周永芳， 母丽华， 顾 娟

(黑龙江科技大学 理学院，哈尔滨150022)

0 引 言

微分方程非局部边值问题广泛地出现在化学反应扩散、人口动力学、振动问题、生命科学等科学和工程领域之中。对于常微分方程非局部边值问题，学者们大多致力于解的存在性等定性问题的研究［1－2］，关于非局部边值问题的数值求解方面的研究文献较少。M．Cakir 等［3］讨论了具有积分边界条件和小参数的一维奇异摄动边值问题的有限差分法。廉海荣等［4］建立了一类具有积分边界条件的常微分方程边值问题的指数差分格式，并且给出格式的误差分析，证明了格式是一致收敛的。近年来，再生核数值方法广泛地用于微分方程边值问题的数值求解［5，7－10］，笔者将建立包含积分边界条件的再生核空间，在空间中讨论如下非线性常微分方程非局部边值问题:

精确解的表达形式，通过截断级数给出方程的近似解，证明了近似解一致收敛于方程精确解，近似解的导数一致收敛于方程精确解的导数。其中f:［0，1］×和g0，g1:［0，1］→［0，∞)是充分光滑的函数，a、b 是非负实数。

1 再生核空间

W3［0，1］是再生核空间［6］，对任意的y(x)，z(x)∈W3［0，1］，内积和范数分别为

定义2

W31［0，1］是W3［0，1］的闭子空间(证明参见文献［6］)，W31［0，1］是再生核空间。设W31［0，1］的再生核函数为K(x，t)［6］。

定义3 W［0，1］= {y(x)| y(x)是绝对连续实值函数

2 精确解和近似解的构造

定义线性算子Τ:W31［0，1］→W［0，1］。对任意y(x)∈W31［0，1］，Τy(x)= y″(x)，则方程(1)转化为其中，当y = y(x)∈W31［0，1］时f(x，y(x))∈W［0，1］。

引理1 Τ:W31［0，1］→W［0，1］是有界线性算子。

令φi(x)=R(x，xi)，Ψi(x)=Τ*φi(x)，其中，Τ*是Τ 的共轭算子。

证明 由

有Ψi(x)∈W31［0，1］。

令〈y(x)，Ψi(x)〉W31［0，1］=0，i =1，2，…，n，其中，y(x)∈W31［0，1］，即得

其中，αk= f(xk，y(xk))，k = 1，2，…，n。

定理1 给出了方程(2)精确解的表达式。

通过截断式(3)中给定的级数，得到方程(2)的近似解

定理2 假设方程(2)的解存在唯一，y(x)是方程(2)的解，yn(x)是方程的近似解由式(4)给出，则yn(x)，y'n(x)，y″n(x)是一致收敛的，即

证明 注意到‖y(x)－ yn(x)‖W31［0，1］→0，n→∞，于是当n→∞时，有这里是常数，i=1，2。

3 数值算法

下面将给出方程(2)的近似解yn(x)的求解方法。

为了获得yn(x)，只需要确定αk(k=1，2，…，n)即可。获得yn(x)的数值程序:

类似上面的步骤，寻找αk直到获得2，…，n)，使得则方程(2)的近似解可以由式(5)得到

4 数值算例

算例1 求解下列非线性非局部边值问题

表1 算例1 的数值结果Table 1 Numerical results of example 1

5 结束语

文中通过构造包含方程非局部边值条件的再生核空间，获得了一类非线性常微分方程非局部边值问题的精确解和近似解，证明了方程近似解及其导数的一致收敛性，实验结果表明，该方法有效，可以进一步推广到其他非线性方程边值问题的求解。

［1］KANG P，WEI Z L．Three positive solutions of singular nonlocal boundary value problems for systems of nonlinear second order ordinary differential equations［J］．Nonlinear Analysis，2009，70(1):444 －451．

［2］ABDELKADER B．Second-oder boundary value problems wih integral boundary conditions ［J］．Nonlinear Analysis-theory Methods＆ Applications，2009，70(1):364 －371．

［3］CAKIR M，AMIRALIYEV G M．A finite differenee method for the singularly perturbed problem with nonloeal boundary condition［J］．Applied Mathematics and Computation，2005，160(5):539 －549．

［4］廉海荣，王玉鹏，赵琳琳，等．具有积分边界条件的常微分方程边值问题的数值解［J］．数学的实践与认识，2012，42(2):184 －190．

［5］周永芳，顾 娟．求解一类偏微分方程的新算法［J］．黑龙江科技学院学报，2008，18(5):391 －395．

［6］周永芳．若干微分方程非局部边值问题的一种数值方法［D］．哈尔滨:哈尔滨工业大学，2011．

［7］ZHOU Y F，LIN Y Z，CUI M G．An efficientcomputational method for second order boundary value problems of nonlineardifferential equations［J］．Applied Mathematics and Computation，2007，194(3):354 －365．

［8］LIN Y Z，ZHOU Y F．Solving nonlinearpseudoparabolic equations with nonlocal boundary conditions in reproducingkernel space［J］．NumericalAlgorithm，2009，52(4):173 －186．

［9］么焕民，林迎珍．再生核空间中求解六阶边值问题的新算法［J］．数学杂志，2010，30(6):1035 －1042．

［10］ZHOU S P，CUI M G．A new algorithm for determining the leading coefficientof in the parabolic equation［J］．World Academy of Science，Engineering and Technology，2009，55(6):512 －516．