兰华龙

（成都信息工程学院银杏酒店管理学院，四川 成都 600007）

有关向量组的线性相关性命题的思考

兰华龙

（成都信息工程学院银杏酒店管理学院，四川 成都 600007）

向量组的线性相关性概念内容丰富，加上与其等价的命题，它们将线性代数中的部分重要知识点有机地联系在一起，这对于解决相关问题往往能起到行之有效的作用，本文结合题目，从不同的角度出发给出多种解答方法，力求更深入理解向量组的线性相关性概念.

向量组；线性相关性；秩；等价

向量组的线性相关性概念及应用是学习线性代数知识的一个重点，也是一个难点，正确理解向量组的线性相关性概念和与其等价命题的关系，是学好此部分知识内容的关键

定义 对于向量组α1，α2，…,αm(m≥1)，若存在不全为零的数k1,k2,…,km使k1α1+k2α2+…+kmαm=0成立，则称向量组α1，α2，,…,αm线性相关；

若当且仅当k1=k2=…=km=0时，k1α1+k2α2+…+kmαm=0才成立，则称向量组α1，α2，…,αm线性无关.

根据线性代数相关知识，若设A=(α1，α2，…,αm)(m≥1),可知向量组α1，α2，…,αm线性相关定义与以下命题等价：

(1)齐次线性方程组AX=0有非零解；

(2)向量组的(α1，α2，…,αm)(m≥1)秩小于m，即R(A)

(1)齐次线性方程组AX=0只有零解；

(2)向量组的(α1，α2，…,αm)(m≥1)秩等于m，即R(A)=m

下面利用向量组的线性相关性概念及其等价命题，选择不同的切入点，,串联相关知识点，采用不同的方法给出题目的多种解答

题目1 已知:向量组a1,a2,a3线性无关，若b1=a1+a2, b2=a2+a3,b3=a3+a1

证明向量组b1,b2,b3线性无关.

证法1 用向量组线性无关定义证明

设有一组数x1、x2、x3，使得x1b1+x2b2+x3b3=0，

即x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0，整理为

因为a1,a2,a3线性无关，故有

故此方程组只有零解x1=x2=x3=0.所以向量组b1,b2,b3线性无关.

证法2 利用矩阵的秩……