（邵阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳422000）

（邵阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳422000）

乙型肝炎是由乙型肝炎病毒（HBV）引起的肝病，该病毒干扰肝功能并造成病理损害.一小部分受感染者无法消灭该病毒而成为慢性感染，进而面临极高的死于肝硬化和肝癌的危险.乙型肝炎病毒通过与受感染者的血液或体液接触传播，这与人类免疫缺陷病毒（艾滋病毒）的方式相同.但是，乙型肝炎病毒的感染性比艾滋病毒高50至100倍.接种乙型肝炎疫苗是预防乙型肝炎的主要方法.如何有效防控乙肝的传染，不只是政府的事，也是每个国民应关注的问题.文章建立一个乙肝病毒传染的数学模型，并对模型进行实证分析；同时，对乙肝病毒的传染也做了一个预测.

传染病；乙肝病毒；数学模型

0 引言

据世界卫生组织在2013年的统计，全球每年估计有140万甲型肝炎新发病例；约20亿人感染了乙型肝炎病毒，有2.4亿人患有慢性乙肝；大约有2000万人感染戊型肝炎，约有1.5亿人为慢性丙型肝炎病毒感染；300多万急性戊肝病例；每年约有60万人死于急性或慢性乙型肝炎，有35万余人死于与丙肝相关的肝脏疾病，与戊肝有关的死亡有5.7万例［1］.中国有9000多万乙肝患者，该病常无症状表现，但日后可发展为肝硬化或肝癌.乙肝给患者、家庭和中国社会带来了沉重的经济负担.由此可见，了解肝炎，科学地认识肝炎，预防肝炎显得多么重要.

乙肝是由乙肝病毒（HBV）引起的一种疾病，主要以肝脏炎性病变为主，并可引起多器官损害，少数患者可转化为肝硬化或肝癌.广泛流行于世界各国，儿童及青壮年易受侵犯.因此，乙肝严重威胁人类健康，成为世界性疾病.在我国，乙肝成了流行最广泛，危害性最严重的一种疾病.它没有一定的流行期，一年四季均可发作，近年来，乙肝发病率呈明显上升趋势.

一般说来，乙肝的传播途径有以下几个方面：第一，母婴垂直传播.据统计，我国现有HBsAg阳性者约1.4－1.5亿人，其中85%是通过母婴传播的，垂直传播是乙肝蔓延和高发的最主要原因，主要是通过产道感染或宫内感染.第二，血液或血制品传播.被乙肝病毒污染的血制品，比方说白蛋白、血小板或血液，一旦输给受血者，大多数人会发生输血后肝炎.另外，比如血液透析、肾透析时也有可能感染HBV.第三，医源性传播.被乙肝病毒污染的医疗器械：腹腔镜、内窥镜、牙钻、手术刀等等，都可传播HBV.第四，家庭内密切接触，譬如，日常生活中的密切接触，同用一个茶杯、碗筷、牙刷、毛巾.再譬如性接触等，HBV可通过破损粘膜进入密切接触者的体内，这样均有受HBV感染的可能.第五，公共场所例如美容院、理发店、洗浴城等也容易被乙肝病毒污染.

本文根据一些实际数据，建立数学模型；然后，利用数学模型，对乙肝传染做一个预测.

1 数学模型

根据乙肝传染的特点，将人群划分为健康者，易感者，病毒携带者.传播过程是：健康者与乙肝病人或乙肝病毒携带者经过有效的接触后感染乙肝病毒，成为病毒感染者；潜伏期为45～150天，平均3个月的时间，潜伏期后期具有传染性，然后成为急性乙型肝炎.急性乙型肝炎病期在4～6个月的时间内能基本恢复，90%以上的急性乙肝患者可能痊愈，大约有5%～10%的急性乙肝患者转为慢性乙肝.慢性乙肝患者彻底治愈概率很低，大多数最终成为乙肝病毒携带者，少数治愈后具有较强的免疫力.所以病愈的人即非健康者，也非病人，他们已经退出感染系统.

对于乙肝病毒的数学模型研究，已有一些文献（参见［2－5］），我们在已有文献的基础上，建立了乙肝病毒的动力学模型.

首先对模型进行假设：

①假设研究对象为理想人群，总人数保持在固定水平N.无迁入迁出及其他原因引起的死亡现象.设患传染病后并完全病愈的任何人均具有长期的免疫力，并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即任何人患病后立即成为传染者.在这种情况下，把居民分成易感者（S），传染者（I）及移出者（R）三类，分别记作s（t），i（t）和r（t），三者之和保持常数N，即

模型构成

利用SIR模型，有

在初始值r0＝0下得到其解为累计移出人数：

所以，（1．3）式可化为

下面我们再分析s（t），i（t）和r（t）的变化情况．

模型中前两个方程与r（t）无关，所以可以从前两个方程求出i（t）与s（t）之间的关系．

①不论初始条件s0，i0如何，i∞＝0，即病人终将基本治愈或者病情得到明显改善，或者转化为癌症而死亡［6］．

然后i（t）减小且趋于0，s（t）单调减小至s∞．就是说，如果仅当感染者比例i（t）有一段增长时期才认为传染病在蔓延，则σ是一个阈值，当s0＞σ时传染病会蔓延．

④若s0≤σ，则i（t）单调减小到0，s（t）单调减小至s∞；减小传染期接触数σ，使得s0≤σ传染病就不会蔓延．注意到人们的健康意识，卫生水平越高，年接触率越小；医疗水平越高，年治愈率越大；所以提高卫生和医疗水平是控制传染病蔓延的有效途径．

2 实证分析

先简单了解一下什么是“大三阳”，“小三阳”.乙肝病毒表面抗原（HBsAg）、e抗原（HBeAg）和核心抗体（HBcAb）同时阳性，称＂大三阳＂；乙肝病毒表面抗原、e抗体（HBeAb）及核心抗体同时阳性，称＂小三阳＂.乙肝表面抗原呈阳性表明感染了乙型肝炎病毒；e抗原阳性说明有传染性；乙肝表面抗体（抗－HBs）阳性一般表明人体已得到保护，对病毒有抵抗力；乙肝e抗体（抗－HBe）阳性的人如e抗体阳性，表明传染性很低；乙肝核心抗体呈阳性，表明乙肝病毒处于繁殖状态.

通过研究，人们慢慢认识到，VBH的传播主要是由于感染者与易感者的密切接触而引发.这个传播速度、强度、广度与人群中感染者和易感者的数量、有效接触的程度有很大关系.再有，还发现乙肝传染病患者，在痊愈后很长一段时间，身体由于产生某种抗体，因此，终身不再患乙肝.

一般说来，检验一个模型是否合理可用，须在建立数学模型后，把模型得到的解，用实际资料作拟合检验.如果一致，初步认为模型合理，因而可按其适用范围，到实践中去应用并作进一步验证；如果不一致，就应认真检查：模型的假设条件，数学式等，进行修改，直至拟合结果基本满意为止.

下面，根据从某市一家医院采集的数据作一个分析与预测.这些数据表示在乙肝两对半化验中，即表面抗原（HBsAg）和表面抗体（抗HBs或HBsAb）、e抗原（HBeAg）和e抗体（抗HBe或HBeAb）、核心抗原（HBcAg）和核心抗体（抗HBc或HBcAb），通常核心抗原没有检验.HBsAg，HBeAg，HBcAb中至少有一个阳性的数据统计表.

表1 2004～2013乙肝两对半检查HBsAg，HBeAg，HBcAb中至少一个呈阳性Tab.1 Checking HBsAg，HBeAg，HBcAb at least one is positive in 2004～2013

根据上述数据，做出散点图，见下面的图1.从图形来看，感染者呈逐年上升趋势.

图1 2004～2013某医院乙肝两对半化验数据图Fig.1 The data graph of a hospital hepatitis B two half－and－half assay

若用指数函数拟合，可得到曲线

图形如下：

图2 y＝－7．1951×103＋4．327× 103e0．0233x＋3．6491×103e－0．0233x的图形Fig.2 The graph of the function y＝－7.1951× 103＋4.327×103e0．0233x＋3．6491×103e－0．0233x

图3 感染人数逐年移出图Fig.3 The graph of the infections

3 结论

通过对乙肝病毒模型的分析，我们发现这个转化率，也就是易感染人群向患病人群的转化率，对累计患者数的减少有很重要的作用.在早期控制，降低传染率对阻止传播效果很明显.这个乙肝病毒模型能模拟出乙肝传播的不同阶段，譬如开始加速上升，后来人们开始防范，在有效控制下，疫情快速而略有起伏的衰退.模型还提供了在给定参数下，对乙肝病毒持续时间和全部病人数的定量估计，拟合曲线能很好地表现这一实际情况.模型的累计患者数是收敛的，并且模型中的参数是几个离散的常数，能为疾病预测、预防和控制提供参考信息.

当然，乙肝病毒的传播是一个相当复杂的过程，受到多种因素的制约.而数学模型只能是在理想化的状态下建立起来，因此，用数学模型去描绘传染病实际发生的过程去估计实际传染的人数可能有误差.但是，用这种定量的分析方法总比笼统的定性分析要好，它为我们制定防预措施具有参考意义.

［1］世界卫生组织.病毒性肝炎感染的预防与控制：全球行动框架［DB／OL］.http：／／www. who.int／csr／disease／hepatitis／GHP＿Framework＿Ch.pdf，2012

［2］Zhao S J，Xu Z Y，Lu Y.A mathematical model ofhepatitisBvirustransmissionandits application for vaccination strategy in China［J］. International Journal of Epidemiology，2000，29（4）：744－752.

［3］Long C J，Qi H，Huang S H.A dynamic model for the hepatitis B virus infection［J］.Journal of Systemics，Cybernetics and Informatics，2007，5（1）：1－5.

［4］Mohammad R M，Tayebeh W.A mathematical model for HBV［J］.Journal of Basic and Applied Scientific Research，2012，2（9）：9407－9412.

［5］IsaacKA，AnthonyYA，IsaacOD. Mathematical model of hepatitis B in the Bosomtwe district of Ashanti region，Ghana［J］.Applied Mathematical Sciences，2014，8（67）：3343－3358.

［6］姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

乙肝病毒感染数量的一个数学模型

周后卿

A Mathematical Model of HBV Infections

ZHOU Hou－qing

（Department of Science and Information Science，Shaoyang University，Shaoyang，Hunan 422000，China）

Hepatitis B is a liver disease caused by the hepatitis B virus（HBV）.The virus interferes with the functions of the liver and causes pathological damage.A small percentage of infected people cannot get rid of the virus and become chronically infected-these people are at higher risk of death from cirrhosis of the liver and liver cancer.HBV is spread by contact with blood or body fluids of an infected person-the same way as the human immunodeficiency virus（HIV）.However，HBV is 50 to 100 times more infectious than HIV.The hepatitis B vaccine is the mainstay of hepatitis B prevention.How to effectively control and prevent hepatitis B infection，not only the government，also everyone in the country should focus on problems.This paper established a mathematical model of hepatitis B virus（HBV）infection，and made an empirical analysis on the model；Furthermore，we also made a prediction for the infection of hepatitis b virus.

book=2,ebook=5

infectious disease；Hepatitis B virus；Mathematical Model

O175.1 文献标志码：A

1672－7010（2014）03－0001－05

2014－06－12

邵阳市科技局科技计划项目（M230）

周后卿（1963—），男，湖南新邵人，硕士，副教授，研究方向：组合数学及其应用.