熊伟，陈国华，梅松

(1.湖北文理学院 机械与汽车工程学院，湖北 襄阳 441053；2.湖北新火炬科技股份有限公司，湖北 襄阳 441004)

轴承疲劳寿命计算的国际标准中没有考虑滚动体载荷的精确分布，只能得到近似的寿命估算方法[1]。在能得到准确的滚动体载荷分布情况下，应优先按照Lundberg G和Palmgren A的理论(即L-P寿命模型)来计算轴承的疲劳寿命。Harris[2]给出了在不同载荷状态下轴承内部载荷的分析方法。通过数值计算，能精确求出轮毂轴承内部的载荷分布，进而获得轴承各参数(如接触角、初始游隙、路况等)对寿命的影响规律[3-4]。

轿车轮毂轴承常采用双列角接触球轴承，文献[5-7]给出了这种形式下载荷求解的具体方程，并进行了求解、分析。

1 轿车轮毂轴承寿命理论模型

寿命分析的基本思路是先分析轮毂轴承单元的受力，包括轴承的径向、轴向载荷，在得到滚动体载荷的精确分布后，再基于L-P模型分析疲劳寿命。限于篇幅，只简要分析轮毂轴承寿命计算的基本模型，并列出了软件开发中将用到的主要计算公式，详细推导过程见文献[1-5]。

1.1 轴承载荷的计算

忽略钢球离心力、摩擦力和陀螺力矩等的影响，将轿车轮毂轴承结构简化为2个支点的线性刚体系统，通过建立径向力、轴向力的平衡方程及位移平衡方程可分别求解出作用于两列轴承的径向、轴向载荷及其位移，进而求出每个钢球的载荷。

1.1.1 径向载荷的计算

轿车轮毂轴承内、外列的径向载荷Fr1，Fr2可通过静力平衡由(1)和(2)式求出[7]

(1)

(2)

(3)

(4)

S=Sbc+Dpwtanα0，

(5)

式中：W为车轴质量；H和T分别为车辆质心高度和有效轮距；S为两列钢球压力中心距离；Sbc为两列球组节圆中心距；Rs为轮胎半径；k为垂直载荷系数；ag为侧向加速度；g为重力加速度；Dpw为球组节圆直径；e为偏距；α0为初始接触角；Fzr，Fyr分别为轮胎的径向和轴向载荷。

1.1.2 轴向载荷的计算[5]

轴向载荷的求解可根据内、外列径向载荷Fr1，Fr2和轴向载荷Fa1,Fa2分别与所有角位置处的钢球接触载荷的分量之和相等建立平衡方程，再加上总体轴向力平衡和位移平衡方程，可得到由(6)～(11)式组成的方程组，求解该非线性方程组可得到内、外列轴承的径向、轴向位移(δr1,δr2,δa1,δa2)以及轴向载荷(Fa1,Fa2)6个未知量[5]。

δa1+δa2+δ0=0，

(6)

Fa1-Fa2+Fyr=0，

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：δ0为轮毂轴承的初始轴向游隙值；

为内外沟曲率中心距，A=(fi+fe-1)Dw；fi，fe分别为内、外沟曲率半径系数；Dw为钢球公称直径；ψ为钢球的位置角；Kn为载荷-位移常数，可通过查表或计算得到[2，4]。

1.1.3 当量动载荷和额定动载荷的计算

每个钢球的工作接触角αj为

(12)

式中：j=1,…,Z,Z为单列钢球数。

每个钢球所受载荷Qj为

(13)

对旋转套圈,其当量动载荷Qeu为

(14)

对静止套圈，其当量动载荷Qev为

(15)

额定动载荷Qc为

(16)

式中：bm为考虑轴承材料性能的提高而引入的系数，对于角接触球轴承bm=1.3[2]；上运算符用于旋转套圈即Qcu，下运算符用于静止套圈即Qcv；γ=Dwcosα0/Dpw；f=r/Dw,r为沟曲率半径。

1.2 轴承寿命的计算

旋转套圈、静止套圈的寿命分别为

(17)

(18)

单列轴承的寿命为

(19)

则轮毂轴承单元的寿命为

(20)

式中：L1，L2分别为内、外列轴承的寿命。

上述寿命计算是在单一路况下分析的，实际中需考虑复杂路况的综合作用效果。表1列出了某汽车厂家的载荷路谱，这时计算轴承寿命需先分别计算每一路况下轴承的载荷分布，再计算对应的当量动载荷与额定动载荷，然后计算每一路况下轴承的寿命，最后由(21)式将不同路况下的寿命合成为系统总体寿命。

表1 载荷路谱

(21)

式中：Li为i路况下的寿命；mi为i路况的使用概率。

2 基于MATLAB的软件开发

在轮毂轴承单元设计中，需要快速实现上述理论分析，为此开发专用软件来实现此功能，软件的核心功能涉及大量的数值计算，因此选用具有强大数学计算能力的MATLAB作为软件开发平台。MATLAB软件在R2010a之后的版本，均具有较强的界面设计能力，并能实现与其他高级语言(如C语言)的混合编程[8]。

2.1 软件总体框架

该软件系统以计算模块为核心，包含绘图模块、输入模块、输出模块和辅助模块等。系统框图如图1所示。

2.2 界面设计

基于MATLAB GUI(Graphical User Interface)进行软件界面设计[9]。主要用到pushbutton，static text，table等控件，通过GUIDE生成.fig文件。界面按钮与主执行代码之间通过callback函数联系。界面如图2所示。

图2 用户界面窗口

2.3 输入模块

计算轮毂轴承寿命时，大量的已知参数需要输入计算系统，主要包括载荷路谱参数(表1)和轮毂轴承单元的结构参数(表2)。系统计算时，先获取必需的输入参数，设计中采用如下2种方法获取输入参数。

表2 某车型轮毂轴承单元结构参数

(1)在界面uitable控件中直接输入轮毂轴承参数和路况参数。通过get函数获取界面中的数据，代码如下：data=get(handles.uitable1,′data′)，再从data阵列中获取各数据。

(2)在bearing.xls 和 road.xls中进行输入。可将常用参数预设于上述EXCEL文件中，通过xlsread 和xlswrite 函数对EXCEL文件进行读写操作，并将EXCEL数据显示在界面中。在road.xls文件中可对路况条件进行增减，此程序最多可支持60种路况联合作用。

2.4 计算模块

计算模块是程序的核心内容，计算总体流程如图3所示。

图3 计算模块流程图

在求解前述(6)～(10)式组成的非线性方程组时，可用MATLAB中fsolve函数来实现。fsolve函数可用于各种规模非线性方程组的求解，只需对其选项进行简单的设置即可，这也是选用MATLAB作为开发工具的重要原因之一。该函数默认采用Newton迭代法求解，但Newton对初始值要求较高，在初始值偏离较大的情况下可能得不到收敛解。为了降低对初始值的依赖，在Newton不满足终止条件时，再使用Levenberg-Marquardt 法及trust-region-reflective法等，求解流程如图4所示。

图4 非线性方程组求解流程图

在求解时，设置x迭代精度，函数值精度作为收敛终止条件，同时设置迭代次数，用最大函数值终止条件来控制求解所需时间。几个关键参数设置为：初始值设置x0=[5 000,0,0,0];迭代次数1 000;函数最大值为1e+12;x精度1e-8。

测试证明，采用以上多种设置后，针对不同输入条件，方程组均能获得收敛解。

计算结束后，程序将计算结果自动保存在report.xls中，可通过生成报告按钮打开该文件，文件中包含了每种路况下轴承各钢球的受力情况，可供设计人员分析使用。

2.5 绘图模块

绘图模块流程为：绘图参数输入→调用计算模块→图形绘制并输出。先通过绘图参数输入框输入相应绘图参数，如数据点的范围和间隔，再用plot函数绘图。参数输入如图5所示，图形结果如图6所示。

图5 绘图参数输入

图6 图形结果

图中每个数据点均需迭代法求解，因此调用计算模块进行计算，计算量较大，程序所需时间稍长。以初始轴向游隙-寿命的关系图为例, 部分代码如下。

%绘图参数输入

prompt={′输入最小游隙值(mm)′,′输入最大游隙(mm)′,′输入绘图间隔(mm)′}

title1=′绘图参数输入′

lines=[1 40]

answer=inputdlg(prompt,title1,lines)

%调用计算模块

略

figure(2)

plot(You,Zong,′-*r′,You,Nei,′:+k′,You,Wai,′-.ob′,′LineWidth′,2)

xlabel(′初始轴向游隙/mm′)

ylabel(′寿命/(×104km)′)

legend(′系统寿命′,′内列寿命′,′外列寿命′,

′Location′,′northwest′)

3 软件系统的使用与评价

源程序经过编译后可生成EXE可执行文件，安装MCR函数库后，可在脱离MATLAB的Windows环境下使用。经相关企业使用证明，该系统的理论方法可靠，软件能应用于轿车轮毂轴承设计计算中，特别是提供了轴承设计参数(游隙、偏距等)与轴承寿命的关系，较好地满足了轿车轮毂轴承单元的设计需求。