刘俊强，黄 禹

(深圳中广核工程设计有限公司 上海分公司，上海 200241)

反应堆堆芯内的燃料棒在一定的燃耗和功率水平下其内压会大于系统压力(prip>psys)，而在特定条件下某些燃料棒可能会发生偏离泡核沸腾(DNB)，导致燃料棒包壳的力学性能变差[1]，在内外压差的驱动下包壳可能会向四周膨胀阻塞流道从而引起周围燃料棒也发生DNB，这一过程称之为DNB传递。

DNB传递分析中一个最基本的工作是确定燃料棒内压的概率分布。通常采用参数化的处理方法，即假设燃料棒的内压服从正态分布。但燃料棒的内压不总是满足正态分布或与正态分布相差较远。为克服参数化方法的不足，一种新的计算方法即非参数化方法被用来处理燃料棒内压的概率分布。本文以四环路压水堆为例，采用非参数化方法计算燃料棒内压概率密度并进行DNB传递分析。

1 DNB传递分析的一般过程

图1为DNB传递示意图。图1中为5×5的燃料组件，图1a中有5根棒，其内压大于系统压力，假设1根棒发生DNB，如图1b所示。由于此棒的内压大于系统压力，在内外压差驱动下包壳向四周膨胀阻塞燃料棒周围的流道并进而导致其四周的棒也发生DNB，如图1c、d所示。由于这4根因流道阻塞发生DNB的棒中有1根的内压也是大于系统压力的，这根棒的包壳也向四周膨胀并阻塞其周边的流道，如图1e、f所示。这样便造成DNB的传递现象，由图1可看出，最初只有1根棒发生DNB，最终却有8根棒发生了DNB。

图1 DNB传递示意图

由图1可知，影响DNB传递的因素主要有两个：1) 燃料棒内压的概率分布及内压大于系统压力的概率；2) 燃料棒发生DNB的概率分布及每根燃料棒发生DNB的概率。

DNB传递分析的一般步骤如下：

1) 在一定的燃耗或功率水平下，确定燃料棒内压的概率分布及每根燃料棒内压大于系统压力的概率；

2) 在一定的燃耗或功率水平下，确定燃料棒发生DNB的概率分布及每根燃料棒发生DNB的概率；

3) 采用包络的功率历史和保守的堆芯功率分布确定堆芯内每根燃料棒功率水平和燃耗；

4) 根据燃料棒内压的概率分布，采用蒙特卡罗方法抽样确定每根燃料棒的内压是否大于系统压力；

5) 根据燃料棒发生DNB的概率分布，采用蒙特卡罗方法抽样确定每根燃料棒是否发生DNB；

6) 对DNB传递现象进行统计评估。

在传统的分析中，燃料棒内压概率分布的计算通常采用参数化方法，假设棒内压服从正态分布，通过对燃料棒内压有较大影响参数的选取，采用燃料棒内压计算程序可得到棒内压的正常值和95%上包络值，从而得到燃料棒内压具体的概率分布。而采用非参数化方法，无需考虑燃料棒内压分布的具体形式，且在大样本的情况下可对样本的真实分布进行足够精确的估计。

2 内压分布的非参数化处理

2.1 内压样本的选择

采用非参数化方法估计样本的概率密度，需有较大的样本空间才能得到足够的精度，对于一维的样本一般需几百个样本点即可满足精度的要求[2]。本文采用325个棒内压数据点估计棒内压的概率密度，这325个内压由燃料棒内压计算程序得出，计算方法如下。

编写程序对棒内压影响较大的变量如包壳生长、裂变气体释放、包壳尺寸等进行随机抽样，得到325个内压计算程序的输入数据。在内压计算中采用包络的功率历史和保守的堆芯功率分布，在每个燃耗点下由燃料棒内压程序计算得到325个燃料棒内压值。

所计算的燃料棒经历了3个循环，最大的燃耗为60 349 MW·d/tU，选取31个燃耗点进行内压计算，详细的燃耗计算点列于表1。对应每个燃耗点均会计算得到325个棒内压的数据点，并采用非参数化方法计算得出在每个燃耗点下的棒内压概率密度。图2示出在燃耗点57 881 MW·d/tU下的燃料棒内压计算数据，由于篇幅所限，本文所有图仅列出燃耗点57 881 MW·d/tU下的结果。

表1 计算的燃耗和相对功率

图2 内压数据点

2.2 内压样本的概率密度估计

采用Parzen窗法[3]对燃料棒内压的概率密度进行估计，基本公式为：

(1)

(2)

其中：p(x)为燃料棒内压x的概率密度函数；φ(x)为窗函数；n为要估计的样本数；vn为所选择的估计区域；hn为区域的宽度；h为非负常数；d为样本的维度；xi为样本值。

采用非参数化方法分别对31个燃耗点下的燃料棒内压概率密度进行估计。由于所估计的数据为一维的，因此，vn=hn。

选择正态窗函数为：

(3)

将式(3)代入式(1)可得：

(4)

图3 不同h值下的概率分布

计算中n取325，根据样本选择一h值，通过式(4)可编程计算得到燃料棒内压的概率密度，其中h值的选择对概率密度的计算结果影响很大。h值取得过大，估计的概率密度曲线会变得过于平滑，如图3中的实线，在概率密度估计中会丢失许多有用的样本点造成估计的误差；若h值取得过小，概率估计会引入过多偏离的样本点造成概率密度曲线的起伏过大也会使结果产生较大的误差，如图3中双点划线。作为对比，图3中同时也列出了采用直方图方法的棒内压概率密度估计结果(下文各图均采用了类似方式)。但总可选一合适的h值，使估计的概率密度具有良好的精度。h值的选择可采用如下无偏交叉验证法准则[4]：

(5)

UCV(h)=ISE(h)-R(f)=

(6)

(7)

根据式(7)通过计算机编程可求得一个最佳的h值。燃耗为57 881 MW·d/tU时，可求得h=59.1，将此h值代入式(4)，计算得到的内压概率密度曲线如图4中点划线所示。

图4 采用非参数化方法和参数化方法的内压分布

而传统的参数化方法，燃耗为57 881 MW·d/tU时，由棒内压计算程序得到内压的正常值为13.78 MPa，内压95%上包络值为15.38 MPa，根据这两个值可得到采用参数化处理的内压概率分布曲线，如图4中实线。同时图4也直观地示出了采用非参数化和参数化这两种方法计算所得的棒内压概率分布的比较及两种方法与直方图估计结果的比较。

2.3 棒内压大于系统压力的概率

表2 内压大于系统压力的概率

3 DNB传递分析

采用本文第1节所述的方法进行DNB传递分析。由于堆芯是1/4对称，在计算中模拟1/4堆芯共56个燃料组件。在分析中假设堆芯发生一个中等频率事故，由于核电厂的热工设计已经保证反应堆在正常运行及中等频率事故下不会发生DNB，因此在DNB传递分析中假设有且只有1根燃料棒发生DNB。作为对比，进行两个工况的计算，一个工况其燃料棒内压大于系统压力的概率采用非参数化方法处理的结果，对比工况的燃料棒内压大于系统压力的概率采用参数化方法处理的结果(表2)，两个工况的其他输入条件完全一致。经2 500次蒙特卡罗抽样后的计算结果列于表3。

表3 DNB传递分析结果

4 讨论

4.1 非参数化方法的优缺点

由以上分析过程可看出采用非参数化方法估计样本概率密度的优点在于不必考虑样本的具体分布形式，因此非参数化方法具有广泛的适用性，而且在样本足够大的情况下对样本概率密度的估计具有很高的精确度。当样本无穷大时，对样本概率密度的估计是无限接近样本真实分布的。

而非参数化方法的缺点也显而易见，要得到较高的精度需有足够多的样本，这极大地增加了数据处理的工作量，因此往往需编写程序进行繁杂的数据处理。

4.2 计算结果的讨论

由图4的计算结果可看出，采用非参数化方法所得到的内压分布和直方图的估计吻合得较好，但采用参数化方法的内压分布和直方图的估计结果相差很大。同时，可看出非参数化方法所得的概率密度曲线与正态分布曲线相类似。

从表2所列的31个燃耗点下内压大于系统压力的概率可得出：在低燃耗下，采用非参数化方法计算的内压大于系统压力的概率小于参数化方法计算的概率；而在高燃耗下，采用非参数化方法计算的内压大于系统压力的概率大于参数化方法计算的概率。

从表3的DNB传递分析结果可得到，采用非参数化方法计算的工况，其内压大于系统压力的棒数及发生DNB的棒数均大于对比工况的结果，说明采用非参数化方法的计算结果更加保守。

5 结论

由于非参数化方法无需对一些分布形式未知的样本进行较强的假设，相较于参数化方法具有更加普遍的适用性。DNB传递分析中，在燃料棒内压分布形式未知的情况下，相较于参数化的方法， 非参数化方法所得到的燃料棒内压分布更接近样本的真实分布。根据DNB传递对比分析的计算结果可得，非参数化方法更适于在DNB传递分析中处理燃料棒内压的概率分布问题，且计算的结果更加保守。

参考文献：

[1] 孙汉虹. 第三代核电技术AP1000[M]. 北京:中国电力出版社，2010:80-92.

[2] 王星. 非参数统计[M]. 北京:清华大学出版社，2009:254-273.

[3] 吴喜之. 非参数统计[M]. 北京:中国统计出版社，2006:187-198.

[4] 屈文建，熊建国. 非参数密度估计法比较及应用[J]. 沈阳农业大学学报，2008，39(4)：468-472.

QU Wenjian, XIONG Jianguo. Application and analysis research on nonparametric density estimation[J]. Journal of Shenyang Agricultural University, 2008, 39(4): 468-472(in Chinese).