邓春源

(华南师范大学数学科学学院，广州 510631)

(ii) 存在单位算子I的预解集{E():σ(A)}和可逆算子S使得

由引理1可知，如果P3=P，则σ(P)⊆{0,1,-1}.如果σ(P)={0,1,-1}，则存在可逆算子S使得SPS-1=I1⨁-I2⨁0.特别地，如果σ(P)={0,1}，则三次幂等退化成幂等P2=P，且有对角矩阵表示SPS-1=I1⨁0；如果σ(P)={1,-1}，则三次幂等退化成对合P2=I，且有对角矩阵表示SPS-1=I1⨁-I2. 也就是说，三次幂等向幂等和对合的退化是通过谱点的减少来实现的.

下面给出本文的主要结论.

(1)

其中，k=0,1,2,…,8.

幂等算子Fi(i=1,…,27)的定义如下：

F27=(I-P2)(I-Q2)(I-R2).

(2)

本文得到如下定理，其表示简洁，有效地涵盖、推广了一些已有的结论.

(3)

则以下结论成立：

证明由式(2)的定义，易得

TPT-1=[I1I2I3I4I5I6I7I8I9][-I10-I11-I12-I13-I14-I15-I16-I17-I18]

(4)

特别要注意的是，如果式(2)中的某个Fi=0，则相应的对角元Ii和系数αi，βi，γi将自动消失，此时式(4)中的对角算子阶数将小于27.比如说，如果P，Q，R退化成P2=I，Q2=I，R2=I，则Fi=0(i=3,6,7,8,9,12,15,16,…,27).相应的Ii和系数αi，βi，γi将不会出现，TPT-1，TQT-1，TRT-1将自动约化为至多8×8对角算子矩阵：

TPT-1=I1I2I4I5-I10-I11-I13-I14,

TQT-1=I1I2-I4-I5I10I11-I13-I14,

TRT-1=I1-I2I4-I5I10-I11I13-I14.

(5)

基于上述构造，由式(4)知，存在可逆算子T使得

(6)

注意到α27=β27=γ27=0.由引理1知，Ψ是三次幂等的充要条件是：当Fi≠0时，aαi+bβi+cγi=1，或-1，或0.类似地有结论(b)和(c).证毕.

下面给出一个实例(文献[3]中的定理3.1)具体解释定理1的应用.

证明在定理1中，取R=0.由式(2)知，非零Fi(i=1,…,27)只剩下F3=PQ,F9=P(I-Q)，F21=(I-P)Q和F27=(I-P)(I-Q).从而式(4)中的TPT-1,TQT-1和式(6)中的Ψ分别退化成TPT-1=I3I900，TQT-1=I30I210和

TΨT-1=T(aP+bQ)T-1=(a+b)I3aI9bI210.

(1)若F3=PQ=0,项(a+b)I3将不会出现，从而a=1，b=1.

(2)若F21=(I-P)Q=0,项bI21将不会出现，从而a=1，b=-1.

(3)若F9=P(I-Q)=0,项aI9将不会出现，从而a=-1，b=1.

文献[1]的定理2.2和定理2.3给出了问题(a)和问题(b)所有可能情况，我们这里给出一种简洁的证明，定理1的一个特殊情况是P2=I，Q2=I和R2=I(问题(a))，此时式(4)中的TPT-1,TQT-1和TRT-1退化为式(5)，并且

T(aP+bQ+cR)T-1=(a+b+c)I1

(a+b-c)I2(a-b+c)I4(a-b-c)I5

(-a+b+c)I10(-a+b-c)I11

(-a-b+c)I13(-a-b-c)I14.

(7)

则aP+bQ+cR是三次幂等的充要条件是式(7)中的系数只能是1，-1和0. 容易验证文献[1]的定理2.2中的条件(a)～(f)满足上述条件.定理的另外一个特殊情况是P2=I，Q2=I和R3=R(问题(b))，此时式(2)中的非零元是Fi≠0(i=1,…,6,10,…,15).同样可验证aP+bQ+cR是三次幂等的充要条件是文献[1]的定理2.3中(a′)～(o′)成立.

如果P2=P，Q2=Q和R2=R，此时式(2)中的非零元Fi≠0(i=1,3,7,9,19,21,25,27),因此TPT-1,TQT-1和TRT-1退化为

TPT-1=I1I3I7I90000,

TQT-1=I1I300I19I2100,

TRT-1=I10I70I190I250.

(8)

注意到

PQ=P⟺F7=0,F9=0;

PR=P⟺F3=0,F9=0;

QR=R⟺F7=0,F25=0.

(9)

式(6)中的表示退化为：

T(aP+bQ+cR)T-1=(a+b+c)I1(a+b)I3

(a+c)I7aI9(b+c)I19bI21cI250.

(10)

文献[3]的定理3.2证明了如果a=b=1,c=-1,PQ=P,PR=P,QR=R(由式(9)知这些条件等价于Fi=0(i=3,7,9,25))，那么Ψ是幂等.然而，在式(10)中的表示显示，若a=b=1,c=-1，Ψ是幂等的充要条件是Fi=0(i=3,25)，即PQ(I-R)=0,(I-P)(I-Q)R=0.所以文献[4]中的条件PQ=P是多余的.

更进一步，如果式(10)中的R=0，则Fi=0，Ii(i=1,7,19,25)也不再出现，T(aP+bQ)T-1进一步退化为

T(aP+bQ)T-1=(a+b)I3aI9bI210.

从而aP+bQ是三次幂等的充要条件是所有系数a+b,a,b只能取0，1，-1.

线性组合的保幂等性、三次幂等性和对合性近年来被一些学者所研究[4-8].该问题对于正规变量的二次型分布问题的研究起着重要的作用.对于任意交换n次幂等也有类似的结论.特别值得提出的是，定理1涵盖了如下的一些结论.

(1)由文献[9]有：P=P3,Q=Q3,R=0时，使Ψ是三次幂等；

(2)由文献[10]有：P=P2,Q=Q2,R=0时，使Ψ是三次幂等；

(3)由文献[11]的定理1和文献[3]的定理3.2，有：P=P2,Q=Q2,R=R2时，使Ψ是幂等；

(4)由文献[12]的定理4，有：P=P+,Q=Q+,R=0时，使Ψ广义对和算子；

(5)由文献[13]的定理2.2，有：P=P3,Q=Q3,R=0时，使Ψ是幂等；

(6)由文献[14]的定理2.1和定理2.2，有：P2=I,Q2=I,R=R3时，使Ψ是幂等或三次幂等；

(7)由文献[14]的定理2.3，有：P=P3,Q=Q3,R=0时，使Ψ是对合算子；

(8)由文献[14]的定理2.5，有：P=P2,Q=Q2,R=0时，使Ψ是对合算子；

(9)由文献[1]的定理2.2，有：P2=I,Q2=I,R2=I时，使Ψ是三次幂等；

(10)由文献[1]的定理2.3，有：P2=I,Q2=I,R=R3时，使Ψ是三次幂等.

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