黄慧春，张艳雷，陈立群

(1.上海第二工业大学，上海201209；2.上海大学上海市应用数学和力学研究所，上海200072；3.上海大学力学系，上海200444)

超临界下受迫输液管2:1内共振的响应特性

黄慧春1，张艳雷1，陈立群2,3

(1.上海第二工业大学，上海201209；2.上海大学上海市应用数学和力学研究所，上海200072；3.上海大学力学系，上海200444)

研究在超临界下受迫输液管2:1内共振的动力学响应特性。当内流速超过临界值时，系统形成新的曲线平衡位形。通过Galerkin截断方法使系统变为有限低维离散的系统，再采用多尺度近似解析方法，获得关于超临界条件下受迫输液管的响应特性。通过具体的数值算例，发现内共振附近系统出现Hopf分岔现象。通过Runge–Kutta数值方法，绘制了时间历程和相平面图系统的展示分岔前与分岔后的情况。

振动与波；内共振；Galerkin；多尺度；Runge-Kutta

流动诱发输液管的振动研究有着十分广阔的应用背景[1，2]。徐鉴，杨前彪[3]等综述了输液管的非线性动力学方面的研究进展，指出流动诱发输液管的动力学问题是非常典型的模型，它的工程背景简单，但确实含有非常复杂的动力学现象。魏发远、黄玉盈等[4]研究了输液曲管临界流速的迁移矩阵法。倪樵、黄玉盈[5]用微分求积的方法计算了弹性支承输液管的临界流速。Païdoussis[1,2,6]研究表明流速超过临界值后，管道静平衡位形失稳，系统会重新稳定在曲线平衡位形。黄慧春、张艳雷等[7]研究了超临界横向受迫输液管的振动，给出算例分析了各参数之间的影响。张艳雷、黄慧春等[8]利用数值方法方法研究了在高速条件下的振荡流系统的分岔与混沌的特性。ZHANG和CHEN[9]发现超临界系统内存在内共振现象，并给出相关参数之间的影响。

在超临界条件下，输液管围绕曲线平衡位形振动的研究仍处于起步阶段。对输液管的超临界动力学行为的复杂情况并没有进行充分的数值识别，特别是内共振现象中的分岔问题。因而，对于超临界输液管的内共振问题研究是有十分必要，给出一些特有的分岔特性，可以加深理解流固耦合的动力学研究。

图1 受迫输液管的物理模型

1 物理模型

考虑图1所示输液管模型。利用牛顿第二定律受力平衡的方法，可以获得管道的动力学方程[1,9]，对其进行无量纲处理，可以得到

其简支边界条件为

其中，h为横向位移，u为流速，Mr为管道与流体单元的质量比，P为轴向预紧力，k为非线性刚度参数,f无量纲外激励幅值，w为无量纲频率，x和t分别代表纵向坐标和无量纲时间。使用Wickert[10]方法得到超临界输液管简支条件的平衡位形η^(x)

其中N(h,t)为坐标变换后的扰动项。

2 解析分析

运用Galerkin方法进行离散处理。设管的横向位移h是两个变量x，t的函数，用2阶展式h(x,t)=q1(t)f1(x)+q2(t)f2(x)进行截断。其中qr(t)为广义坐标，φr(ξ)为满足简支边界条件的梁振型函数。经过截断后的演算，有

其中系数G，aij，kij通过Galerkin截断后可确定。对于方程(5)的1阶近似解，可以利用多尺度[11]解析分析获得近似解

把公式(6)和(7)代入公式(5)中,同时考虑系统出现2：1内共振的条件，利用陀螺系统的可解性条件以及分别引入极坐标和直角坐标变换

这里a1和a2表示系统的前两阶模态响应，x和y表示直角坐标。这样通过多尺度获得了系统的相角幅值方程，其中极坐标方程表示为

式中(10)—(13)的系数Gij可以通过多尺度分析后确定。获得的直角坐标方程为

这里s1为内共振调谐参数，s2为1阶主共振调谐参数。因此，系统可以通过数值方法求解幅值相角方程，分别确定其解的动力学特性，分析出响应曲线的稳定性问题以及确定出分岔特性。

3 数值算例

考虑发生内共振的数值算例[9]，这里给出超临界输液管的参数如下，管的固液质量比例Mr=0.447，轴向张力P=-5，流速u=5.027 04,黏弹性为a= 0.001，非线性系数k=4，激励幅值f=0.1，小参数e= 0.01。对极坐标方程(10)—(13)进行数值求解，可以获得前两阶模态的频响曲线。

图2显示系统在2：1内共振下的1、2阶模态的响应特性。黑点代表数值计算的点，实线代表稳定解，虚线代表不稳定的情况。观察发现响应曲线出现了双跳跃情况，通过稳定性计算发现了响应曲线峰值的底部出现了不稳定，由分岔计算可知，调谐参数s2在[-0.005，0.005]附近出现Hopf分岔的情况，即系统的固定点的演变为极限环的情况。

图3显示Hopf分岔前es2=-0.005 5时系统的响应特性。观察图3(a)的时间历程，发现响应曲线在经历了瞬时的波形变化后，变为稳定的直线。图3 (b)相平面图反映出系统最终会稳定在固定的点上。

图2 频率响应曲线

图3 Hopf分岔前时间历程和相平面图

图4显示Hopf分岔后es2=-0.004 8时系统的响应特性。观察图4(a)的时间历程，发现响应曲线最终变为稳定的波形。图4(b)显示相平面图变为稳定的极限环。

图4 Hopf分岔后时间历程和相平面图

4 结语

本文分析了超临界条件下，输液管在受到内共振影响下系统的响应特性。应用多尺度方法进行摄动近似分析，通过给出具体的数值算例，发现前两阶模态的响应曲线展示了双跳跃的振动响应特性，并且发现了系统出现Hopf分岔的情况，在Hopf分岔前后还给出了具体的时间历程以及相平面关系。

[1]Païdoussis M P.Fluid-structure interactions:slender structures and axial flow[M].Vol.1,Academic Press, London,1998.

[2]Païdoussis M P.Fluid-structure interactions:slender structures and axial flow[M].Vol.2,Academic Press, London,2004.

[3]徐鉴，杨前彪.输液管模型及其非线性动力学近期研究进展[J].力学进展，2004，34(2)：182-194.

[4]魏发远，黄玉盈，任志良.分析输液管曲管临界流速的迁移矩阵法[J].固体力学学报，2000，21(1)：33-39.

[5]倪樵，黄玉盈，陈贻平.微分求积法分析具有弹性支承输液管的临界流速[J].计算力学学报，2001，18(2)：146-149.

[6]Païdoussis M P,Issid N T.Dynamic stability of pipes conveying fluid[J].Journal of Sound and Vibration,1974, 33(3),267-294.

[7]黄慧春，张艳雷，陈立群.横向受迫超临界输液管道的振动分析[J].力学季刊，2012，33(3)：382-386.

[8]张艳雷，黄慧春，陈立群.振荡流作用下受约束的悬臂管的分岔特性[J].噪声与振动控制，2012，5：46-49.

[9]ZHANG Y L,CHEN L Q,External and internal resonances of the pipe conveying fluid in the supercritical regime[J].Journal of Sound and Vibration,2013,332, 2318-2337.

[10]Wickert J A.Non-linear vibration of a traveling tensioned beam[J].International Journal of Non-Linear Mechanics, 1992,27(3),503-517.

[11]Nayfeh A H and Mook D T.Nonlinear oscillations[M].John Wiley,New York.1979.

ResonanceAnalysis of a Forced Fluid-conveying Pipe with2:1 Internal Resonances under Supercritical Fluid Velocity

HUANG Hui-chun1,ZHANG Yan-lei1,CHEN Li-qun2,3

(1.Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,China; 2.Shanghai Institute ofApplied Mathematics and Mechanics,Shanghai 200072,China; 3.Department of Mechanics,Shanghai University,Shanghai 200444,China)

The dynamic response behavior of a fluid-conveying pipe under supercritical fluid velocity is investigated by taking 1:2 internal resonances into account.The equilibrium configuration of the system can bifurcate into multiple equilibrium positions when the fluid velocity exceeds the critical value.The partial differential equation of the system is discretized into several equations via the Galerkin’s truncation method.These equations are then numerically solved by the multi-scale method.Attention is concentrated on the possible response of the system with different governing dimensionless parameters.Finally,the cumulative effect of frequency on the internal resonance is studied and the Hopf bifurcation is briefly discussed.Dynamic response of the system in the vicinity of Hopf bifurcation is presented in the form of time histories and phase plane trajectories via the Runge-Kutta numerical method.

vibration and wave;internal resonance;Galerkin;multi-scale;Runge-Kutta

O32

ADOI编码：10.3969/j.issn.1006-1335.2014.02.003

1006-1355(2014)02-0008-04

2013-03-14

国家杰出青年科学基金：(10725209)；国家自然科学基金：(10902064)；上海市优秀学科带头人计划：（09XD1401700）

张艳雷（1980-）男，博士，上海第二工业大学，研究方向：复杂传动系统的非线性振动与控制设计。

E-mail:yanlei-zhang80@163.com