王君刚，王解先,2

(1. 同济大学 测绘与地理信息学院，上海 200092；2. 现代工程测量国家测绘地理信息局重点实验室，上海 200092)

一、引 言

在工程测量中，经常有涉及建筑物形变监测的问题，需要精确地确定建筑物的空间形态和位置，进而分析建筑物的质量状况。实际应用中大多数建筑物是由规则的几何体(如长方体、圆柱体等)构成的。对圆柱体的拟合就是确定圆柱体轴线的位置和方向，以及圆柱体的半径。

圆柱体的拟合方法有高斯图法[1]、遗传算法[2]、特征值算法[3]等。但是这几种算法都有一定的缺陷：基于遗传算法和高斯图的圆柱体拟合在计算上比较繁琐；基于特征值的圆柱体拟合存在一定的近似计算，并不是基于几何距离的最小二乘算法。本文采用一种比较简单的算法，以观测点到拟合圆柱面的距离平方和最小为原则，拟合出圆柱面的空间位置和形态参数。

由于在一个测站上不能均匀地观测圆柱体表面的多个点位，因此需要在两个测站从不同方向观测圆柱体，然后将观测的坐标归算到同一坐标系。利用观测的点位坐标，拟合出圆柱体的空间位置和形态参数，然后计算观测点的圆度。为了更直观地表示观测点的圆度，可以将圆柱体侧面展开，用等值线的方式表示整个圆柱体侧面的凹凸性。

下面将详细阐述坐标测量与转换、圆柱体拟合及圆柱体质量检测的原理与计算过程。

二、坐标转换

在两个测站上任意设站对圆柱体进行观测，获得的点位坐标分属不同坐标系，需要将其归算到同一坐标系。本文利用在两个测站上观测的公共点坐标，获取两坐标系之间的转换参数。由于两测站坐标系之间不存在尺度变化，因此只有6个转换参数[4]。两坐标系之间的转换公式为

(1)

式中，α、β、γ分别为绕X、Y、Z的旋转角，以逆时针为正；ΔX、ΔY、ΔZ为3个平移量。将上式线性化，根据公共点的坐标列立误差方程构成法方程，迭代计算至改正数符合限差即可[5]。

三、圆柱体拟合

利用上面计算的坐标转换参数，将两个测站观测的圆柱体表面点位坐标归算到同一坐标系下，然后进行圆柱体的拟合。

圆柱体的几何特征包括：轴线的单位方向向量(abc)，轴线上某一固定点P0(X0，Y0，Z0)及圆柱体的半径R。由于轴线的方向在数学表示上不唯一[6]，同一轴线可以表示为相反的两个向量，因此规定：a>0，若a=0则b>0，若a=0，b=0则c>0(由单位向量的定义可知此时c=1)。 由于固定点可以选取位于轴线上的任一点，因此该点只有两个未知数，即固定点的某一分量为已知值。

图1 观测点与圆柱体关系示意图

而

因此误差方程为

di=

R

(4)

将误差方程线性化，组成法方程。此外，根据单位向量的定义，还有条件式

a2+b2+c2=1

(5)

根据附有限制条件的间接平差计算圆柱的6个参数。

四、圆柱体质量分析

1. 圆柱体的圆度

在拟合得到圆柱体的参数后，可以求得圆柱体的圆度。以观测点到所拟合的圆柱体表面的距离di来表示圆度[7]，即式(4)中的残差，在此称为绝对圆度。由于圆柱体的半径不同，绝对圆度并不能很合理地表示圆柱体的质量状况，因此引入相对圆度的概念，以绝对圆度与圆柱半径之比作为相对圆度，这样能更合理地表达观测点相对于圆柱体表面的偏离程度。相对圆度dri计算公式为

式中，R为圆柱体半径。

2. 圆柱体倾斜率

由圆柱体轴线的方向向量(abc)，可以计算圆柱体轴线的垂直角δ为

δ=arccos|c|

(7)

3. 投影点坐标

式中，R为拟合的圆柱体半径。

4. 圆柱体侧面的展开

将观测点投影到圆柱体侧面后，可以将圆柱侧面展开，从而更直观地表示投影点在圆柱体侧面上的分布及残差。将圆柱体侧面展开需要建立圆柱标准坐标系和圆柱展开面坐标系，将投影点坐标从测量坐标系转换到圆柱标准坐标系，然后再转换到圆柱展开面坐标系。

(1) 圆柱标准坐标系

以圆柱轴线上的固定点P0为坐标原点o，以圆柱轴线方向(abc)为z轴方向，建立圆柱标准坐标系oxyz。测量坐标系与圆柱标准坐标系的关系如图2所示。

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z轴方向(ez1ez2ez3)=(abc)，x轴在测量坐标系OXYZ中的方向定义为过o与圆柱轴线垂直的任意方向，设x的方向为(ex1ex2ex3)，且满足

图2 测量坐标系与圆柱标准坐标系

任意点在测量坐标系OXYZ中的坐标(Xi，Yi，Zi)与其在圆柱标准坐标系oxyz中的坐标(xi，yi，zi)的关系为

根据式(13)可以将观测点的测量坐标转换为圆柱标准坐标。

(2) 圆柱展开面坐标系

式中，R为圆柱半径；ωi为Pi点在xoy面上的投影与ox的夹角，以逆时针为正，ωi的取值范围为[-π,π]。ωi的计算式为

根据式(14)与式(15)，可以将位于圆柱表面上的点位从圆柱标准坐标系转换到圆柱展开面坐标系。

图3 圆柱标准坐标系与圆柱展开面坐标系

五、算例分析

本文以同济大学校内某圆柱体为例，利用索佳SET230R无反射电子全站仪，在两个测站上各观测了4个公共点及均匀分布在圆柱表面上的29个点。

根据上文中的坐标转换关系，利用4个公共点坐标和式(1)，求得两个测站坐标系之间的转换参数见表1，公共点的坐标及坐标残差见表2。

表1 坐标转换参数

表2 公共点坐标及转换残差

坐标转换的单位权中误差为5.6 mm。

利用表1中的坐标转换参数，将在两个测站上观测的圆柱表面点位坐标归算到同一坐标系下，按照式(4)列立误差方程并组成法方程，附加限制条件式(5)，根据附有限制条件的间接平差进行解算。本算例中固定点的已知分量为Z0，取各观测点6.268 5 m。平差后固定点另两个分量X0、Y0分别为：5 836.919 3 m、2 666.329 9 m，圆柱轴线的单位方向向量为(0.000 746 2 0.002 102 2 -0.999 997 5)，圆柱半径为0.122 6 m。根据圆柱轴线方向和式(6)，轴线倾斜率δ=7′40.107 972″。各观测点中误差为1.7 mm，各观测点的圆度与相对圆度见表3。

由式(7)将观测点投影到圆柱体表面，然后以(5 836.919 3，2 666.329 9，6.268 5)为原点o建立圆柱标准坐标系，以圆柱轴线方向为z轴，从原点o指向(-0.999 999 7 0 -0.000 746 2)方向为x轴，则y轴指向(0.000 001 6 -0.999 997 8 -0.002 102 1)。将投影点坐标转换到圆柱标准坐标系，并建立圆柱展开面坐标系，将圆柱侧面展开，各投影点在圆柱展开面坐标系中的坐标见表3。

表3 观测点的圆度以及在圆柱展开面坐标系中的坐标

根据表3中观测点的投影点在圆柱展开面坐标系中的坐标和观测点的圆度，绘制展开面的等值线，如图4所示。对观测点的圆度进行分析，绘制残差分布如图5所示，残差分布图可以直观地表达残差是否符合偶然误差的规律。

通过表3、图4和图5可以看出，圆柱表面比较平整，观测点残差分布合理。对照图4与表3可以对圆柱体表面的凹凸性有直观清晰的认识。

图4 圆柱面展开图

图5 观测点误差分布图

六、结束语

本文介绍了根据圆柱表面观测点的坐标，利用最小二乘原理拟合圆柱体的空间位置和形态的方法与计算过程。该方法原理清晰、计算简单、结果可靠，而且有实际的几何意义，并通过算例验证了该拟合算法的可靠性与准确性。

拟合出圆柱体后，根据观测点坐标与圆柱体参数可以计算观测点的圆度，本文引入了相对圆度的概念，以圆度与圆柱半径的比值表示相对圆度，从而更加合理地表达观测点相对圆柱体表面的偏离度。利用圆柱体的参数计算观测点在圆柱体表面的投影点坐标，然后经过坐标转换，将圆柱侧面展开为平面，能够更加直观地表示投影点的分布。本文详细阐述了圆柱体侧面展开的原理和计算过程，通过算例验证了算法的可行性。

作为一种基本的几何体，圆柱体在建筑物、工业部件中很常见，因此圆柱体的拟合在工程测量、工业测量、逆向工程中都有着广泛的应用。本文介绍的圆柱体拟合方法与质量检测方法易于理解、便于计算，且精度可靠，在圆柱体的拟合和质量检测中是一种可靠的方法。

参考文献：

[1] 刘元朋，张定华.逆向工程中圆柱体几何特征参数评估方法的研究 [J].机械科学与技术，2005,24(3)：310-311.

[2] 秦世伟，潘国荣，谷川，等.基于遗传算法的三维空间柱面拟合 [J].同济大学学报：自然科学版，2010,38(4)：604-607.

[3] 王解先.工业测量中一种二次曲面的拟合方法 [J].武汉大学学报：信息科学版，2007,32(1)：47-50.

[4] 王解先，季凯敏.工业测量拟合 [M].北京：测绘出版社，2008.

[5] 王穗辉.误差理论与测量平差 [M].上海：同济大学出版社，2010.

[6] 张益泽，王解先.建筑物的平面拟合和质量检测 [J].工程勘察，2009(9)：79-86.

[7] 张益泽，王解先.初值任意选取的圆柱面拟合方法 [J].工程勘察，2012(1)：77-80.