冒建生

【摘 要】数学应用问题可分成“结构良好”问题和“结构不良”问题。目前，中学教学应用题不够重视“结构不良”问题，导致学生出现解决问题的能力生长不平衡、能力增长缺乏后劲等问题。因此，应当合理利用课程资源，依托媒体技术，带领学生走向现实生活，提升学生的建模能力。

【关键词】结构不良数学应用数学建模实际问题

所谓“结构不良”问题，一般是指构成问题的目标、条件和解决问题的方法三者存在某种不确定性，因而也常常没有唯一、标准的答案，并且问题的解决要与多个知识领域相联系。数学“结构不良”问题比开放性问题的范畴更大、更广。在数学实际问题中，“结构不良”问题是大量存在的，主要包含三种情形：一是概念的复杂性，知识应用到具体的实践中会包含许多概念，且概念间会发生复杂的相互联系；二是实例的差异性，在同类各个具体实例的应用中，所涉及的概念及相互作用的模式也有很大的差别；三是信息的不完整性，具体情境缺乏足够的资源，材料不全或参数不完整，解决问题相应的知识准备不充分，等等。它是以具有开放性、实践性和探究性为特征的。解决“结构不良”问题需要解决者确立问题的条件和目标，获取对问题解决有价值的信息，激活、完善解决问题所需要的知识、技能、方法和策略。

一、数学实际应用问题教学存在的弊端

1.应用问题教学脱离实际。

人们将应用题大致分成四个层次：（1）直接套用现成公式计算；（2）利用现成的数学模型对应用题进行定量的计算；（3）对于已经加工提炼的、忽略了次要因素、保留下来的诸因素关系比较清楚的实际问题，建立数学模型；（4）对原始的数学问题进行加工分析，提炼出数学模型。近些年来，数学实际应用问题的教学得到一些提倡和重视，但是，我们应该看到，实际教学中的应用题并非实际问题，而是实际问题抽象化的一个文本形式。经典题目往往文本简约，对事物细节舍弃较多，由于抽象程度较高，文本逐渐远离实际背景而趋近数学模型。学生接触的所谓应用题中绝大多数是第（1）（2）个层次的问题，就是说我国中学数学实际问题的教学只是“结构良好”问题的训练，实际问题的“数学化”过程被忽略了。

2.知识与建模能力生长不平衡。

由于受到阅卷“易于操作”的要求限制，高考中没有将“结构不良”问题列为考查内容，因此，“结构不良”问题在教学中备受冷落，课本上“实习作业”形同虚设。数学课程标准要求：“高中阶段至少应为学生安排一次建模活动，还应将课内与课外学习有机结合起来，把数学建模活动与综合实践活动有机结合起来。” 这些理念和要求仍只是纸上谈兵。学生面临实际问题情境时的表现让人失望，学生解决实际问题的能力发展停滞不前，知识与能力的增长极不平衡。

【案例】（2012年，南通市高考模拟卷）将52名志愿者分成A、B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗。假定A、B两组同时开始植树。（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨用时24分钟，种植一捆沙棘用时30分钟，应如何分配A、B两组的人数，使植树活动持续的时间最短？（8分）（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨仍用时24分钟，而每名志愿者种植一捆沙棘实际用时40分钟，于是，从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动持续的时间。（6分）

本题属于中档题，但由于学生不接触生产实际，没有参加植树劳动的经历和体验，约有35%的学生对两组同时进行的“植树活动持续时间”误读为“A、B两组植树时间的总和”，建模“走错了路”，导致在错误的道路上越走越远。另外，学生平时接触较多的是较低层次的应用题，在不断套用现成的数学模型的训练中养成了识别模型的习惯，对于学生解决实际问题的能力没有实质性的训练，这也是学生通过三年高中数学学习，建模能力却没有多大长进的原因。

3.学生能力增长缺乏后劲。

我国现行教育制度下，学生只能在封闭的教学环境中应付各种无休止的解题训练、考试。所谓实际应用题只是为了应对考试而设立的，它们都是经过人为加工的、“结构良好”的问题，与原始的、“结构不良”的复杂问题相去甚远。面对真实情景的问题，将实际问题简单化、理想化，是对实际问题进行“数学化”的重要方法，是数学建模的十分重要的步骤，但中学应用题的教学正是把这个“头”给掐了。由于学校教育很少给学生提供分析和解决“结构不良”问题的机会，学生走出学校大门后，面对真实世界中大量的“结构不良”问题时，往往感到束手无策，不能对问题进行很好的翻译、梳理、估算，对问题目标、现有状态与目标状态之间出现的差异、变化无法找寻到可靠的操作路径，这样的教学也就谈不上什么培养学生的“能力后劲”了。

人们常常抱怨学生的“高分低能”，这说明考试分数在一定程度上可以反映学生对书本知识的掌握情况，但往往不能反映学生的综合素质和实际能力。社会要求的人才不是会考试的人才，而是会解决实际问题、会做事的人才。诚如斯滕伯格研究发现的：“传统上，以智商为基础的学业智力，通常是通过解决结构良好问题的能力来测量的，而现实世界的成功智力是以解决结构不良问题的能力来衡量的。”

二、提高学生解决“结构不良”问题的策略

1.建立保障机制，让教师带领学生走向现实生活。

荷兰数学家、教育家弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中给出了“数学化”原则：“现实世界自始至终贯穿在数学化之中，从现实世界形成数学概念，进一步抽象化、形式化，又应用于现实世界中，通过现实世界的调节再次数学化，两者交融在一起。”因此，首先教师要鼓励、引导学生经常接触社会，让学生到社会各领域、各阶层中去，了解现实生产和实际情况，采集各个方面的信息、数据，在教师的指导下有目的地开展一些社会实践调查活动，结合所学知识对一些问题进行数学的思考，尝试“数学化”处理。例如水电费、通讯费等函数问题，交通路径、彩票抽奖等概率统计问题，贷款、细胞分裂、退耕还林等数列问题，以及利润最大、用料最省、效益最高等最优化问题都可以作为学生开展实践活动和数学建模的选择对象、内容。这种社会文化模式下的数学教学，寻求的主要目标在于使数学成为解决问题过程中强有力的工具，给予学习者充分的数学实践和能力发展的空间。

另外，把教学定位从升学考试转为学生的发展，让学生有机会走向社会开展数学建模活动，还需要全社会的广泛支持。教育主管部门应该建立对教育教学的多元评价方法体系以及相关的规章，以保证数学建模活动的顺利开展，从制度上保证学校能够正常开展建模活动，教师才可能不把“分数”视为命根子，放开手脚，让学生走向社会生活，走进数学应用问题的“结构不良”领域。这样，数学应用能力的培养才可能落到实处，数学教育也才能跳出应试教育的怪圈。

2.实施教师培训，提高教师指导学生建模的能力。

由于各种原因，数学教师自身十分缺乏社会各个领域的相关基本知识。尽管教师在纯数学基础知识方面表现出一定的优势，但是他们数学应用意识不强，知识、能力结构不够合理，在指导学生走向社会生活，解决数学“结构不良”问题的时候，无论是数学建模还是信息技术的应用，都表现出一定的局限性甚至低能或无能。另一方面，现代的学生信息来源广泛，接触面较宽，更有部分学生想象力丰富，他们面对数学“结构不良”问题提出的设想可能超出教师的想象和指导能力的范围，若经常面临这样的窘境，教师怎么可能顺利地指导学生进行数学建模呢？所以，实施教师培训工程，提高教师的指导能力是必要的。通过学习培训和专家引领，增强教师的数学应用意识，使他们认识到轻视数学应用必将给学生的未来埋下严重的隐患；增强教师主动学习社会各领域知识的意识，提高他们自身的数学建模能力，特别要让他们熟练掌握信息技术，跟上时代前进的步伐，以适应新时代工作的需要，使他们能从更广的维度和更深的层面上指导学生解决数学结构不良领域中的问题。

3.加强建模训练，提高学生解决实际问题的能力。

在解决实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是学生颇感困难的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题理想化、抽象化为合理数学结构的过程。首先，要指导学生有目的地进行调查，学会收集、整理数据资料，观察、分析隐藏在其中的数量特征和内在规律，抓住主要矛盾，建立起反映实际问题所属对象的数量关系。然后，再引导学生通过假设和确定对象的一些基本量，寻找可能对应的数学模型，要针对所要解决的问题特点，选择具有关键性的主要变量，确定相互关系及其数学结构；最后，让学生利用数学概念、符号表达事物对象，建立起变量之间的明确关系，将实际问题抽象为数学问题。

数学建模是一个不断探索、不断调整假设和完善结论的过程，更需要学生具有创新精神、合作意识，教师要给予学生独立思考和独立探索的机会，鼓励学生相互协作、讨论、质疑，在解决实际问题的实践过程中，通过观察与分析、抽象与概括、类比与归纳等思维形式，逐步提高学生的数学建模能力。

在建模活动中，教师的主导作用是至关重要的，一方面教师要根据学生的特长、兴趣、爱好，引导学生以适当的组合方式参与建模活动，明确个体在活动中的角色和任务，精心培育一个个能出色完成建模任务的“学习共同体”。在学生针对某一数学“结构不良”问题提出各种解决思路与方案后，“学习共同体”要开展交流、讨论，相互纠正、补充、完善方案；另一方面，要启发学生大胆猜想、小心推理、反复验证，特别当“学习共同体”遇有困难的时候，教师要能够给予适当的指导，帮助他们摆脱困境，明确问题症结所在，提出改进的建议。

4.利用课本资源，让课内外的学习有机结合起来。

在教学过程中，人们的注意力主要集中在基础知识识记和解题技能训练的层面上，而将知识的实际应用置于次要地位，课本提供的应用问题的资源远远没有得到充分开发和利用。我们既要发挥课本上原有的与现实相关的信息资源的教学功能，让学生夯实解决数学结构良好问题的基础；同时还要进入下一个层次——将原有的问题变更、拓展、延伸，如实习作业往往给一个思路，要求自己提出一个问题，设计解决方案，调查收集数据，分析解决问题，让学生多涉足一点数学应用的“结构不良”问题；既要有概念、定理、公式等理论的学习、验证，又要有包含实验和操作技能的演练。充分利用课本资源，让课内外的学习有机结合起来，才能更加有效地训练学生解决实际问题的能力。如笔者组织学生开展“洗衣最佳浸泡时间”的研究，在与学生讨论了数学建模方法、材料准备和活动步骤的要素后，学生进入实验操作及数据收集整理阶段，把测得的数据进行数据统计，尽管不同组使用了不同的材料，以及成员在过程控制、pH计操作等方面存在着误差，他们得出的结论不尽相同（同质同实验数据具有趋同性），但是通过建模活动，学习者还是充分感受到数学知识应用及共同体合作学习的乐趣，加深了对化学原理、数学建模方法的理解，有效地将课内外的学习结合了起来。

5.利用多媒体技术，让学习环境更接近于真实世界。

“结构不良”问题具有复杂性、多面性、综合性的特点，应用技术手段来寻求问题的解决方案，往往是必须的、有效的、快捷的。比如图形计算器是一种现代手持技术，它具有数据处理功能、绘图功能和进行一些数理实验的功能，利用这些功能学生可以充分地参与探究性活动。教材中也安排了很多的探究案例，如苏教版必修（第四版）第4册第42页的“港口深度的变化与三角函数”，当学生面临解不等式sin■x≥0.44-0.12x时，可以使用图形计算器在同一坐标系中分别画出y=sin■x函数和y=0.44-0.12x的图像，由图像得到问题的答案。研究表明，当学生在合作分组中使用计算机来解决问题时，技术可以有效地促进学习者思维能力、合作能力的培养和发展；当学生运用交流工具来演示和共享解决问题的成果时，技术可以养成学习者批判性思维的习惯。即信息技术的合理利用可以为学习者解决实际问题提供强有力的支持，从而调动学生解决问题的积极性，促进学习者数学思维能力和解决实际问题能力的发展。特别是利用超文本、超媒体技术可以将真实的问题或事件进行链接，使学习环境更接近于真实世界。■

（作者单位：江苏省如皋中学）