彭勇，陈俞强,2

(1.东莞职业技术学院 计算机工程系,广东 东莞 523808； 2.广东工业大学 自动化学院,广东 广州 510006)

线性二次型调节器(linear quadratic regulator，LQR)是以状态变量和控制变量二次型函数的积分作为目标函数的最优控制系统[1]。

倒立摆系统是一个典型的高阶次、不稳定、多变量的非线性控制系统。自动控制系统的稳定性、可控性、收敛速度、抗干扰能力等抽象的控制概念都可以通过倒立摆系统直观、形象地表现出来，所以倒立摆是自动控制领域中较为理想的实验平台。自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种控制理论都可以通过倒立摆系统来加以验证，所以通过倒立摆系统来对利用蛙跳算法进行LQR优化控制的效果进行验证[2]。

1 单级倒立摆系统数学模型的建立

假设线性时不变系统的状态方程模型为

可以引入最优控制的性能指标，既设计一个输入量u，使得式(1)最小。

(1)

式中：Q和R分别为状态变量和输入变量的加权矩阵，tf为控制作用的终止时间。矩阵S对控制系统的终值给出某种约束，这样的控制问题称为线性二次型最优控制问题[3]。

对于倒立摆系统来说，如果忽略了空气阻力和各种摩擦之后, 可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承连接的匀质摆杆组成。如图1所示[4]。其中, 小车的质量为M，摆杆质量为m，摆杆长为l，F为作用于小车上的外力，μ为小车摩擦系数，I为摆杆转动惯量，x为小车的位移，摆杆角度为θ，重力加速度为g。……