张忆颖，王罗那，胡李盈，吕 平

(1.杭州师范大学经亨颐学院，浙江 杭州 310036;2.杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

中国是个水资源短缺、水污染严重、水土流失严重、水资源浪费严重的国家，水资源在地理分布上具有南部及沿海水地区水多、北西部水少的特点.目前有宁夏、河北、山东、河南、山西、江苏这6个省、自治区的人均水资源量低于极度缺水线.因此如何平衡各个省级直辖市的用水量，使中国人民都可以喝到水、用到水，没有缺水的问题，已是迫在眉睫.如今已有大量研究者致力于解决水资源短缺等问题.如李现社等[1]研究了中国水资源危机原因并制定了应急预案等十大水资源安全战略；陈南[2]着重研究了海水淡化技术在解决世界对纯净水需求上的问题；赵淑兰[3]总结了黑河流域供水存在的问题并为缓解黑河流域水资源供需矛盾提供科学依据；马东春[4]以北京市为例研究污水再生利用来解决成熟的缺水问题.这些虽然都给出了很多解决水资源短缺的方案，但是没有对实际缺水省区进行分析，并且没有给缺水省区一个对应的解决方案。该文选题为2013年国际大学生数学建模竞赛B题，基于对中国31个省区水资源量的分析，选择经济、实惠、合理的分配方案，具体解决中国缺水省区的缺水问题并提供合适的水战略.

1 缺水省区的确定

1.1 选择合适的预测模型

由于中国31个省区直辖市(不包括港澳台)及年份数据繁多，为便于分析，本文随机选取上海市进行详细探讨.根据上海市2003—2011年用水量情况得出，上海的用水量处于上升趋势，但趋势较为缓慢.此外，省区的用水量是不可能处于无限增长趋势，符合LOGISTIC模型[5]的阻滞规律.利用MATLAB数学软件计算得到上海市用水量预测方程，预测至2050年用水量并绘制成图.发现上海市2050年的用水量仍未达到平稳增长状态，但根据实际的制约因素及理论分析，这是不符合的.因此我们寻找到了利用时间序列曲线模型来预测用水量较好.

1.2 确定各省区直辖市水资源及用水量预测模型

依旧对上海市进行分析.利用SPSS软件输出各种回归函数对上海市的用水量适用程度表、曲线对比图以及回归拟合优度，其中以Logarithmic和Power的拟合优度最高(其R2统计量的值均为0.819)，Cubic曲线的拟合优度比另外一种曲线的要稍微高些.选择Cubic函数来对观察值进行拟合更为合适.同理，得出水资源量预测模型选用Cubic函数较为合理.函数形式为

y=b0+b1x+b2x2+b3x3.

根据上述分析，我们收集来的31个省区的用水量及水资源量的数据，利用时间序列回归模型得出各省区用水量及水资源量的预测方程，表1为用水量预测方程各个参数.

表1 31个省区用水量预测方程表

表2 缺水省区及缺水年份

通过分析检验，我们得出了各省区的用水量和水资源量拟合方程.如上海的用水量方程为y=103.36+8.75x-1.43x2+0.08x3；水资源量方程为z=20.53-5.32x+2.97x2-2.62x3.根据这两个方程，利用SPSS软件预测得到2013—2025年的用水量和水资源量.将用水量和水资源量相减，可预测未来13年各省及直辖市的水资源利用情况.若相减所得数值为负数，则表明该地该年将会缺水.通过统计分析得出缺水的省区及年份(表2).在下文中，我们将对这些缺水省区采取相应措施.

2 最佳水战略模型

2.1 最佳水战略的目标函数[6]

现如今解决淡水紧缺危机的对策主要有跨区域调水和海水淡化.目前经济且污染较少的海水淡化法为反渗透法.综合上述两种方案，为了实现利益、水资源和生态环境和谐发展，我们确定了三个决策目标：经济目标、环境目标、便捷目标.

2.2 决策变量的确定

2.2.1 约束条件

水资源的需求量(N)；从水资源多的省区运输水的路程(lj,j=1,2)，其中l1表示最近的多水省区到缺水省区的距离，l2表示最近的水域到缺水省区的距离；渠道运水流量；具体方案中产生的各种污染；各省区不同时间段的电费、成本、运输等费用(s)；水资源利用率(σ)等等.

由于缺水省区较多，我们以北京市为例，对解决北京2013年的缺水问题设计方案.

2.2.2 已知条件

2013年北京市降雨量(n1)，对水资源的需求量(N)，从而得出N=Z+n1-Y=8.73×108m3；利用已知条件(表3)和约束条件，建立目标函数：

1)使用费用最少M1：minM1=s1j+Ns2j/σi+ls3j,j=1,2；

2)水资源损耗最少M2：minM2=Ni/σj；

3)路程最短，方便运输M3：minM3=lj.

表3 方案中的已知条件

表4 3个目标函数权重

2.3 模型求解

首先利用层次分析法得到3个目标函数的权重(表4)，其次根据上述分析和权重得出目标规划数学模型：

图1 北京未来13年水战略图像

即Ni≥8.73×108,1196≤l1≤3731,l2≥288,σ1≥99.95%,75%≤σ≤80%,i=1,2,…,31.利用LINGO程序得到两种方案的最优解：跨区域调水最优解minM=8.76×109；海水淡化最优解minM=8.14×109.

当跨区域调水最优解和海水淡化最优解相等时，运输水的距离约为40 km.当运输水的距离超过40 km时，选择海水淡化更为合理.用此模型分别计算了2013—2025年13年内北京的水战略并绘制成图像，从图1中可以看出，水战略一年内使用选择海水淡化方案最佳，但是水战略是长期项目，所以对北京来说，利用跨区域调水方案最佳.

将上述结论应用于解决天津、河北、上海、江苏、河南、宁夏后续几年缺水问题的方案设计中，分别得到各省市从2012年起的时间段内跨区域调水和海水淡化的最优解，表5为跨区域调度最优解.比较各省区两种解决方案，在表6中呈现选择的最佳水战略.

表5 七省区的跨区域调水的最优解

2.4 灵敏度分析

表6 缺水省区最佳水战略表

该多目标规划模型的参数主要有水的需求量Ni和运输距离lj.因此对参数进行适当变化，从而分析函数灵敏度.

首先对跨区域调度方案进行检验，利用LINGO软件进行灵敏度分析，结果显示：当参数Ni为4.703时，允许增加的范围是无穷大，允许减小的范围是4.703，最优解不变.对参数lj变化，最优解也不改变.

对海水淡化方案进行检验.同样利用LINGO软件分析，结果显示：当参数为4.314时，允许增加的范围是无穷大，允许减少的范围是4.314，最优解也不变.对参数lj变化，最优解不变.

综上所述，灵敏度分析的结果验证多目标规划模型是合理的.

3 结 论

通过对31个省区水资源分配问题的分析，发现运输水的距离超过40 km时，选择海水淡化更为合理，而且反渗透法设备结构简单、高度集成、占地面积小、运行效果稳定，最重要的是符合清洁生产要求.但是反渗透法需要高压设备，对原水利用率只有75%～80%，对渗透膜需要定期清洗，这是它存在的缺点.

除了上述跨区域调水和海水淡化两种常见方法之外，解决淡水问题还有很多途径，如：对生活污水和工业废水进行处理及回收利用，加强对水的自然循环的调控从而提高水资源的利用率；在地表水资源较丰富地区，还可建造水坝等储水工程；在地表水资源贫乏地区，可实施海水和苦咸水淡化；此外还有废水利用、治理水污染、节约用水等.其中，更为有效的方法还是靠大家节约用水，保护水资源.

注：本文为国际大学生数学建模竞赛一等奖获奖论文.

[1]李现社，杜霞，耿雷华，等.中国水资源安全战略研究[J].人民黄河，2008,30(5)：21-35.

[2]陈南.技术进步使海水淡化技术成为解决缺水问题有效的策略[J].治黄科技信息，2013，34(3)：130-141.

[3]赵淑兰.黑河流域水资源供需平衡分析[J].浙江水利科技，2012,22(5)：243-256.

[4]马东春.中国缺水问题域污水资源化：以北京市为例[J].水利经济，2006,41(6)：33-37.

[5]吴祈宗，郑志勇，邓伟.运筹学与最优化MATLAB编程[M].北京：机械工业出版社，2010:162-164.

[6]董文永，刘进，丁建立，等.最优化技术与数学建模[M].北京：清华大学出版社，2010:18-49.