王 尧,薛 岭,任艳丽

(1.南京信息工程大学 数学与统计学院,南京 210044; 2.南京晓庄学院 数学与信息技术学院,南京 211171)

(1-α(1))α(1)=1·(1-α(1))α(1)=0

(r1,s1)+(r2,s2)=(r1+r2,s1+s2), (r1,s1)(r2,s2)=(r1r2+s1r2+s2r1,s1s2),

具有强对称自同态的环及其扩张

王 尧1,薛 岭1,任艳丽2

(1.南京信息工程大学 数学与统计学院,南京 210044; 2.南京晓庄学院 数学与信息技术学院,南京 211171)

强α-对称环; 强α-可逆环; 强α-半交换环;α-compatible环; 经典右商环; 斜多项式环

0 引 言

设本文讨论的环R均为有单位元的结合环,α是环R的一个非零自同态.如果对任意的r∈R,由rα(r)=0可推出r=0,则称环R的一个自同态α为rigid同态[1].如果α是环R的rigid同态,则称环R是α-rigid环.如果R没有非零幂零元,则称环R是约化环.如果对任意的a,b∈R,由ab=0可推出ba=0,则称环R是可逆环[2].如果对任意的a,b∈R,由ab=0可推出bα(a)=0(α(b)a=0),则称环R的一个自同态α是右(左)可逆的[3].如果α是环R的右(左)可逆同态,则称环R是右(左)α-可逆的.如果环R既是右α-可逆环,也是左α-可逆环,则称环R是α-可逆环.如果对任意的a,b∈R,由aα(b)=0(α(a)b=0)可推出ba=0,则称环R的一个同态α是强右(左)可逆的[4].如果α是环R的强右(左)可逆同态,则称环R是强右(左)α-可逆环.如果环R既是强右α-可逆环,也是强左α-可逆环,则称环R是强α-可逆环.强α-可逆环是α-可逆环,但α-可逆环未必是强α-可逆环,可逆环也未必是强α-可逆环[4].如果对任意的a,b∈R,由ab=0可推出aRb=0,则称环R是半交换环.对任何a,b∈R,如果由ab=0可推出aRα(b)=0(α(a)Rb=0),则称环R是右(左)α-半交换环[5].

如果对任意的a,b,c∈R,由abc=0可推出acb=0,则称环R是对称环[6].Anderson等[7]证明了环R是对称环的等价条件是对任意的r1,r2,…,rn∈R(n≥2),由r1r2…rn=0可推出rσ(1)rσ(2)…rσ(n)=0,其中σ∈Sn.如果对任意的a,b,c∈R,由abc=0可推出acα(b)=0(α(b)ac=0),则称环R的自同态α是右(左)对称的[8].如果α是环R的右(左)对称同态,则称环R是右(左)α-对称环.如果环R既是左α-对称环,也是右α-对称环,则称环R是α-对称环.对于环R的一个自同态α,如果对任意的a,b,c∈R,由abα(c)=0可推出acα(b)=0,则称环R是对称α-环.上述各环间的关系是:α-rigid环⟹α-对称环⟹α-可逆环.逆向命题均不成立.

本文考虑满足如下假设条件的环:

(H1) 对任意的a,b,c∈R,由abα(c)=0可推出acb=0.

命题1如果环R是一个α-rigid环,则环R满足假设条件(H1).

证明: 设abα(c)=0,a,b,c∈R,则有cabα(c)α(ab)=0,cabα(cab)=0.因为环R是α-rigid环,所以有cab=0.因为α-rigid环是对称环,从而可推出acb=0.

可见存在满足假设条件(H1)的环.下面举例说明满足假设条件(H1)的环与α-对称环是不同的概念.

例1设Z2为二元域,R=Z2⊕Z2.对于环R和R的自同态α:R→R,α((a,b))=(a,0),如果(a1,b1)(a2,b2)(a3,b3)=0,则有(a1,b1)(a3,b3)α((a2,b2))=0,且有α((a2,b2))(a1,b1)(a3,b3)=0.于是R是一个α- 对称环.但环R和自同态α不满足假设条件(H1),因为(1,1)(0,1)α(1,1)=(0,0),而(1,1)(1,1)(0,1)=(0,1)≠(0,0).

1 强α-对称环

定义1设R是一个环,α是R的一个自同态.如果对任意的a,b,c∈R,由abα(c)=0(α(a)bc=0)可推出acb=0(bac=0),则称α是强右(左)对称的.如果α是环R的强右(左)对称的自同态,则称环R是强右(左)α-对称环.如果环R既是强右α-对称环,也是强左α-对称环,则称环R是强α-对称环.

显然,如果环R是对称环,则环R是一个强IdR-对称环,其中IdR表示环R的恒等自同态.设α是环R的一个自同态,R是强α-对称环.命题1表明α-rigid环是强右α-对称环.如果S是环R的一个子环且满足α(S)⊆S,则S也是强α-对称环.

命题2如果一个环R是强右(左)α-对称环,则环R是对称环.

证明: 设环R是强右α-对称环.如果abc=0,a,b,c∈R,则有1·α(ab)α(c)=α(abc)=0,即cα(a)α(b)=0.于是又有1·cbα(a)=0,从而有acb=0.因此环R是对称环.

如果环R是一个强左α-对称环且有abc=0,a,b,c∈R,则有α(a)α(bc)·1=α(abc)=0,α(b)(α(c)a)·1=0.可推出α(c)ab=0,从而有acb=0.同理可推出环R是对称环.

命题2表明强右(左)α-对称环是对称环的一个子类.下面举例说明当α≠IdR时,一个对称环未必是强右(左)α-对称环.

例2设Z2是二元域,R=Z2⊕Z2,则环R是对称环.对于R的自同态α:R→R,α((x,y))=(y,x)和a=(1,1),b=(1,0)=c,有abα(c)=0,但acb=(1,0)≠0,故R不是一个强右α-对称环.

推论1设α是环R的一个自同态,则R是强右α-对称环当且仅当R是强左α-对称环.

证明: 设R是强右α-对称环,α(a)bc=0,a,b,c∈R.因为环R是对称环,所以有bcα(a)=0,从而有bac=0,故R也是强左α-对称环.反之亦然.

推论1表明强左α-对称环与强右α-对称环是同一个概念,于是可对这两个概念不加区分,统称为强α-对称环.

命题3设α是环R的一个自同态,如果R是强α-对称环,则有以下结论:

1)α是单同态;

2)α(1)=1;

3)α(e)=e,其中e是环R的幂等元.

证明: 1) 任取a,b∈R,如果α(a)=α(b),则有1· 1·α(a-b)=0.由R是强α-对称环可得a-b=0,故α是单同态.

2) 因为(1-α(1))α(1)=0,所以由R是强α-对称环知1-α(1)=0,即α(1)=1.

3) 因为(1-e)e=e(1-e)=0,所以由R是强α-对称环得α(e)(1-e)=α(1-e)e=0,即α(e)=α(e)e=e.

对于环R的一个自同态α,如果对任意的a,b∈R,ab=0当且仅当aα(b)=0,则称环R是α-compatible的[9].

引理1[9]环R是一个α-rigid环当且仅当R是α-compatible的和约化的.

如果对任意的a∈R,由aRa=0可推出a=0,则称环R是半素环.

由命题1和推论1可知,α-rigid环是强α-对称环.进一步， 有:

命题41) 环R是α-rigid环当且仅当R是强α-对称环和约化环;

2) 环R是α-rigid环当且仅当R是强α-对称环且是半素环.

证明: 1) 必要性.根据引理1知α-rigid环是约化环.再据命题1和推论1即得结论.

充分性.设rα(r)=0,r∈R,则由R是强α-对称环有r2=1·rα(r)=0,再由R是约化环知r=0.

2) 由约化环是半素环及1)即知.

下面给出强α-对称环和α-compatible环之间的关系.

定理1环R是强α-对称环当且仅当R是对称环,且是α-compatible环.

证明: 必要性.如果环R是强α-对称环,由命题2知环R是对称环.下证强α-对称环是α-compatible环.任取a,b∈R,设ab=0.因为R是对称环,从而是可逆环,于是由ab=0 有ba=0和α(b)·1·α(a)=α(ba)=0.因为R是强α-对称环,所以有α(b)a=0,于是有aα(b)=0.反之,任取a,b∈R,设aα(b)=0,由环R是有1的强α-对称环得ba=0.又因为环R是可逆环,所以ab=0.从而证明了环R是α-compatible环,且R是对称环.

充分性.如果环R是对称环且是α-compatible环.设abα(c)=0,a,b,c∈R.因为环R是α-compatible环,所以abc=0.同时由R也是对称环可推出acb=0.于是知环R是强α-对称环.

定理2设α是环R的一个自同态,R是一个α-compatible环,则以下结论等价:

1)R是强α-对称环;

2)R是α-对称环;

3)R是对称α-环;

4)R是对称环.

证明: 由文献[10]中定理3.5和定理2.8即知.

引理2[9]如果R是α-compatible环,则有下列结论:

1) 如果ab=0,则aαn(b)=an(a)b=0,其中n是任意正整数;

2) 如果存在正整数k,使得αk(a)b=0,则ab=0;

3) 如果存在正整数k,使得aαk(b)=0,则ab=0.

推论2如果环R是强α-对称环,则对任意的a1,a2,a3∈R和非负整数i,j,k,对任何σ∈Sn,a1a2a3=0当且仅当αi(aσ(1))αj(aσ(2))αk(aσ(3))=0.

证明: 由定理1和引理2可得.

下面给出强α-对称环的一些等价刻画.

定理3设α是环R的一个自同态,则下列结论等价:

1) 环R是强α-对称环;

2) 环R是α-对称环且α是一个单同态;

3) 环R是对称的且是α-可逆环,α是一个单同态;

4) 环R是强α-可逆且R是对称的;

5) 环R是对称α-环且R是对称的,α是一个单同态.

证明: 如果一个环是强α-对称环,则α是一个单同态,R是对称环.由推论2,有1)⟹2),1)⟹3)和1)⟹5)成立.

1)⟹4).设aα(b)=0(α(a)b=0).由1·aα(b)=0(α(a)b·1=0)及强α-对称环的定义,有ba=0.

2)⟹1).任取a,b,c∈R,设abα(c)=0,即1·abα(c)=0.由R是右α-对称环可推出1·α(cab)=0.因为α是一个单同态,所以cab=0.而根据文献[8]中定理2.5知,如果环R是右α-对称环且α是一个单同态,则R是对称环.于是有acb=0.

3)⟹1).任取a,b,c∈R,设abα(c)=0.由R是右α-可逆环可推出α(cab)=0.因为α是一个单同态,所以cab=0.因为R是对称的,所以acb=0.

4)⟹1).任取a,b,c∈R,设abα(c)=0.由R是强α-可逆环推出cab=0.因为R是对称的,所以acb=0.

5)⟹1).任取a,b,c∈R,设abα(c)=0.已知R是对称α-环且α是单同态,则由

(1-α(1))α(1)=1·(1-α(1))α(1)=0

可得1·1·α(1-α(1))=α(1-α(1))=0,于是有1-α(1)=0,α(1)=1.又因为R是有1的对称环,所以还有α(c)abα(1)=0.再由R是对称α-环知α(c)·1·α(ab)=0,从而α(cab)=0.由α是单同态知cab=0.由环R是对称环可得acb=0.

定义2设α是环R的一个自同态.如果对任意的a,b∈R,由aα(b)=0(α(a)b=0)可推出aRb=0,则称α是强右(左)半交换的.如果α是环R的强右(左)半交换的自同态,则称环R是强右(左)α-半交换环.如果环R既是强右α-半交换环,也是强左α-半交换环,则称环R是强α-半交换环.

命题5环R是强α-对称环当且仅当R是对称环,且是强α-半交换环.

证明: 必要性.由命题2知强α-对称环是对称环,而强α-对称环是强α-半交换环.

充分性.设abα(c)=0,α(a)bc=0,a,b,c∈R.因为R是强α-半交换环,所以有abRc=0和aRbc=0.因为R有1,故可推出abc=0.再由R是对称环有acb=0.

命题61) 强α-半交换环是α-半交换环; 2) 强α-半交换环是半交换环.

证明: 1) 设ab=0,a,b∈R,则有α(ab)=α(a)α(b)=0.因为R是强α-半交换环,所以有aRα(b)=0和α(a)Rb=0.

2) 因为R有1,故有α(a)b=aα(b)=0.再由R是强α-半交换环,可得aRb=0.

2 强α-对称环的扩张

命题9设α是环R的一个自同态,e是环R的中心幂等元且有α(e)=e,则下列结论等价:

1)R是强α-对称环;

2)eR和(1-e)R是强α-对称环.

证明: 1)⟹2).设环R是强α-对称环.因为eR,(1-e)R是环R的子环,且α(eR)⊆eR,α((1-e)R)⊆(1-e)R,所以eR,(1-e)R都是强α-对称环.

2)⟹1).因为R是eR和(1-e)R的直和,强α-对称环的直和也是强α-对称环.因此,R也是强α-对称环.

引理4[11]设R是约化环,n是任意一个正整数,则R[x]/(xn)是对称环,其中(xn)是由xn生成的理想.

证明: 根据定理3中4)知,环R是强α-对称环当且仅当R是强α-可逆环,且R是对称环,再由引理3和引理4可得结论.证毕.

对于任何环R和整数n≥2.令

证明: 根据文献[12],Vn(R)≅R[x]/(xn).

推论5[11]如果R是约化环,则T(R,R)是对称环.

命题5指出了α-rigid环R的平凡扩张T(R,R)是强α-对称环,但文献[4]中例3.6表明,n阶主对角线元素相同的上三角阵环不是强右α-可逆环,从而也不是强α-对称环(n≥3).

证明: 由R是Δ-1R的子环知充分性成立.

从而abα(c)=0.而环R是强α-对称环,于是有acb=0.进一步,有

ACB=μ-1aω-1cν-1b=μ-1ω-1ν-1(acb)=0.

推论6设α是环R的自同态,如果环R是Armendariz环,则下列结论等价:

1)R是强α-对称环;

证明: 由命题12知,2)⟺3).2)⟹1)显然.1)⟹2): 根据定理3中4)知,环R是强α-对称环当且仅当R是强α-可逆环,且R是对称环.由文献[4]中定理3.7知,如果环R是强α-可逆环且R是Armendariz环,则R[x]是强α-可逆环.再由文献[14]中命题3.2知,如果环R是对称环且R是Armendariz环,则R[x]是对称环.

证明: 充分性显然.下证必要性.

于是有如下等式:

由式(1)得a0b0c0=0.将式(2)左乘b0c0,由R为约化环得b0c0a1α(b0)α2(c0)=0,再据推论2和R为约化环有a1b0c0=0,a1α(b0)α2(c0)=0.将式(2)再左乘c0,重复应用推论2和R为约化环的条件,有c0a0b1α2(c0)=0.于是有a0b1c0=0,a0b1α2(c0)=0. 代入式(2)可得a0b0c1=0.所以当i+j+k=1时,有aibjck=0.

归纳假设当i+j+k

将式(p+1)右乘a0b0,由归纳假设可推出a0b0cp=0.将式(p+1)左乘b0c0,由推论2可得apb0c0=0.于是,式(p+1)变为

进一步,将式(p+2)右乘a0b1,由归纳假设可得a0b1cp-1=0,

在式(p+3)右边继续分别乘以a0b2,a0b3,…,ap-1b1,则由归纳假设和推论2依次可得a0b2cp-2=0,a0b3cp-3=0,…,ap-1b1c0=0.

命题13设α是环R的自同态,如果S是一个环,且σ:R→S是环同构,则环R是强α-对称环当且仅当S是强σασ-1-对称环.

证明: 充分性.设S是强σασ-1-对称环,abα(c)=0,a,b,c∈R,则有σ(a)σ(b)σασ-1(σ(c))=σ(abα(c))=0.因为S是强σασ-1-对称环,所以σ(acb)=σ(a)σ(c)σ(b)=0.而σ是一个环同构,于是有acb=0,因此环R是强α-对称环.

必要性.由充分性证明可知.

命题14设A是环R相应的Jordan扩张,则环R是强α-对称环当且仅当A是强α-对称环.

证明: 由R是环A的子环知充分性成立.

必要性.设abα(c)=0,其中a,b,c∈A,则存在n≥0,使得αn(a),αn(b),αn(c)∈R.于是有αn(a)αn(b)α(αn(c))=αn(abα(c))=0.由环R是强α-对称环可知αn(acb)=αn(a)αn(c)αn(b)=0.因为α是环A的同构,所以有acb=0.从而A是强α-对称环.

给定交换环S上的代数R,R通过S的Dorroh扩张是Abel群D=R⊕S,其运算如下:

(r1,s1)+(r2,s2)=(r1+r2,s1+s2), (r1,s1)(r2,s2)=(r1r2+s1r2+s2r1,s1s2),

证明: 充分性显然.

s1s2s3=0,r1r2α(r3)+s1r2α(r3)+s2r1α(r3)+s1s2α(r3)+s3r1r2+s3s1r2+s3s2r1=0.

因为S是无零因子环,所以有s1=0或s2=0或s3=0.如果s1=0,则有

r1r2α(r3)+s2r1α(r3)+s3r1r2+s3s2r1=0.

因为环R是交换的且α(1)=1,所以

于是由R是强α-对称环可得r1(r3+s3)(r2+s2)=0,即有

r1r3r2+r1r3s2+r1s3r2+r1s3s2=0.

因此

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(责任编辑： 赵立芹)

RingswithStronglySymmetricEndomorphismsandTheirExtensions

WANG Yao1,XUE Ling1,REN Yanli2
(1.SchoolofMathematicsandStatistics,NanjingUniversityofInformationScienceandTechnology,Nanjing210044,
China; 2.SchoolofMathematicsandInformationTechnology,NanjingXiaozhuangUniversity,Nanjing211171,China)

The rings with strongly symmetric endomorphisms were investigated.Letαbe an endomorphism of ringR.RingRis known as strong rightα-symmetric ifabα(c)=0 impliesacb=0 for anya,b,c∈R.The relationships between strongα-symmetric ring and symmetric,strongα-reversible or strongα-semicommutative ring were discussed,and some extensions of strongα-symmetric rings were studied.It is proved that 1) RingRis strongα-symmetric if and only ifRis symmetric andα-compatible; 2) RingRis strongα-symmetric if and only ifR[x;α] is strongα-symmetric; 3) Ifαis an automorphism of right Ore ringR,thenRis strongα-symmetric if and only if the classical right quotient ringQ(R) ofRis strongα-symmetric.

strongα-symmetric ring; strongα-reversible ring; strongα-semicommutative ring;α-compatible ring; classical right quotient ring; skew polynomial ring

2014-01-13.

王 尧(1962—),男,汉族,博士,教授,从事环论、 微分代数和代数表示论的研究,E-mail: wangyao@nuist.edu.cn.通信作者： 任艳丽(1965—),女,汉族,硕士,教授,从事环论的研究,E-mail: renyanlisx@163.com.

国家自然科学基金(批准号: 11101217)和江苏省自然科学基金(批准号: BK20141476).

O153.3

A

1671-5489(2014)05-0861-08