朱致英

(长沙理工大学物理与电子科学学院， 中国 长沙 410114)

带电的标量场扰动下Reissner-Nordström Anti-de Sitter黑洞的不稳定性

朱致英*

(长沙理工大学物理与电子科学学院， 中国 长沙 410114)

研究了带电的有质量标量场微扰下Reissner-Nordström anti-de Sitter黑洞的稳定性问题．在乌龟坐标下推导出了标量场所满足的径向运动方程，并给出有效势．采用有限差分法将标量场所满足的波方程进行离散化．通过数值计算研究了扰动场随时间的演化．研究结果表明，随着时间的演化,带电的标量场在晚期会出现暴涨．这就意味着在带电的标量场扰动下，Reissner-Nordström anti-de Sitter黑洞会出现不稳定．随着标量场电荷的增加，扰动场在晚期出现暴涨的速度将加快．随着标量场质量的增加，扰动场暴涨的速度将减慢．

不稳定性；标量场扰动；Reissner-Nordström anti-de Sitter黑洞；有限差分法

在宇宙中，真实的黑洞不是孤立存在的，而是不断地与周围的物质之间有着相互作用．因此，在黑洞物理和天体物理领域，对黑洞外部扰动场的研究一直都是人们所关注的课题．人们可以通过分析黑洞外部的扰动场来判断黑洞的稳定性．给黑洞一个微小的扰动，如果扰动场在演化的晚期是衰减的，那么这样的黑洞就是稳定的，是可能真存在的．相反，如果扰动场在演化的晚期出现暴涨，那么黑洞就是不稳定的．这样的黑洞会消失，或者转变为其他的物体．

无论是在四维渐进平直的时空背景下，还是在四维的渐进de Sitter背景下，人们已经研究了各种黑洞，比如Schwarzschild黑洞、Reissner-Nordström黑洞、Kerr黑洞等，在电中性的标量场扰动、电磁场扰动和引力扰动下的稳定性问题，并且发现在这些情况下，黑洞都是稳定的．近些年来，随着人们对AdS/CFT对应性研究的展开和深入，在AdS黑洞微扰稳定性方面也取得了许多的成果．人们发现四维的AdS黑洞在各种电中性的标量场扰动、电磁场扰动和引力场扰动下都是稳定的．因此，几乎所有的四维黑洞在电中性的扰动下都是稳定的．关于这方面的工作，可以参考相关综述文献[1-2]．

如果考虑到高维时空中黑洞的微扰稳定性，其情况将不同于四维时空．高维时空中的黑洞更容易产生不稳定性．比如，对于黑弦和黑膜，在线性扰动下存在着Gregory-Laflamme不稳定性[3-4]．对于Einstein-Gauss-Bonnet理论中的高维黑洞，只有当角量子数l较大时才是不稳定的[5-6]．最近，Konoplya和Cardoso发现一个奇怪的现象，只有当时空的维度大于六维时，渐进de Sitter背景下的Reissner-Nordström黑洞才是不稳定的[7-8]．

到目前为止，关于电中性微扰下黑洞的稳定性问题，人们已经做了比较全面的研究．但是，带电微扰下黑洞的稳定性问题并没有得到完全的解决，还有待于人们进一步的研究．本文中，作者将通过数值计算来分析带电的标量场扰动下Reissner-Nordström anti-de Sitter黑洞的稳定性问题．

1 时空几何和扰动场

Reissner-Nordström anti-de Sitter(下面简写为RNAdS)度规描述的是带电的渐进anti-de Sitter的球形黑洞．在球坐标下，它的具体形式为

(1)

其中，函数f(r)的定义为

(2)

(3)

其中，κ+、κ-、A、B、α和β的表达式分别为

从(3)式中很容易得到，当r→∞时，r*→0；当r→r+时，r*→-∞．

考虑RNAds黑洞外部(r>r+)带电的有质量标量场与RNAds黑洞相互作用．那么，可以用Klein-Gordon方程

[(▽ν-iqAν)(▽ν-iqAν)-μ2]ψ=0,

(4)

(5)

将(5)式代入(4)式，可以得到径向场所满足的方程

(6)

上式中，我们采用了乌龟坐标．其中，有效势V的表达式为

(7)

从(7)式可以看出，对于电中性的标量场扰动，在事件视界处有效势为零;但是对于带电的标量场扰动，在事件视界处有效势总是为负值．有效势描述了时空曲率对场的散射[10]．通常，人们认为如果在某些区域有效势为负值，则扰动场就有可能会出现暴涨．这就意味着系统有可能是不稳定的[11]．因此，我们首先来看看黑洞外部有效势的行为．在图1中，画出了标量场电荷q取不同值时有效势的行为．可以看到，在所选取的参数范围内，黑洞外部的有效势存在一个负势阱．这样的势阱就使得能量有可能在此聚集，并最终导致系统的不稳定．我们注意到，随着标量场电荷的增加，负势阱会越来越大．这就意味着标量场电荷越大，越容易导致系统的不稳定．从图2中可以看出，随着标量场质量的增加，负势阱变得越来越小．通常，负势阱的出现只是系统不稳定的必要条件．因此，要确定系统是否有不稳定性，更直观的方法是研究扰动场随时间的演化．

图1 标量场电荷q=18,20,25,30时，黑洞外部有效势的行为．其他参数分别为M=1，Q=0.5，Λ=-1，μ=2，l=0Fig.1 The effective potential outside the black hole for the charge of the scalar field q=18,20,25,30. The other parameters are M=1，Q=0.5，Λ=-1，μ=2，l=0

图2 标量场质量μ=1.5,1.6,1.8,2时，黑洞外部有效势的行为．其他参数分别为M=1，Q=0.5，Λ=-1，q=20，l=0Fig.2 The effective potential outside the black hole for the mass of the scalar field μ=1.5,1.6,1.8,2. The other parameters are M=1，Q=0.5，Λ=-1，q=20，l=0

2 数值方法

为了更加直观地研究RNAdS黑洞的稳定性，在这一节中我们将采用有限差分法[12]来给出扰动场随时间的演化，并通过扰动场在晚期的演化行为来判断黑洞的稳定性．如果扰动场在演化的晚期是衰减的，那么黑洞就是稳定的．如果扰动场在演化的晚期出现暴涨，那么黑洞就是不稳定的．

通过定义Ψ(r*,t)=Ψ(jΔr*,iΔt)=Ψj,i，V(r(r*))=V(jΔr*)=Vj，Φ(r(r*))=Φ(jΔr*)=Φj，可以将径向方程(6)式离散化，并得到

3 数值结果

在图3中，考虑了不同标量场电荷的微扰，并画出了黑洞外部扰动场随时间的演化关系．从图中可以看到，当标量场的电荷较小时(例如q=18)，扰动场在晚期的行为是衰减的．这就意味着，在这样的扰动下RNAdS黑洞是可以保持稳定的．但是，随着扰动场电荷q的增加，扰动场在晚期的行为会出现暴涨．图中，纵坐标采用的是对数作图．因此，在扰动场演化的晚期曲线的斜率就反应了暴涨的速度．从图3中可以看到，扰动场的电荷越大，在晚期出现暴涨的速度就越快，黑洞就更容易不稳定．这与在第2节中分析有效势的行为所得出的结论是一致．当扰动场所带的电荷越大，有效势的负势阱就越深，并且越宽．能量就越容易在负势阱处累积，并导致黑洞的不稳定性．考虑不同的标量场质量，在图4中画出了黑洞外部扰动场随时间的演化关系．我们发现，随着标量场质量的增加，虽然扰动场出现暴涨的时间变得更早，但是暴涨的速度变得更小．

图3 黑洞外部r*=5处带电的标量场扰动随时间的变化．其他参数分别为M=1，Q=0.5，Λ=-1，μ=2，l=0，q=18,20,25,30Fig.3 Time domain profile for the charged scalar field perturbation at r*=5 outside the black hole. The other parameters are M=1, Q=0.5, Λ=-1, μ=2, l=0, q=18,20,25,30

图4 黑洞外部r*=5处带电的标量场扰动随时间的变化．其他参数分别为M=1，Q=0.5，Λ=-1，q=20，l=0，μ=1.5,1.6,1.8,2Fig.4 Time domain profile for the charged scalar field perturbation at r*=5 outside the black hole. The other parameters are M=1, Q=0.5, Λ=-1, q=20, l=0, μ=1.5,1.6,1.8,2

4 结束语

本文考虑带电的有质量标量场扰动与Reissner-Nordström anti-de Sitter黑洞相互作用，在Reissner-Nordström anti-de Sitter度规下，推导出了带电标量场所满足的运动方程，并且给出了有效势的表达式．通过分析有效势的形状，初步得到了系统可能出现不稳定的参数空间．采用有限差分法，在数值上给出了标量场扰动随时间的演化．发现带电的标量场扰动在晚期会出现暴涨．这就意味着在带电的标量场扰动下，Reissner-Nordström anti-de Sitter黑洞会出现不稳定．通过改变标量场的参数，发现扰动场的电荷越大，它在晚期暴涨的速度也越大；扰动场的质量越大，它在晚期暴涨的速度就越慢．

[1] KONOPLYA R A, ZHIDENKO A. Quasinormal modes of black holes: From astrophysics to string theory [J]. Rev Mod Phys, 2011,83(3):793-836.

[2] WANG B. Perturbations around black holes [J]. Braz J Phys, 2005,35(4b):1029-1037.

[3] GREGORY R, LAFLAMME R. Black strings and p-Branes are unstable [J]. Phys Rev Lett, 1993,70(19):2837-2840.

[4] GREGORY R, LAFLAMME R. The instability of charged black strings and p-Branes [J]. Nucl Phys B, 1994,428(1-2):399-434.

[5] KONOPLYA R A, ZHIDENKO A. In stability of D-dimensional black holes in Gauss-Bonnet theory [J]. Phys Rev D, 2008,77(10):104004.

[6] BEROIZ M, DOTTI G, GLEISER R J. Gravitational instability of static spherically symmetric Einstein-Gauss-Bonnet black holes in five and six dimensions [J]. Phys Rev D, 2007,76(2):024012.

[7] KONOPLYA R A, ZHIDENKO A. Instability of higher dimensional charged black holes in the de-Sitter world [J]. Phys Rev Lett, 2009,103(16):161101.

[8] CARDOSO V, LEMOS M, MARQUES M. On the instability of Reissner-Nordstrom black holes in de Sitter backgrounds [J]. Phys Rev D, 2009,80(12):127502.

[9] WANG B, LIN C Y, MOLINA C. Quasinormal behavior of massless scalar field perturbation in Reissner-Nordström anti-de Sitter spacetimes [J]. Phys Rev D, 2004,70(6):064025.

[10] CHING E S C, LEUNG P T, SUEN W M,etal. Quasi-Normal mode expansion for linearized waves in gravitational systems [J]. Phys Rev Lett, 1995,74(23):4588-4591.

[11] BRONNIKOV K A, KONOPLYA R A, ZHIDENKO A. Instabilities of wormholes and regular black holes supported by a phantom scalar field [J]. Phys Rev D, 2012,86(2):024028.

[12] ABDALLA E, PELLICER C E, OLIVERIRA,etal. Phase transitions and regions of stability in Reissner-Nordström holographic superconductors [J]. Phys Rev D, 2010,82(12):124033.

(编辑 陈笑梅)

Instability of the Reissner-Nordström Anti-de Sitter Black Hole under the Charged Scalar Field Perturbation

ZHUZhi-ying*

(Department of Physics and Electronic Science, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China)

The stability of Reissner-Nordström anti-de Sitter black hole under charged massive scalar field perturbation is studied. In the tortoise coordinate, the radial equation of motion of the scalar field is derived, and the effective potential is obtained. Using the finite difference method, the wave equation of the the scalar field is discretized. From a numerical investigation, the time domain profiles of the perturbation field is studied. The results show that with the evolution of the time, the charged scalar field increased greatly at late time. It means that the Reissner-Nordström anti-de Sitter black hole is unstable under charged scalar field perturbation. With the increase of the charge of the scalar field, the growth of the perturbation at late time would speed up. With the increase of the mass of the scalar field, the growth of the perturbation would slow down.

instability; scalar field perturbation; Reissner-Nordström anti-de Sitter black hole; the finite difference method

2014-07-19

国家自然科学基金资助项目(11005013)

*

,E-mail：zhiyingzhu@gmail.com

O412.1

A

1000-2537(2014)05-0053-05