有关向量组的线性相关性命题的思考

2014-08-01兰华龙

赤峰学院学报·自然科学版 2014年22期

关键词：线性方程组证法等价

兰华龙

（成都信息工程学院银杏酒店管理学院，四川成都 600007）

有关向量组的线性相关性命题的思考

兰华龙

（成都信息工程学院银杏酒店管理学院，四川成都 600007）

向量组的线性相关性概念内容丰富，加上与其等价的命题，它们将线性代数中的部分重要知识点有机地联系在一起，这对于解决相关问题往往能起到行之有效的作用，本文结合题目，从不同的角度出发给出多种解答方法，力求更深入理解向量组的线性相关性概念.

向量组；线性相关性；秩；等价

向量组的线性相关性概念及应用是学习线性代数知识的一个重点，也是一个难点，正确理解向量组的线性相关性概念和与其等价命题的关系，是学好此部分知识内容的关键

定义对于向量组α1，α2，…,αm(m≥1)，若存在不全为零的数k1,k2,…,km使k1α1+k2α2+…+kmαm=0成立，则称向量组α1，α2，,…,αm线性相关；

若当且仅当k1=k2=…=km=0时，k1α1+k2α2+…+kmαm=0才成立，则称向量组α1，α2，…,αm线性无关.

根据线性代数相关知识，若设A=(α1，α2，…,αm)(m≥1),可知向量组α1，α2，…,αm线性相关定义与以下命题等价：

(1)齐次线性方程组AX=0有非零解；

(2)向量组的(α1，α2，…,αm)(m≥1)秩小于m，即R(A)

(1)齐次线性方程组AX=0只有零解；

(2)向量组的(α1，α2，…,αm)(m≥1)秩等于m，即R(A)=m

下面利用向量组的线性相关性概念及其等价命题，选择不同的切入点，,串联相关知识点，采用不同的方法给出题目的多种解答

题目1 已知:向量组a1,a2,a3线性无关，若b1=a1+a2, b2=a2+a3,b3=a3+a1

证明向量组b1,b2,b3线性无关.

证法1 用向量组线性无关定义证明

设有一组数x1、x2、x3，使得x1b1+x2b2+x3b3=0，

即x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0，整理为

因为a1,a2,a3线性无关，故有

故此方程组只有零解x1=x2=x3=0.所以向量组b1,b2,b3线性无关.

证法2 利用矩阵的秩证明

又由a1,a2,a3线性无关可得R(a1,a2,a3)，且的秩也等于3，所以R(b1,b2,b3)=3，故向量组b1,b2,b3线性无关.

证法3 利用反证法证明

假设向量组b1,b2,b3线性相关，

即线性方程组x1b1+x2b2+x3b3=0有非零解，此时实数x1, x2,x3不全为零

因为实数x1,x2,x3不全为零，所以实数(x1+x2),(x2+x3),(x3+x1)不全为零,故向量组a1,a2,a3线性相关，这与已知a1,a2,a3线性无关矛盾，所以假设不能成立，只能是向量组b1,b2,b3线ci表示性i无关.

证法4 利用两个矩阵等价证明（ci表示矩阵第i列）

因为a1,a2,a3线性无关，r(b1,b2,b3)=r(a1,a2,a3)=3

所以向量组b1,b2,b3线性无关.

证法5 利用两个向量组等价证明

因为b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1

即向量组b1,b2,b3能由向量组a1,a2,a3线性表示从而有即向量组a1,a2,a3可以由向量组b1, b2,b3线性表示，所以向量组a1,a2,a3与向量组b1,b2,b3等价，故向量组b1,b2,b3线性无关.

题目2已知：向量组a1,a2,a3线性无关，向量组a1,a2,a3, a4线性相关，向量组a1,a2,a3,a5线性无关，求：向量组a1,a2,a3, a4-a5的秩.

分析：因为向量组a1,a2,a3线性无关，向量组a1,a2,a3,a4线性相关，所以存在不全为零的实数k1,k2,k3，使得a4=k1a1+ k2a2+k3a3

解法1 利用向量组线性相关性概念

因为向量组a1,a2,a3线性无关，向量组a1,a2,a3,a4线性相关，向量组a1,a2,a3,a5线性无关，所以a5不能由a4线性表示，（否则a1,a2,a3,a4线性无关）从而可知(a4-a5)不能由a4线性表示，故向量组a1,a2,a3,a4-a5线性无关，所以r(a1,a2,a3,a4-a5)=4.

解法2 利用等价向量组的秩相等

因为a4=k1a1+k2a2+k3a3k1,k2,k3不全为零