马涌泉,邱洪兴

(东南大学土木工程学院,江苏南京210096)

高层建筑结构因其刚度较小，在地震作用下容易产生较大的振动，严重影响结构的安全[1-2]。被动控制作为一项有效的减震技术，在结构振动控制领域已被广泛运用[3-4]。Kaynia等[5]通过在结构的顶层布设由质量块、弹簧和阻尼器组成的调谐质量阻尼器(tuned mass damper，简称 TMD)，得出了 TMD可以降低结构地震反应的结论；周福霖等[6]提出的结构“层间隔震”技术的减震原理类似于TMD，即将前者的隔震支座等同于后者的弹簧和阻尼器，将前者的加层结构等同于后者的质量块；Sadek等[7]采用调节主结构前两阶振型的模态阻尼的方法对TMD的质量比、频率和阻尼比等参数进行了优化；Wang等[8]采用欧拉梁理论确立了横向和轴向的非线性控制方程，得到了TMD的刚体运动与高层结构的横向振动存在耦合以及能量在两者之间发生转移的结论。地震激励要达到其峰值可能仅需极短的时间，容易导致TMD出现反馈延迟，使其无法在瞬间给结构施加一个与结构振动方向相反的惯性力，进而严重影响TMD的减震效果。对此可以在TMD与结构之间增设能够耗散欲传递给TMD地震能的缓冲设备。铅芯橡胶支座(LRB)可以当作缓冲设备。开展TMD与LRB联合控制(简称T-L控制)结构随机地震反应的求解工作具有重要意义。笔者提出以第一振型表示的结构随机地震反应解析解的计算方法。分别运用确定性算法与本文算法对一座10层剪切型钢框架结构进行随机地震反应对比分析，验证本文所提算法的可靠性。

1 运动方程的建立及求解

1.1 T-L控制结构

本文设计的T-L控制结构体系的力学模型如图1所示。TMD系统布置在结构顶层，TMD系统与结构顶层之间布设LRB滞回耗能层。结构、TMD系统和LRB滞回耗能层的运动方程为

图1 T-L控制结构的力学模型Fig.1 Mechanical model of T-L control structure

式中，M、C和K分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵；x为结构相对于地面的位移向量；D为LRB位置向量；Fb为LRB恢复力列向量；xb为LRB两端的相对切向位移；xd为TMD系统相对于LRB滞回耗能层的位移；mb、cb和kb分别为LRB滞回耗能层的质量、阻尼和刚度；r为地震动引起的质量惯性力位置矩阵；H为TMD位置向量；md、cd和kd分别为TMD系统的质量、阻尼和刚度；g为地震动加速度。

LRB的滞回恢复力特性采用双线性模型[9]描述，如图2所示。其恢复力可表示为

式中，A为LRB的个数；η为LRB屈服后刚度与初始刚度之比；q为LRB的屈服位移。

图2 双线性滞回恢复力模型Fig.2 Bilinear hysteretic restoring force model

Moon[10]通过试验及仿真分析指出：对于27～35层的多质点剪切型高层结构，其第一阶振型的地震反应对结构地震反应的贡献率为85%以上；对10～26层的多质点剪切型高层结构，其结构的地震反应按照第一阶振型振动。TMD与LRB以联合控制结构的第一阶振型为目标，因此结构相对位移可以按照第一阶振型展开。令

将方程(3)代入方程(1)，得到：

式中，ω1、ξ1和φi分别为结构第一振型对应的自振频率、阻尼比和第i层元素值；ωd和ξd分别为TMD系统的自振频率和阻尼比；ωb和ξb分别为LRB的自振频率和阻尼比。

对非线性随机方程(4)进行等效线性化处理，sgn(b)的等价线性表达式为

依据非线性随机振动的等价线性化原理可得

式中，为b的根方差，可通过等效线性化体系的随机反应分析确定。

按照上述等效线性化处理，并假定：

式中，μ、α和γ分别为的相关系数。

可将方程(4)统一记为如下等效线性化方程：

由于方程(7)的阻尼矩阵元素由结构阻尼、TMD系统阻尼和LRB黏滞阻尼3部分组成，且质量矩阵和刚度矩阵均为非对称矩阵，传统的实模态理论无法解耦该方程，故利用复模态理论求解该方程。

从而方程(7)可记为

定义方程(8)的特征矩阵B(λ)满足：

由方程(9)可求得4个特征值λi(i=1，2，3，4)。与每个λi相对应的左、右特征向量方程为

由此求得每个λi的左、右特征向量为

T-L控制结构体系的特征值矩阵和左、右特征向量矩阵可分别表示为

引入复模态变换

考虑矩阵W、V的正交性，方程(9)可解耦为

由于荷载向量f(t)具有零均值，从而广义激励F(t)也具有零均值，其协方差函数矩阵为

式(13)的分量形式为

其平稳解为

故模态反应τi与τj的互协方差函数为

模态反应向量τ的协方差函数矩阵为

根据求得的协方差矩阵Cτ(κ)并结合方程(12)，可得出系统反应的协方差函数矩阵为

1.2 TMD控制结构

TMD控制结构体系的力学模型如图3所示。

图3 TMD控制结构的力学模型Fig.3 Mechanical model of TMD control structure

TMD布置在结构顶层，其运动方程可描述为

式中，为结构相对于地面的位移向量；d为TMD系统相对于结构顶层的位移。

结构相对位移按第一振型展开，令

将式(18)代入式(17)，得

方程(19)可统一记为如下等效线性化方程：

采用复模态理论求解方程(20)，令

从而方程(20)可记为

定义方程(21)的特征矩阵满足

由此求得每个i的左、右特征向量为

TMD控制结构体系的特征值矩阵和左、右特征向量矩阵可分别表示为

引入复模态变换

考虑矩阵与的正交性，式(26)可解耦为

协方差函数矩阵为

式(27)的分量形式为

其平稳解为

故模态反应与的互协方差函数为

模态反应向量的协方差函数矩阵为

基于湖北省科技查新数据库信息，分析不同行业或领域在不同计划类别的支持力度变化情况，通过纵横向比较，确定优势特色产业与战略性新兴产业。开展产业发展问题研究，如发展动态、模式及其重点技术领域和发展趋势等，识别企业自主知识产权拥有情况和企业技术创新情况，揭示全省产业发展和科技扶持政策的变化情况，反映未来发展趋势及发展变化因素的认识，为科技产业规划提供决策参考，为政府部门以及和企业决策者提供实施决策的基础信息。

根据求得的协方差矩阵并结合方程(27)，可得出系统反应的协方差函数矩阵为

1.3 无控制结构

无控制结构体系的运动方程为

将式(18)按第一振型展开，得

则式(34)可描述为式(21)的形式，由式(21)的特征根方程可求得2个特征值i为

对于每个特征值i可求得

从而可按照式(26)～(32)的步骤计算系统反应的协方差函数矩阵。

2 随机地震反应分析

2.1 地震激励计算模型

当采用过滤白噪声对应的Kanai-Tajimi模型[11]作为地震加速度谱密度函数时，其形式可表示为

对于T-L控制结构可求得广义激励F(t)的协方差函数矩阵为

对于TMD控制结构可求得广义激励(t)的协方差函数矩阵为

对于无控制结构可求得广义激励(t)的协方差函数矩阵为

2.2 随机地震反应的求解

对于如式(18)所示的广义激励F(t)的协方差函数矩阵，可求得

以此可求得T-L控制结构体系各质点相对于地面运动的位移、速度和加速度反应方差为

求得TMD控制结构体系各质点相对于地面运动的位移、速度和加速度反应方差为

求得无控制结构体系各质点相对于地面运动的位移、速度和加速度反应方差为

3 新算法合理性的验证

利用本文算法和林家浩[12]提出的确定性算法对T-L控制结构进行了随机地震反应分析。

算例是一座10层的剪切型钢框架结构，地震烈度为8度，建在Ⅰ类场地土上，层高为4.0 m，层间剪切刚度ki=2.3 GN·m-1，层间质量为mi=1.1 kt，结构基本周期为T1=1.815 s，基本频率ω1=3.372 s-1，阻尼比ξ1=4.5%；TMD 参数为：md=51.5 t，l=0.582，kd=1.173 MN·m-1，cd=116.2 kN·s·m-1；LRB参数为：初始刚度kb=29.7 kN·mm-1，屈服后刚度ηkb=2.97 kN·mm-1，阻尼比ξb=3.3%，屈服位移q=2.2 cm，屈服强度比F0=7%，隔震层质量mb=109 kg；按Ⅰ类场地分析，地震动模型参数为：谱强因子Q0=6.60 cm2·s-3，ωg=15 s-1，ξg=0.60。

该算例的各楼层基本振型见表1。

表1 各楼层的基本振型Table 1 Basic vibration model of each storey

利用两种算法得到T-L控制、TMD控制和无控制结构的各楼层的位移、速度和加速度反应方差如图4所示。

由图4可以看出，新算法算得的T-L控制、TMD控制和无控制结构的各楼层地震反应方差与确定性算法的计算结果非常接近，本文算法的计算结果稍微偏大，其结果偏安全和保守，因此本文提出的求解T-L控制、TMD控制和无控制高层结构随机地震反应的方法是合理、可靠和有效的。同时也可以看出，T-L控制比TMD控制更能显著降低高层结构的随机地震反应。

图4 不同算法得到的地震反应方差Fig.4 Seismic response variances by different algorithms

4 随机地震反应分析

4.1 算 例

某30层剪切型钢框架结构公寓，地震烈度为8度，建在Ⅰ类场地上，层高3.5 m，ki=2.182 5 GN·m-1，mi=1.1739 kt，T1=2.316 s，ω1=1.872 s-1，ξ1=5%。TMD装置参数为：md=68.2 t，l=0.628，kd=1.286 MN·m-1，cd=155.3 kN·s·m-1；LRB 参数为：kb=32.6 kN·mm-1，ηkb=3.26 kN·mm-1；ξb=3.5%，q=2.5 cm，F0=8%，mb=126 kg；按Ⅰ类场地分析，地震动模型参数为：Q0=6.60 cm2·s-3，ωg=15 s-1，ξg=0.60。

4.2 模态分析

通过对该高层建筑进行模态分析，提取出各楼层第1阶自振频率，如表2所示。

4.3 结果分析

建立无控制、TMD控制、T-L控制3种控制工况的计算模型。采用本文提出的算法分别对3种控制工况下的高层公寓进行了随机地震反应分析，得到高层公寓的位移、速度和加速度的反应方差，见图5。

由图5可以看出，TMD控制与T-L控制较无控制工况相比，前两种控制工况下的位移、速度和加速度反应方差均得到了显著降低；T-L控制在抑制公寓位移、速度和加速度反应方差方面比TMD控制更有效，前者的最大位移、速度和加速度反应方差比后者分别降低了29.3%、27.8%和31.6%。可见T-L控制与TMD控制相比，前者对结构位移、速度和加速度反应的减震效果更好。

表2 各楼层的第1阶振型Table 2 The first order vibration model of each storey

图5 三种控制工况的各楼层地震反应方差Fig.5 Each storey seismic response variances under three control conditions

4.4 新算法的推广

对于采用“层间隔震”技术的高层结构，按照本文设计的T-L控制结构体系，应在隔震层上部结构与隔震层之间增设LRB滞回耗能保护层，将这种新型结构体系命名为LRB层间隔震高层结构。当该结构按第一振型展开后，其运动方程均为两自由度方程，可以参照本文提出的求解结构随机反应解析解的算法对结构进行随机地震反应分析，从而使本文算法更加具有推广价值。

5 结 论

(1)新算法可以求解T-L控制、TMD控制和无控制高层结构的随机地震反应，其计算结果与确定性算法的结果非常接近，新算法的结果偏安全；也可用于求解LRB层间隔震高层结构的随机地震反应，因而具有良好的推广价值。

(2)新提出的T-L控制策略和TMD控制均能降低高层结构的位移、速度和加速度反应方差，但T-L控制的减震效果比TMD控制的要显著。本文算例在T-L控制下的最大位移、速度和加速度反应方差比TMD控制下的分别降低了29.3%、27.8%和31.6%。

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