚，矛盾仍然没有解决。

1931年Gödel证明：如果系统N是一致的，那么，系统N中存在不可判定命题，“系统N”是不能完全的。这就是具有广泛影响的不完全定理。

以下在分析实数集不动点的基础上，可以证明：悖论、不可判定命题可以统一转化成逻辑思维领域中的不动点。不动点广泛存在，Gödel不可判定命题是系统N中的不动点，它与系统N能否完全没有直接关系，一般递归集合中也存在类似Gödel的不可判定命题，因此，Gödel不完全定理的证明是不成立的。

1 正集、反集、不动项

1.1 自指代与不动点

定义1 一般地，函数y=f(x)，x∈R,如果用x取代y，得函数方程x=f(x)，则把x=f(x)叫做y=f(x)的自指代方程。

定义2 如果U是一个集合，f:U→U是一个连续映射，且存在x∈U， 使得f(x)=x,就称x是不动点。

例1 函数f(x)=1-x/3，它的自指代方程是：x=1-x/3，函数f(x)=1-x/3的不动点是方程x=1-x/3的解，即3/4，从图像上看是直线y=1-x/3与y=x的交点。

关于函数不动点有以下Brouwer不动点定理。

Brouwer不动点定理设f:[0,1]→[0,1]是连续映射，则必存在x0∈[0,1]，使f(x0)=x0。

以上是R1中，即1维的Brouwer不动点定理，不动点定理可以推广到2维以及n维欧氏空间中(即：平面上的单位闭圆盘B2具有不动点性质， 即任一连续映射f:B2→B2具有不动点。)

不动点的性质已经不仅仅局限于代数、函数领域，它已经延伸到集合论、离散数学、计算机、经济等其他各个领域。[1]

从函数自指代方程f(x)=1-x/3的不……