房 亮

(上海建筑设计研究院有限公司，上海 200041)

0 引言

浅基础的极限承载力通常采用Terzaghi的叠加原理形式给出，即分别考虑地基土粘聚力c、基础底面以上超载q以及土体重度γ对地基承载力的贡献，然后进行线性叠加求得极限承载力，计算公式为［1］:

其中，Nc，Nq，Nγ均为地基承载力系数，均为摩擦角 φ 的函数;B为基础宽度。为了求得地基承载力系数Nc，Nq，Nγ，大多数方法假定两个不同的破坏机理:一个为考虑超载q但不考虑土体重度γ的c-φ土，另一个为不考虑超载q但考虑土体重度的无粘性土。采用第一个破坏机理可求得Nq，Nc的解析表达式:

采用第二个破坏机理并不能求得Nγ的解析表达式，只能采用数值方法得到其近似数值解。目前常用的数值方法有:极限平衡法［2，3］、极限分析法［4，5］、有限元或有限差分法［6，7］、滑移线法［8，9］。基于Nγ的数值解一些经验公式被提出以简化计算。其中比较经典的Nγ公式为:

Terzaghi公式［1］:

Meyerhof公式［10］:

Hansen 公式［11］:

Vesic 公式［12］:

实际上在极限荷载作用下只有一个破坏模式发生，由于土体材料的非线性，采用传统的叠加原理计算地基承载力会产生误差。Michalowski［13］采用极限分析上限法分析地基极限承载力时发现，地基承载力系数不仅依赖于摩擦角，还与无量纲参数c/(γB)和 q/(γB)有关。Smith［14］采用滑移线法分析发现，叠加原理引起的误差最高可达25%，因此承载力计算的叠加误差应该予以考虑。同时基于不同的假定采用不同的数值方法求解地基承载力系数Nγ也会引入误差。由于基于叠加原理的极限承载力公式及以上四个Nγ的经典公式被广泛应用，分析采用这些公式时的误差具有重要的工程意义。近期的研究成果发现，如果假定土体为理想弹塑性材料，由滑移线法得到的极限地基承载力为精确解［14］，故本文采用 Martin［15］基于滑移线法的软件 ABC计算地基极限承载力并与经验公式求得的结果进行比较，该软件在各种极端条件下均能高精度的求得地基极限承载力。

1 地基承载力问题的等效处理［16］

浅基础的极限承载力是c，φ，γ，B与q的函数，针对每一组(c，φ，γ，B，q)都可单独求出一个极限承载力，为了系统的进行误差分析需要对地基承载力问题进行等效处理。假定土体为理想刚塑性材料，根据摩尔—库仑破坏准则得:

其中，σ1，σ3分别为最大和最小主应力。式(8)可被写成下式形式:

式(9)表明一般的c-φ土可以看作为在土体处增加一个c cotφ压力的无粘性土。

如图1a)所示，基于叠加原理的地基极限承载力为:

图1 地基承载力的等效处理

然后将土体看作无粘性土，同时在地表及基础上施加正应力c cotφ，如图1b)所示，则极限承载力可表示为:

式(11)左右同时除以γB则可得到无量纲化的极限承载力公式，如图1c)所示:

通过比较式(10)～式(12)可知:

Pu为无量纲化的极限承载力，λ为无量纲化的超载。从而地基承载力问题可以简化为下面的问题进行分析:土体重度γ=1，基础宽度B=1，超载q=λ，土粘聚力c=0。

2 误差分析

针对特定的λ值，将式(4)～式(7)中任一个Nγ经验公式代入式(14)，均可得到无量纲的地基极限承载力。由于这四个经典的经验公式并不是精确的表达式，因此会引入误差。其误差可采用下式进行评估:

其中，Pu为准确的无量纲极限承载力，可采用ABC软件直接求出;Ncγlassical为式(4)～式(7)中任一个Nγ经验公式;v为误差因子，当v＞1时表明采用经验公式求得的极限承载力小于准确值，当v＜1时表明采用经验公式求得的极限承载力大于准确值。

图2a)为采用Terzaghi经验公式时的误差分析，由图可知，当摩擦角φ=5°时，v随着λ的增大从1．28先增大到1．41然后减小到1，在整个过程中v均不小于1，表明φ=5°时采用Terzaghi经验公式求得的极限承载力小于准确值。当摩擦角φ=20°时，v随着λ的增大从0．8先增大到1．14然后减小到1，表明φ=20°时，当λ＜0．6采用Terzaghi经验公式求得的极限承载力大于准确值;当λ＞0．6采用Terzaghi经验公式求得的极限承载力小于准确值。当摩擦角φ=35°时，v随着λ增大的变化规律与φ=20°时类似，经验公式求得的极限承载力先大于准确值然后小于准确值。当摩擦角φ=50°时，采用Terzaghi经验公式求得的极限承载力均小于准确值。

图2b)为采用Meyerhof经验公式时的误差分析，由图可知，当摩擦角φ=5°时，v随着λ的增大从1．63先增大到1．70然后减小到1，在整个过程中v均不小于1，表明φ=5°时采用Meyerhof经验公式求得的极限承载力均小于准确值。当摩擦角φ=20°时，v随着λ的增大从0．99先增大到1．23然后减小到1，表明φ=20°时，经验公式求得的极限承载力先大于准确值然后小于准确值。当摩擦角φ=35°与φ=50°时v随着λ增大的变化规律与φ=20°时类似，经验公式求得的极限承载力先大于准确值然后小于准确值。

图2c)为采用Hansen经验公式时的误差分析。通过比较式(4)和式(6)可知Hansen经验公式与Terzaghi经验公式类似，因此图2c)中v随着λ的增大的变化规律与图2a)相似。当φ=20°且λ＜0．005时v略小于1，其余情况下v均大于1。因此采用Hansen经验公式时经验公式求得的极限承载力基本上均小于准确值，偏安全。

图2d)为采用Vesic经验公式时的误差分析，由图可知，当摩擦角φ=5°时，v随着λ的增大而增大最终趋于1，在整个过程中v均不大于1，表明φ=5°时采用Vesic经验公式求得的极限承载力均大于准确值。当摩擦角φ=50°时v随着λ增大先增大后减小，经验公式求得的极限承载力先大于准确值然后小于准确值。通过图2d)可知，大多数情况下v均小于1，因此采用Vesic经验公式时经验公式求得的极限承载力基本上大于准确值，偏不安全。

3 结语

1)由于土体的非线性及计算模型不准确，常用的一些经典公式均存在着误差。经验公式求得的极限承载力可能大于准确值也可能小于准确值。

2)采用Hansen经验公式求得的极限承载力基本上小于准确值，偏安全，当现场得到土体的摩擦角较准确时，可采用Hansen公式计算地基极限承载力从而得到偏保守的值。

3)采用Vesic经验公式求得的极限承载力基本上大于准确值，偏不安全。当现场试验得到极限承载力时，可采用Vesic公式反分析求得土体摩擦角。采用反分析得到的摩擦角对附近类似工程进行极限承载力分析时可以得到偏保守的结果。

［1］Terzaghi K．Theoretical soil mechanics．New York，John Wiley＆ Sons，1944．

［2］Meyerhof G．G．The ultimate bearing capacity of foundations［J］．Géotechnique，1951，2(4):301-332．

［3］Zhu D．Y，Lee C．F，Jiang H．D．A numerical study of the bearing capacity factor Nγ［J］．Can．Geotech．J，2001，38(5):1090-1096．

［4］Kumar J．Effect of footing-soil interface friction on bearing capacity factor Nγ［J］．Géotechnique，2004，54(10):677-680．

［5］Hjiaj M，Lyamin A．V．，Sloan S．W．．Numerical limit analysis solutions for the bearing capacity factor Nγ［J］．Int．J Solids Struct，2005，42(5-6):1681-1704．

［6］Frydman S．，Burd H．J．．Numerical studies of bearing-capacity factor Nγ［J］．J．Geotech．Geoenviron．Engng，ASCE，1997，123(1):20-29．

［7］Loukidis D．，Salgado R．．Bearing capacity of strip and circular footings in sand using finite elements［J］．Comput Geotech，2009，36(5):871-879．

［8］Bolton M．D．，Lau C．K．．Vertical bearing capacity factors for circular and strip footings on Mohr-Coulomb soil［J］．Can．Geotech J，1993，30(6):1024-1033．

［9］Kumar J．Nγ for rough strip footing using the method of characteristics［J］．Can．Geotech．J，2003，40(3):669-674．

［10］Meyerhof G．G．Some recent research on the bearing capacity of foundations［J］．Can．Geotech．J．，1963(1):16-31．

［11］Hansen J．B．．A revised and extended formula for bearing capacity［J］．Danish Geotechnical Institute，Copenhagen，Bulletin，1970(28):5-11．

［12］Vesic A．S．．Analysis of ultimate loads of shallow foundations．Journal of the Soil Mechanics Foundations Division．ASCE，1973，99(1):45-73．

［13］Michalowski R．L．．An estimate of the influence of soil weight on bearing capacity using limit analysis［J］．Soils and Foundations，1997，37(4):57-64．

［14］Smith C．C．．Complete limiting stress solutions for the bearing capacity of strip footings on a Mohr-Coulomb soil［J］．Géotechnique，2005，55(8):607-612．

［15］Martin C．M．．ABC-Analysis of bearing capacity．Available online from www-civil．eng．ox．ac．uk/people/cmm/software/abc/，2004．

［16］Zhu D．Y．，Lee C．F．，Law K．T．．Determination of bearing capacity of shallow foundations without using superposition approximation［J］．Can．Geotech．J，2003，40(2):450-459．