吕季轩，王建华，解鹏辉

（西安工业大学 机电工程学院，西安 710021）

虚拟齿轮测量中心是一套帮助分析齿轮测量中心机械特性和测量过程的软件.它主要用于完成运动和测量过程的仿真及数据处理与分析，同时还对真实齿轮测量中心的功能进行补充［1］.目前关于虚拟齿轮测量中心的研究，已基本完成了运动和碰撞检测、数据共享变量区，可视化和工件数据加载模块的建立［2-4］.实现了虚拟齿轮测量中心的运动控制、扫描检测和可视化显示等相关功能［5-7］.在真实齿轮测量中心测量过程中，测量精度不可避免的会受到误差的影响，包括几何误差、机构运动误差热误差、弹性误差和工件误差等，而现有的虚拟齿轮测量中心缺少一个可以仿真误差的模块，由于几何误差和运动误差对齿轮测量中心测量精度影响较大，所以文中仅以几何误差和运动误差为研究对象，建立误差模块，通过仿真测量虚拟渐开线样板的结果来分析两种误差对虚拟齿轮测量中心测量精度的影响.

1 虚拟齿轮测量中心误差分析

1.1 几何误差分析

几何误差是测量机本身的制造和装配不完善产生的误差，包括直线轴和旋转轴的误差，运动中的刚体分别有一项线性误差，两项直线度误差和三项微小的转角误差，轴与轴之间还存在垂直度误差.文中以齿轮测量中心为误差分析对象，齿轮测量中心主要由基座1、Y向导轨2、滑台3、立板4、Z向运动滑块5、X向导轨6、Z向导轨7、X向运动滑块8、旋转台9、测头10、下顶柱11、上顶柱13和14立柱构成，加上待测工件12，构成完整的测量系统.滑台3在导轨2上移动，控制测头在Y方向的移动，滑块5在导轨7上运动，控制测头在Z向运动，滑块8和导轨6负责测头在X方向的运动.将工件装夹好后，旋转轴9控制工件的旋转运动.直线运动部件与旋转主轴协同配合，完成测量工作.

图1 齿轮测量中心结构图Fig.1 The structure of gear measurement center

将齿轮测量中心概括为拓扑结构，可分成两个分支，分别是待测工件-基座分支和测头基座分支.文中只考虑齿轮测量中心的直线运动部件的几何误差，只分析测头-基座分支.该分支中包含花岗石基座时，滑台Z向运动滑块和X向运动滑块.理想情况下，齿轮测量中心测端p（xp3，yp3，zp3）沿三个轴运动x，y，z距离后，应到达点（xp＋x，yp＋y，zp＋z）.但由于运动误差的存在，其运动的终点是（），两点之差就是测量误差［8-9］.根据多体理论［10］，包含运动误差后的测端P的运动终点则为

式中：a为测量点在测头坐标系的实际位置矢量；p为测量点在测头坐标系的理论位置矢量；A01为基座和滑台这两个相邻体之间的4×4阶坐标变换矩阵.它是由位姿特征矩阵，位姿误差特征矩阵，位移特征矩阵，位移误差特征矩阵相乘得到.同理，A12为滑台和Z向运动滑块之间的坐标变换矩阵；A23为Z向运动滑块和X向运动滑块之间的坐标变换矩阵.

包括垂直度误差在内，直线运动系统总共存在21项几何误差，这21项几何误差分别通过位姿特征矩阵以及位姿误差特征矩阵，位移特征矩阵，位移误差特征矩阵表示.将特性矩阵代入式（1），经过化简展开，得到具体的一阶误差模型表达式为

式中：ε为角运动误差，下角标表示转轴方向，括号内的字母表示刚体部件的运动方向；δ为直线度运动误差，下标表示误差运动方向，括号内的字母表示刚体部件的运动方向，当下标和括号内的字母相同时，称为定位误差；α为两轴之间的垂直度误差，下角标表示产生垂直度误差的两轴方向.直线运动系统中，刚体的所有单项几何误差均可以通过式（2）～ （4）表示.

由式（2）～（4）可以看出各单项几何误差对于齿轮测量中心测量结果的影响，将几何误差折算到三个轴向的光栅示值误差.在碰撞检测过程中，上位机最终是从光栅传感器中读取测头的运动距离，如果光栅示值存在误差，会将含有误差值的结果直接提供给上位机.因此，上位机经过计算分析后得到的齿形偏差测量结果，包含几何误差值.

1.2 运动误差分析

运动误差是指按照某一事先设定的运动学关系进行相对运动部件间的相对运动误差［11］.在测量过程中，电机及传动机构等产生的误差最终导致刚体运动不到位产生运动误差，此时，光栅示值能准确反映出误差的位移量.

虚拟齿轮测量中心测量方法采用的是法线极坐标法.所谓法线极坐标法是指在测量工件时，测微仪的测量方向A以及测微仪移动方向T均沿渐开线的法线方向，如图2所示.根据齿形偏差计算公式［12］

式中：pi、yi、θi为同一时刻测微仪的示值以及Y 轴和θ轴的坐标值（yi－rbθi）为运动误差.如果不存在运动误差，那么yi－rbθi的值为0，此时，测微仪的示值pi可直接表示出齿形偏差.如果Y轴和θ轴的运动部件存在运动误差，则致使测头的运动轨迹发生偏移，此时，测微仪示值中的运动误差和测头的偏离距离正好相抵消.

图2 齿形测量示意图Fig.2 Schematic diagram of gear tooth measurement

因此，只要在测微仪的量程范围内，运动误差不会影响测量结果的准确性.

2 误差模块建立

虚拟齿轮测量中心的测量过程本质是测头与工件的一个碰撞检测的过程.虚拟齿轮测量中心在测量过程中，运动控制模块通过上位机传递下来的插补段数、循环次数等信息来控制直线轴和旋转轴的运动，同时将测头坐标数据存放在共享变量区，供碰撞与扫描检测模块和可视化系统调用.与此同时，碰撞与检测模块从共享变量区读入测头坐标数据，进行触碰计算，然后测头坐标和触测矢量传递给上位机进行虚拟工件表面的误差分析.误差模块的作用就是完成误差值的生成与叠加.

图3 虚拟齿轮测量中心的结构Fig.3 The structure of virtual gear measurement center

2.1 误差值的叠加

运动误差和测头的运动位置有关，而虚拟齿轮测量中心四轴的联动是靠运动控制模块中的插补函数实现的，在整个插补运算后，测头坐标不断写入共享变量区，更新共享变量区中的坐标数据.因此，可以在插补计算之后，通过修改测头坐标值，将含有运动误差的值返回共享变量区，完成运动误差的叠加.在碰撞检测后，测头坐标和触测矢量通过以光栅示值的形式不断写入共享变量区，上位机根据采集到的值来分析计算工件误差.所以将光栅的示值误差叠加到碰撞检测之后，会直接影响测量精度.加入误差模块后的虚拟齿轮测量中心结构如图2所示.

2.2 误差值的生成

生成的误差值可选形式有常数值，周期值和随机值.为了比较客观的反应出齿轮测量中心的几何误差，选择周期值作为误差值，周期函数的波形作为误差谱.只要满足条件，任何形式的波形都可以通过一系列的正弦波叠加而成.正弦函数的傅里叶级数展开为

其中：a0，an，bn都为傅里叶系数，只需给定不同的傅里叶系数，就可得到一系列不同频率的基波，然后叠加成三角波、方波及实际采样得到的波形.

文中选择正弦函数值作为周期值作为误差值的类型，其形式为

式（7）是运动距离和误差值的一个正弦变化关系，自变量x是部件在轴上运动的距离，只要给定振幅和圆频率，就可得到正弦函数值，即误差值.

由于虚拟齿轮测量中心采用法向极坐标法测量，所以在基圆切线方向的误差分量对测量结果的影响最大.因此，文中研究的是基圆切线方向的运动误差和光栅示值误差.

3 误差叠加结果分析

通过测量最大误差为0.8μm的虚拟渐开线样板来验证运动误差和光栅示值误差对测量结果的影响.渐开线样板基圆半径为52.858mm，评定起点选择5mm，评定终点为24mm，测头直径为2 mm，离散点数设置为40个点.虚拟齿轮测量中心未叠加误差时，此时，y′＝y＋yp3，即运动终点坐标是运动起始坐标与运动距离之和.测量渐开线样板得到的齿形偏差如图4所示.

图4 未叠加误差的虚拟渐开线样板测量结果Fig.4 Measurement result of virtual involute sample without added errors

由图4可知产生齿形偏差Fα和形状偏差ffα的原因是越靠近齿顶的地方，曲线的波动幅度越大，分析其原因是因为虚拟渐开线样板上的离散点是按照等展长的方式建立.越靠近齿顶，离散点的间距越大，间距增大导致弦高差增加，从而导致波动幅度增加，波谷值直接反映弦高差.渐开线样板离散点数越细分，波动幅度越小，齿形偏差和形状偏差也会越小.波峰节点是在理论渐开线柱面上，没有误差.产生斜率偏差fHα的主要原因是曲线越靠后波动越大，波谷越深，波谷值最终影响斜率误差的评定.

3.1 叠加光栅示值误差后的测量结果分析

在渐开线样板测量软件的参数设置中，测量评定间隔20mm，设20mm为正弦函数的一个周期，根据式ω＝2π／l，圆频率ω＝0.3rad／mm.在测量过程中，为了在评定间隔内出现较多的波形，让圆频率ω的取值为0.9rad／mm，振幅A的取值为4 μm，周期值为7mm.齿形误差和形状偏差在理论上近似等于波峰到波谷的竖直距离，即正弦波振幅值的2倍，当振幅为4μm时，齿形误差和形状偏差的值应该约为8μm.现叠加y轴光栅示值误差，测量结果如图5所示.

图5 叠加误差的虚拟渐开线样板测量结果Fig.5 Measurement result of virtual involute sample with added errors

由图5可见，发现叠加光栅示值误差直接影响测量结果，且呈现正弦变换规律，振幅值近似为4 μm，峰谷距离约为8μm，此时齿形误差Fα的测量结果为8.9μm，形状偏差ffα为9.0μm，分别比峰谷距离大0.9μm和1μm.齿形误差和形状偏差与理论值的偏差均在1μm之内，斜率偏差和未叠加误差前的斜率偏差相同，基本符合预期结果.

3.2 叠加运动误差后渐开线样板测量结果分析

将运动误差叠加到运动控制模块中的插补计算后，不会影响测量结果.现叠加等值的运动误差，测量结果如图5所示.

图6 叠加运动误差的渐开线样板测量结果Fig.6 Measurement result of virtual involute sample with added motion errors

由文献［12］知，只要测头上的测微仪在量程范围内，运动误差不会影响测量结果的准确性.由图5和图3对比发现，未叠加误差时齿形误差Fα和形状偏差ffα的值均为0.7μm，叠加运动误差后，齿形误差变为1.2μm，形状偏差为1.1μm，增量分别为0.5μm和0.4μm，误差叠加前后影对齿形误差和形状偏差的影响在1μm之内，斜率偏差和未叠加误差前的斜率偏差相同.由图5和图4对比会发现，图4中波峰波谷地方，对应到图5中会出现细小的波动，说明运动误差对测量结果影响很小，与几何误差对测量结果的影响相比，可忽略.因此认为，虚拟齿轮测量中心中叠加运动误差对渐开线样板测量结果没有影响，符合之前的分析结果.

4 结论

为了实现虚拟齿轮测量中心的误差仿真，文中分别从几何误差和运动误差两方面考虑，初步建立了虚拟齿轮测量中心误差模块.运动误差的导入最终不影响渐开线样板齿形测量结果，而将光栅误差叠加到虚拟齿轮测量中心碰撞检测之后，会影响测量结果.测量结果符合理论分析结果.同时，也验证了渐开线样板测量程序的正确性，为之后误差模块功能的完善和误差补偿奠定了基础.

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