武淑霞

(四川民族学院数学系，四川康定626001)

有界线性算子的Drazin逆的扰动

武淑霞

(四川民族学院数学系，四川康定626001)

给出了Drazin可逆算子在一个扰动下仍Drazin可逆的充分条件及Drazin逆的表达式，并根据给出的表达式，探讨了相关的误差估计界．

Drazin逆；算子矩阵；扰动；范数

设H是一个无限维Hilbert空间，B(H)表示H中所有有界线性算子的全体．对于算子A∈B(H)，R(A)、N(A)、σ(A)分别表示A的值域、核空间与谱．

对于算子A∈B(H)，若存在AD∈B(H)满足以下三个方程

则称AD为算子A的Drazin逆，其中k=ind(A)称为A的指标．对于算子A∈B(H)，若其Drazin逆存在，则A的Drazin逆AD是唯一的．

设S为B(H)上的可逆算子，若A∈B(H)Drazin可逆，则S-1AS仍Drazin可逆且(S-1AS)D=S-1ADS．

设算子A∈B(H)Drazin可逆且ind(A)=k，则在空间分解H=R(Ak)⊕R(Ak)⊥下，存在可逆算子P，使得

其中A1为可逆算子，A2是指标为k的幂零算子，且有

将A的扰动算子E∈B(H)按照(1)分块为

杨凯凡等[1]给出了算子A在E的扰动下，其扰动算子的Drazin可逆性与表达式，但在计算的过程中没有考虑到指标的变动，因此结果没有化简完全．本文讨论了算子A的扰动的Drazin可逆性，并给出了指标化简完全的扰动算子的表达式及相关的误差界．

在本文中，符号‖∙‖表示算子A的谱范数．记Aπ=I-ADA为A的对应于特征值0的特征投影．简记AnD=(An)D=(AD)n，n≥1．若A是(1)中的形式，那么‖AAD‖=‖Aπ‖=1．设||A||＜1，则I±A可逆且

下面给出文中要用到的几个引理．

引理1[2-3]设H,L是两个Hilbert空间，A∈B(H)与B∈B(L)是Drazin可逆的，其指标分别为ind(A)=r，s=ind(B)且C∈B(L,H)，令，则M是Drazin可逆的且

引理2[4-5]设A,E∈B(H)是Drazin可逆的，且AE=0．

①若A是指标为r的幂零算子，则(A+E)D=；

② 若E是指标为s的幂零算子，则(A+E)D=

下面论述本文的主要结果．

定理1设A,E∈B(H)，A是Drazin可逆的且ind(A)=k，B=A+E，‖ADE‖＜1，则

若ADEAπEAD=0与ADEAπBAπ=0，则B是Drazin可逆的且

其中s=ind(AπBAπ)．

证明：因为ind(A)=k，算子A与E的矩阵形式……