席晓燕

(唐山学院机电工程系,河北 唐山 063000)



载流梁的热磁弹性3次超谐共振*

席晓燕*

(唐山学院机电工程系,河北 唐山 063000)

摘要:在磁弹性动力学理论的基础上,应用动力学方法建立电磁场和温度场联合作用下的载流梁的非线性热磁弹性振动方程。应用非线性振动的多尺度法,求得了系统受Lorentz力和温度影响共同作用的3次超谐共振幅频响应方程,并对其进行了数值计算,研究电磁场、温度变化、电流、几何参数等参数对载流梁3次超谐共振响应曲线的影响。结果表明:当温度、磁场强度、长度、横截面积达到特定值时,系统振幅会大幅增加。

关键词:载流梁;3次超谐共振;多尺度法;Lorentz力

航空航天、磁悬浮装置、传感器[1]以及机电系统动力装置等工程实际中经常会遇到铁磁弹性载流梁的振动问题。由于磁场、电场等多场耦合作用,电磁弹性相互耦合作用的非线性力学行为也备受关注。文献[2-4]用公理化体系方法和理性力学建立了电磁弹性力学理论,文献[5]研究了热载荷和磁场耦合作用下铁磁板动静态稳定性问题,文献[6]建立了磁场环境下导电薄板的磁弹性方程,并对方程的主共振进行了数值计算和分析,文献[7]建立了在横向磁场和机械载荷共同作用下的大挠度载流矩形薄板的非线性运动方程,给出板的单模态运动方程和双模态运动方程,研究了载流薄板模态截断问题。文献[8]对处在周期变化的横向磁场中的几何非线性铁磁简支梁式薄板的混沌运动进行了理论分析和计算,文献[9]在材料的电热特性的研究以及文献[10]在磁弹性变形的应用方面的研究均取得一些显著的成果,而文献[11]在电磁场作用下的非线性变形进行了研究。工程电子元件在热状态下的动力学行为研究越来越引起人们的关注,许多结构元件常因温度变化而处于热胀冷缩状态[12],因此,讨论温度场与电磁场共同作用下的磁弹性载流梁的振动问题,研究其动力学特性是必要的,本文 研究成果为载流电磁结构的性能设计提供参考。

1　基本方程

考虑一长度为l,截面为矩形(宽为b,高为h)的等截面两端固定铰约束梁(图1)。梁在磁场Bz的作用下通以电流,电流密度为Il,根据梁的弯曲振动理论和磁弹性基本理论得到了载流梁的振动方程[13]:

(1)

式中N为轴力,Fmag为Lorentz力,Fcos(Ωt)为均布简谐激励,x为横坐标,y为横向振动位移,ρ为密度,EI为抗弯刚度,I为截面惯性矩,E为弹性模量,S为横截面积,ES相乘为拉伸刚度,c为阻尼系数,t为时间。

其中

(2)

式中NT为热载荷,ES为拉伸刚度。

图1　处于磁场中的载流梁

1.1热载荷力

求得热载荷力为

(3)

式中τ0为初始温度,τ为温度改变量,αs为热膨胀系数,其中取热载荷分布为抛物线型

(4)

将式(3)代入式(2)得到轴力为

(5)

1.2Lorentz力

假设材料为非极化、非磁化的良导体,忽略位移电流的影响,则作用在质点上的Lorentz为[13]:

fmag=[Il+Ilx]×Bz

(6)

式中,Ilx表示弹性载流梁内感应电流强度沿x轴方向的分量为

(7)

其中σ0为电导率,ex为感应电场强度。

式(7)代入式(6),并在方程两边对y积分就得到Lorentz力的载荷集度为:

(8)

1.3横向振动方程

将方程(5)、(8)代入式(1),假设载流梁内通交流电流密度Il=ilcos(ωt),不考虑感应电场强度、外部简谐激励,得到载流梁的横向振动微分方程

(9)

在工程实际中,一般对结构的基频最感兴趣,根据两端固定铰的约束条件,设式(9)的解为

(10)

式(10)代入式(9),利用Galerkin原理可得

(11)

整理得到

(12)

式中

(13)

2　3次超谐共振理论分析

式(12)为温度场中载流梁的热磁弹性振动方程。当激励频率ω远离ω0且3ω≈ω0时,在式(12)所描述的系统中将会激发起3次超谐共振现象,并表现出复杂的动力学行为,为研究系统3次超谐共振在非线性项、阻尼项前冠以小参数ε,式(12)表示为

(14)

引入调谐参数σ,由下式决定

3ω=ω0+εσ,σ=Ο(1)

(15)

应用多尺度法,设3次超谐共振的一次近似解为

q(t)=q0(T0,T1)+εq1(T0,T1)

(16)

式中T0,T1代表时间尺度

式(15)、式(16)代入方程(14),比较ε同次幂的系数后得到一组线性偏微分方程

(17a)

(17b)

方程(17a)的解是

q0(T0,T1)==X(T1)ejω0T0+BejωT0+cc

(18)

这里

(19)

式中cc代表共轭复数,以下同。式中a为模态振幅,β为共振初相位角,将上式代入方程(17b),得

(20)

消除永年项的条件为

(21)

将式(19)代入式(21),分离实部和虚部得

(22)引入=σT1-3β,方程(22)还可以转化为自治微分方程

(23)

为确定系统对应3次超谐共振稳态运动定常解,令D1a=0,D1φ=0,得到振幅和相位应满足的代数方程

(24)

两式平方后相加消去φ,得到振幅a、相位φ与激励频率调谐参数σ之间的关系

(25a)

(25b)

式(25)称为系统3次超谐共振稳态运动定常解幅频响应曲线和相频响应方程。

3　数值分析结果

应用式(25a)可以计算系统3次超谐共振的响应曲线,分析不同参数对响应曲线的影响。

如无特殊申明,材料特征参数为:梁长l=1m,宽b=0.04m,高h=0.02m,材料的弹性模量E=70×109N/m2,密度为ρ=2 700kg/m3,阻尼系数c=0.06 (N·s)/m,电流密度幅值i0=70×106A/m2。

温度场特征参数为:τ0=20 ℃,τ=0 ℃,αs=12.5×10-6/℃。

电磁场的特征参数:Bz=0.05T,电导率:σ0=3.63×107(Ω·m)-1。

对图2～图7所示的曲线进行分析,可以得到如下结论:

(1)随温度升高、电流强度增强、磁场强度增强,幅频响应曲线的幅值增大,见图2～图4。由于在试验中只能实现渐进稳定运动,所以在正弦慢扫频试验中会发生跳跃现象,且跳跃现象越加明显。由图可见,对于固定的激励频率调谐参数(σ),3次超谐共振的解可能是唯一的,也可能有3个,多个稳态解的真正实现取决于稳定性及初始条件。

(2)载流梁幅值随结构几何参数变化的曲线分别为图5、图6。由图5可见,在其他参数一定的情况下,载流梁长度取1m附近时,幅值达到最大。而图6表明,特定值的横截面积会使幅值达到最大。因此调节载流梁的几何参数可以将幅值控制在一定范围内。

(3)载流梁随磁场强度变化的曲线如图7所示,由图可知将磁场强度控制在一定范围内可抑制共振的发生。

图2　幅频响应曲线

图3　幅频响应曲线

图4　幅频响应曲线

图5　振幅长度响应曲线

图6　幅值横截面积响应曲线

图7　幅值磁场强度响应曲线

4　结论

本文以处于温度场和磁场环境中的载流梁为研究对象,对其非线性热磁弹性3次超谐共振问题进行了研究,通过数值算例,分析了共振幅值随系统参数变化的变化规律。说明了温度变化、磁场环境、结构几何参数等因素的确定,能够达到抑制或激发系统3次超谐共振的目的,所得结论为载流电磁结构的安全性、可靠性设计及性能设计提供参考。

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席晓燕(1979-),女,河北省蔚县人,副教授,毕业于河北联合大学机械设计及理论专业,现在主要从事机电动力学研究方向,xixiaoyan@163.com。

ThirdSuperharmonicResonanceoftheCurrent-CarryingBeaminThermal-Magneto-ElasticityField*

XIXiaoyan*

(Department of Mechanical engineering,Tangshan College,Tangshan Hebei 063000,China)

Abstract:Based on the electro-magneto-elastic theory,nonlinear vibration equation of current-carrying beam in thermal-magneto-elasticity field is studied.The Lorentz force and temperature effect on the beam are derived.According to the method of multiple scales for nonlinear vibrations the amplitude frequency response equation of third superharmonic resonance is obtained.The effects of electro-magnetic and mechanical parameters on system resonance characteristics are analyzed.The results show the amplitude of system will substantially increase when the temperature,magnetic field intensity,length,cross-sectional area reach their certain values respectively.

Key words:current-carrying beam;third superharmonic;thermal-magneto-elasticity;the method of multiple scales;Lorentz force

doi:EEACC:7310;732010.3969/j.issn.1005-9490.2014.05.019

中图分类号:O326;O321

文献标识码:A

文章编号:1005-9490(2014)05-0887-04

收稿日期:2013-10-25修改日期:2013-11-13

项目来源:河北省自然科学基金项目(A2009000997);河北省教育厅项目(ZD20132006)