考虑次近邻作用原子链的热传导研究
2014-08-25李金星张道华朱国良
李金星，张道华，朱国良，刘 飞
(湖北师范学院 物理与电子科学学院，湖北 黄石 435002)
考虑次近邻作用原子链的热传导研究
李金星，张道华，朱国良，刘 飞
(湖北师范学院 物理与电子科学学院，湖北 黄石 435002)
运用Ford-Kac-Mazur(FKM)方法和数值模拟对考虑次近邻作用的一维介电原子链进行了研究。在一定的条件下得到了热流的具体表达式，给出了不同条件下热流随体系大小的变化趋势，分析了次近邻相互作用和质量梯度对热流的影响。结果表明次近邻作用对于热流的调节不明显，而构建材料的不对称结构(质量梯度调节)可作为热传导控制的有效手段。
热传导；低维系统；次近邻作用
低维系统中的热传输特性无论是在非线性动力学、碳纳米科学还是在非平衡统计物理中都是非常感兴趣的一个问题，近些年已经引起了大量学者的注意[1～4]。近年来，人们已经采用不同的模型、方法对低维系统中感兴趣的物理量进行了一些研究，如热流、热导率、温度等[5～8]。由于研究方法的改进，这一问题的研究取得了不少进展，这为纳米材料和热控器件的制作提供了一定的理论指导。实验技术的发展，特别是纳米科学(如纳米温度计的出现)，为低维系统能量输运问题提供了可能的实验验证[9～15]，因此这方面的研究令人瞩目，具有重要的研究意义。
目前对于固体热传导现象的研究，主要集中在低维晶格[3]。一方面的原因是，对于一维晶格体系的数学描述已经很复杂，尤其是当晶格之间的相互作用是非线性的时候，数学上的处理具有较大的难度；另外一方面，数值模拟需要晶格有足够的尺寸以消除边界的影响，这也限制了晶格的维数不能太高。宏观的热传导规律一般遵循傅里叶定律。傅立叶热传导定律指出，对于热传导现象，当温度梯度很小的时候，热流与温度梯度成正比，热传导系数κ应该是一个与物质的尺度无关的常量，也就是热流和物质的尺度N的关系为J∝1/N.近20年的大量研究表明这一点并不是都成立[3,8]，特别是在介观和微观系统中，热流与物质尺度间的关系通常改写为J∝1/Nα，这里α随边界条件和热源等因素的不同而发生变化，这使对低维系统的热传导的研究变得很有意义。在大量的研究中，人们主要考虑近邻作用和有外场调节的情况，很少涉及次近邻作用。那么次近邻作用对热传导到底有没有影响，如果有，影响有多大呢？本文将对这一问题进行讨论。
1 模型和方法
我们考虑的系统是弱非线性最近邻与次近邻作用的一维原子链系统。其两端分别与温度为TL和TR的热源相连接，其总的Hamiltonian可以表示为：
(1)
其中xl是第l粒子偏离平衡位置的位移，pl是第l个粒子的动量，ml是第l个的粒子的随机质量，α、β分别为近邻作用和次近邻作用强度。系统的第1个和第N格点分别与左右热源相连接。左右热源的温度分别用TL和TR表示。对于每个热源，我们都用M个谐振子来描述，左边热源的哈密通量可表示为[8]：
(2)
(3)
通过Heisenberg运动方程，对于上述系统可以得到(自然单位 ħ=1)：
(4)
对左边热源应用运动方程可得到：
(5)
通过海森堡运动方程和傅里叶变换我们可以得到xl的通解：
(6)
这里有
hl(ω)=μh(ω)δl,1+μ'h'(ω)δl,N
(7)
通过连续性方程：
∂μ/∂t+∂J/∂x=0
我们可以得到：
(8)
将(6)代入(8)可得：
(9)
利用(9)式，在一定的条件下可以对热流进行模拟计算。类似地，我们可以得到热导率和局域动能的表达式，为了简便起见这里不作详述。
2 数值分析和结论
(10)
通过对式(10)的模拟计算可得到图1图形：
图1 热流密度和频率之间的关系图，TL=1.0 ,TR=0.1,N=20 ,μ=μ'=1,α=1.0,β=0和β=0.2
图1是热流密度的频谱图，给出了频率和热流密度的关系曲线。从图中我们可以看出，不管有没有次近邻作用，对热流有主要贡献的是低频振动，存在上限；频谱图的峰值数对应晶格振动模式数，这里N=20，每个原子的自由度为1，除去两端和热源相连的原子，总自由度为18，图中也存在18个峰值，这和理论吻合。另外在考虑次近邻作用时，晶格振动模式数不变，仅仅是频率受到次近邻作用而发生了偏移。
图2、3是不同情况下的J-N曲线。从图2中我们可以看出，随着次近邻作用强度的增加，热流在变小，说明次近邻对热传导还是有一定的影响；另外，随着次近邻强度增大到某一数值时，J-N曲线出现不平滑的反常现象。这一现象我们可以这样理解，在物理学中，万有引力(或电荷之间的作用力)F和物体之间的距离(两电荷之间的距离)R之间满足：
(11)
类比(11)式，晶格中粒子之间的相互作用强度也满足类似的比例关系。这里用a表示晶格常数，考虑近邻作用时，相互作用距离可近似用a表示，次近邻作用距离可近似用2a表示，次近邻作用强度应该小于或等于1/4倍的近邻作用才比较合理。此处取α=1，则次近邻作用强度取值应该满足β≤1/4，这说明次近邻作用强度不能无限制加大，只能在某一范围内起作用，这和图2所示吻合的很好，当β>1/4 时就会出现不平滑的反常现象，这是不合理的。另外，对比图2(a)和(b)不难看出，小的质量梯度δm=0.1 对热流的影响不明显。
图3反应了质量梯度对热流的影响。从图3中可以看出，考虑和不考虑次近邻作用，质量梯度的变化对热流的影响明显不一样。不考虑次近邻作用时，热流随质量梯度的增加而显著减小，一旦考虑次近邻，即使次近邻作用比较小，如图3(b)时，β=0.05质量梯度的影响也不明显，其中m=0,0.1时,J-N曲线甚至基本重合。
图2 次近邻相互作用发生变化，质量梯度为δm=0 (a)和 δm=0.1(b)时，热流
图3 质量梯度发生变化，次近邻作用为 β=0(a)和β=0.05 (b)时，热流
上面频谱分析再次表明，晶体振动模式数和体系粒子数相同，并且只有低频部分才对热传导有贡献。 J-N曲线则表明，由于次近邻作用强度只能取小值，对热流的影响不明显，不能有效的对热传导进行调节，而质量梯度大小的调节则没有限制，对热流的影响显著，已经成为热传导控制的有效手段之一。
3 总结
本文运用Ford-Kac-Mazur(FKM)方法和数值模拟对考虑次近邻作用的一维介电原子链进行了研究。在一定的条件下得到了热流的具体表达式，给出了不同条件下热流随体系大小的变化趋势，分析了次近邻相互作用和质量梯度对热传导的影响。结果再次验证了晶体振动模式数和体系自由度数相同，并且只有低频部分才对热传导有贡献。另外，次近邻作用强度不能取得太大，而在取较小值时对于热流的影响不明显，这也是很多情况下没有考虑次近邻作用的原因。通过质量梯度的调节还发现，质量梯度的变化对热流有较大的影响，因此构建材料的不对称结构可作为热传导控制的有效手段。
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Studyofthermalconductionofatomicchainwiththesecondnearestneighborinteraction
LI Jin-xing, ZHANG Dao-hua, ZHU Guo-liang, LIU Fei
(College of Physics and Electronics Science, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)
The process of heat conduction in one-dimensional dielectric chains with the second nearest neighbor interaction were studied by the means of Ford-Kac-Mazur(FKM)and numerical simulation.We obtained the specific expression of heat current under the certain conditions. By numerical simulation, we get the picture of heat current verse to system size under different conditions. Analyzed the affects of heat current by second nearest neighbor interaction and mass gradient. It is shown that the role of second nearest neighbor interaction for heat conduction is not obvious.And build asymmetric structural materials (mass gradients adjustment)can be used as an effective means of controlling thermal conductivity.
thermal conductivity; 1D systems;second nearest neighbor interaction
2014—09—17
湖北省教育厅项目(Q20132507);湖北师范学院青年项目(2010C18)
李金星(1980— )，男，湖北大悟人，硕士，实验师，研究方向为低维系统的热传导，物理实验.
O415
A
1009-2714(2014)04- 0007- 05
10.3969/j.issn.1009-2714.2014.04.002
