潘嘉凝 王万平

(上海建筑设计研究院有限公司，上海200041)

1 造型元素

1.1 点

点是最基本的图元，是由三个空间坐标定义的一个位置。点没有大小，但有位置。为确定点的位置，首先在空间中设置任意一点作为原点。然后，就可以定义某个点的位置在原点左侧(或右侧)的多少个单位处、在原点上方(或下方)多少个单位处以及高于(或低于)原点多少个单位。这三个数字提供了该点在空间中的三维坐标(如图1所示)。

图1 点

1.2 样条曲线的历史

样条曲线(图2)属于曲线类型，在用于计算机建模之前，最初是为造船业开发的。船体设计师需要找到一种方法来绘制通过一组点的平滑曲线。[2]

图2 样条曲线

解决方法是将压铁(称为节点)放在控制点上，然后弯曲薄金属条或木条(称为样条)使之通过所有压铁。

过渡样条的物理特性意味着每个压铁的影响在接触点处最大，并沿着样条均匀递减。若要更多地控制样条的某个特定区域，制图员只需添加更多的压铁即可。

但是此方案在数据交换方面存在明显的问题。人们需要通过数学方式来描述曲线的形状。三次多项式样条曲线是制图员所用木条的数学表示。将多项式样条曲线引申后获得B样条曲线(即基本样条曲线)，这种样条曲线是分段多项式样条曲线之和。

然后，通过引申 B样条曲线，创建了一种称为NURBS的数学表达法，自由曲线曲面造型技术就是使用这种表达法。

1.3 曲线的数学表达法

多项式方程式是Alias所使用的曲线表示法的数学基础。

1.3.1 多项式方程

从最简单的数学表达法开始，几何上可以使用y=kx+b之类的方程式代表一条(二维)直线。对于每个 x值，可以得出 y值，并且可以将这两个值的关系用函数图像来表示。此类方程式的一般形式是ax+by=c。等号左侧的表达式称为多项式(多项是指表达式包含多个项)。

另外可以创建更加复杂的表达式，以x乘以自身，即y=x*x*x。不必在项中写出所有x，通常只是将x相乘的次数以上标形式表示。这种上标称为“指数”。所以，上面的表达式表示为y=x3。

带有指数的多项式，例如:y=ax2+bx+c第一个x的指数(2)意味着此函数的图像是曲线，而不是直线。

1.3.2 阶数

多项式方程式的阶数是方程式中的最大指数。直线方程式的最大指数是1

·线性方程式的阶数是1。

·二次方程式(包含x2项)的阶数是2。

·三次方程式(包含 x3项)的阶数是3，依此类推。

1.3.3 参数表达法

有两种常见方法可以创建曲线的表达式。隐式表示法将每个变量组合在一个较长的非线性方程式中，例如:ax3+by2+2cxy+2dx+2ey+f=0。在此表示法中，要计算出x值和y值才能在函数图像上绘制这些点，因此必须对整个非线性方程式求解。

参数表示法将方程式重写为较短的、容易解出的方程式，即将一个变量转换为其他变量的值:x=a+bt+ct2+dt3+…y=g+ht+jt2+kt3+…

使用此表示法后，x和y的方程式就显得非常简单只需知道t(要计算x和y值的曲线上的点)的值即可。

通过在空间中移动点，可以绘制参数化曲线。可以随时计算移动点的x值和y值。这个点非常重要，因为许多工具都使用将参数值与线上的每个点相关联的概念。这与曲线的U维相对应。

1.3.4 创建复杂曲线

曲线方程式的阶数越低，所描述的曲线就越简单。表达复杂曲线最简单的方法是提高曲线的阶数，但是这种方法并非很有效。曲线的阶数越高，要求进行的计算就越多。此外，阶数高于7的曲线的形状中容易出现宽幅振荡，这样不适合进行交互式建模。

比较好的方法是将阶数相对较低(1－7)的曲线方程式接合在一起，形成更长、更复杂的复合曲线的曲线段。曲线段(或跨距)的接合点称为编辑点。但是，不能完全忽视阶数较高的曲线。阶数是5和7的曲线具有某些优点，例如曲率更加平滑并且更加“绷紧”。此类曲线经常在汽车设计中使用。

1.3.5 平滑接合

一种由汽车行业开发且被广泛所熟悉的曲线是Bezier曲线。Bezier曲线将三次曲线段组合在一起，每个曲线段包含四个控制点(起点、终点以及两个“操纵点”)。Bezier曲线的问题是曲线段之间的接合未必平滑。

NURBS对此问题的解决方法是，使用上一个跨距的最后控制点作为当前跨距的初始控制点。这样可以确保曲线段之间平滑接合。

曲线的阶数(图3)决定了跨距之间接合的平滑度。阶数是1的(线性)曲线在接合处提供位置连续性。阶数是2的(二次)曲线提供切线连续性。阶数是3的(三次)曲线提供曲率连续性。

图3 曲线的阶数

2 造型技术的分类

在数字化设计环境下，造型技术主要分为:

1)Mesh多边形造型技术，也称为网格建模技术(图4左);

2)Nurbs简称自由曲线曲面造型技术(图4右、图5)。

这两种主流造型技术的区别和适用特点(表1):

表1 主流造型技术特点

3 M esh多边形造型技术

行业内基于Mesh多边形建模技术(图6)的工具主要有:

1)笔刷类:Zbrush，Mudbox;

2)配合硬件操控类:三维扫描抄数仪等;

3)细分曲面类(Sub-Div):Maya;

Mesh造型技术的特点:

1)对曲线曲面的描述不精确;

2)视觉感官的光滑程度与多边形网格的疏密程度有关，网格越密造型越接近光滑，如图6;

3)偏感性和直觉化的造型创作方式;

4)适合生物等仿生造型的创建，以满足视觉效果需求为主;

5)缺乏设计流程的理念;

6)Mesh转Nurbs比较困难，涉及到逆向工程等专项技术。

图6 多边形网格

4 Nurbs自由曲线曲面造型技术

NURBS是非均匀有理B样条曲线(Non-Uniform Rational B-Splines)。1991年，国际标准化组织(ISO)颁布的工业产品数据交换标准STEP中，把NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。[1]

NURBS曲线和NURBS曲面在传统的制图领域是不存在的，是为使用计算机进行3D建模而专门建立的。在3D建模的内部空间用曲线和曲面来表现轮廓和外形。

Nurbs特点:

1)真正意义上的曲线曲面;

2)Nurbs造型方式的流程化特点与产品的设计流程类似;

3)能非常好地配合后端制造需要;

4)Nurbs转Mesh比较容易;

5)制造业建模的标准数据结构。

结合上述对Nurbs以及Mesh的特点分析比较，可对行业内主流设计工具按其基于的造型技术进行分类(表2):

表2 主流设计工具基于造型技术分类

另外还有一类工具结合了Nurbs和Mesh/Sub-Div细分表面建模技术的特点，例如 Rhino的TSpline以及CATIA的Image＆Shape，这类造型技术让使用基于Nurbs作为模型工具的设计师轻松地创作出有机生物和仿生造型。是一种基于NURBS的新建模技术，可以将其称为NURBS的Sub-Div细分建模工具。由于基于NURBS所以具有NURBS的的基本特性，模型可以做到非常的精确。同时设计人员可以通过简单的拖，拉，挤等动作就可以做出自由和仿生的造型。而且还具有部分把多边形模型转成NURBS的逆向功能。

5 矛盾与对策

之所以从造型技术的原理去研究其准确性、唯一性，是因为建筑设计有别于CG视觉艺术只停留在画面里。建筑设计的成果是一个看得见摸得着，需要实实在在建造出来的真实的对象。因而考虑如何把造型设计出来只是一个开始，还需研究如何把设计建造出来。

在对造型技术及其工艺特点有了一个基本的概念后，可以得出以下结论:

1)任何精确的造型都是可以描述唯一性的;

2)能描述唯一性的，必定是能以数学方程式表达;

3)Nurbs就是一种能精确描述自由造型的造型技术;

4)传统图纸已经无法描述 Nurbs造型的唯一性。

这也是制造业利用模型数据传递设计信息替代二维图纸的原因之一。

现实矛盾是先进的造型技术与落后的图纸表达之间的矛盾。毕竟在建筑业图纸是具有法律效应的设计资料文件。因此化解这对矛盾最佳的途径就是“翻译”。将只有计算机能运算的设计信息翻译成传统图纸能表达的形式，同时翻译成现场工程技术人员能够使用，满足建造工艺的表达式。

常规的做法有:

1)近似拟合法

暂时牺牲曲线的连续性，将原本曲率连续的Nurbs曲线分别为若干近似圆弧，便于施工图中尺寸标注(图7-8);

2)控制点定位法

提取模型的造型特征信息，例如三维坐标值(图9);

3)设计成果封装交付法

即在交付二维图纸的同时，提交与二维设计成果匹配的三维设计成果及其衍生数据清册(图10)。

由此可见造型技术的工艺特点不仅改变了建筑设计的技法，同时影响着建筑业内各环节和参与方之间沟通协作的思维模式。

使用上述“翻译”的做法实属无耐之举。在任何一次翻译转换的过程中，都会或多或少地发生原始光滑连续的曲线曲面与转换后可图纸表达造型的误差，这样就需要有一个范围，就是公差，用来确定精度。公差越小，精度就越高。

例如三维曲面幕墙的立面展开图，对复杂的曲面幕墙展开，面积和形状或多或少会有所变化的，好比一张崭新的A4纸，被揉搓折皱后再展开永远恢复不到原来的样子。但是只要曲面幕墙展开后的面积或者边界条件与展开前的差值在

6 结语

图10 设计成果封装交付法

允许幕墙加工安装允许公差范围内，就是满足工艺要求。

因此公差在实际项目的建筑造型设计中就是后端加工制造工艺精度、材料自身特性应环境温度影响产生的应力应变的允许误差。且任何一个项目都需在设计之初就确定合适的公差，并且一旦设定，中途不能随意修改。

一个优秀的建筑少不了打动人的造型，造型反应出一个时代环境下人的思想感情、使用要求和审美意识。我们在建筑造型创作中既要突破传统局限，将传统与现代科技和时代精神有机结合起来，在构思、造型、艺术有所创新突破。

但受到材料特性、工艺要求、可建造性分析结果和质量工期可控制压力等因素限制，建筑设计在方案之初就应充分考虑造型技术的工艺特点。要达到怎样的预期效果等。这些目标和需求明确了，技术指标和技术路线自然也清晰了。

[1]百度百科

[2]Alias Help Document

[3]周培德.计算几何:算法设计与分析(第3版)[M].清华大学出版社，2008.