李红梅

(四川文理学院数学与财经系，四川达州635000)

一类无理数的算术定理证明及性质

李红梅

(四川文理学院数学与财经系，四川达州635000)

利用算术基本定理证明了一类无理数，即有限个互异素数的积的正分数次幂是无理数.

素数；分数次幂；无理数

无理数是较难理解的一类数，在中学经常采用计算器作为一个云梯[1]，或采用连分数的表达模型以帮助学生理解，如13的研究性学习[2]，如13这种带根号无理数的严格证明.已有证明，若n为正整数，且n不是完全平方数，则n是无理数[3].若p1,…,ps是s个不同质数，则p1…ps是无理数[4].事实上，利用算术基本定理可证明有限个互异素数的积的正分数次幂是无理数.

算术基本定理：设a＞1，那么必有

其中pj(1≤j≤s)是素数，且不计次序的意义下，表示式(1)是唯一的.将(1)中相同素数合并，即得

其中p1＜p2＜…ps(这里的pj和式(1)中的不表示相同的素数).式(2)称为是a的标准素因数分解式[5].

引理：设p为素数，a,t为正整数，若p|at，则| p a.

证明：若不然，设p|/a，则 ∃k∈Z,0＜r＜p，使a=kp+r.于是

定理1设p为素数，s为大于1的正整数，r为小于s的整数，则为无理数.

(4)式左端为整数，从而p|ns，由引理知p|n.因而，使n=kp，代入(4)有，于是

由于r,s∈Z,r＜s，有s-r-1≥0.从而(5)式右端为整数，故p|ms，由引理知p|m.因而m,n有公因数p，这与m,n互素的假设矛盾.故命题成立.

推论1设p为素数，s为大于1的正整数，则sp为无理数.

定理2设p1,p2,…,pr为两两互异的素数，t1,t2,…,tr为正整数，s为大于1的正整数，t1,t2,…,tr均小于s，则为无理数.

于是

由于t1∈Z+，于是(7)式左端为整数.从而p1|ns，由引理知p1|n.于是 ∃k∈Z，使n=kp1，代入(7)式有

由于t2∈Z+，于是(8)式左端为整数，从而为互异素数，则p2p1，从而故……