刘信东

(宜宾学院数学学院，四川宜宾644007)

b-度量空间中弱压缩映射的强收敛定理

刘信东

(宜宾学院数学学院，四川宜宾644007)

定义了b-度量空间中弱压缩映射，证明了由Picard迭代生成的序列强收敛到弱压缩映射的一个不动点．改进和推广了Fatma等人的研究结果．

b-度量空间；弱压缩映射；Picard迭代；不动点

Banach压缩映射原理自诞生以来，一直受到许多学者的亲睐，他们为此付出了大量的心血，对定理作了各种推广．最近，Fatma[1]将其推广到锥度量空间中的弱压缩映射，证明了该映射有不动点．作为度量空间的推广，b-度量空间越来越受到学者的重视，对度量空间中压缩映射作了大量的推广[2-5]．

1 预备知识

定义1[2]设X是一个集合，s≥1是一给定实数. d:X×X→[)

0,∞是一个映射，如果对任意x,y,z∈X，有

(1)d(x,y)=0当且仅当x=y；

(2)d(x,y)=d(y,x)；

(3)d(x,y)≤s[] d(x,z)+d(z,y)．成立，则称(X,d)是一个b-度量空间．

定义2(X,d)是一b-度量空间，T:X→X是一个映射．如果存在a∈[0,1)，b∈[0,∞)，使得对任意x,y∈X有

成立，则称T是一个弱压缩映射．特别地，当b=0时，称T为压缩映射．

设T是一个弱压缩映射，本文的目的是考虑Picard迭代：证明该迭代生成的序列{xn}强收敛到T的不动点．改进和推广了Fatma等的结论．

2 主要结果

定理1设(X,d)是一个完备的b-度量空间，T:X→X是一个弱压缩映射.如果，则由Picard迭代所生成的序列{xn}是一个Cauchy列．

证明：对任意的n≥1，有

因此，对任意p≥1，有

定理2设(X,d)是一个完备的b-度量空间，T:X→X是一个弱压缩映射.如果则T有不动点．

证明：设{xn}是由Picard迭代所生成的序列，由定理1知，{xn}是一个Cauchy列.由于(X,d)完备，则{xn}收敛．设xn→z,(n→∞)，下证z是T的不动点．

由于xn→z,(n→∞)，则对任意 ε＞0，存在N∈N+，使得n≥N，有于是

由ε的任意性知d(z,Tz)=0，则Tz=z，即……