卢小宁, 萧振纲

(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)

凸数列的几个加权和性质

卢小宁, 萧振纲

(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)

利用著名的Abel变换, 给出了凸数列的几个加权和性质.

凸数列; 加权和性质; Abel变换

设{an}n≥0是一个实数数列. 如果对任意n∈N*, 总有an−1+an+1≥2an, 则称数列{an}n≥0是一个凸数列.著名的Abel变换是指: 设a1, a2,…,an, b1, b2,…,bn是2n个复数, 则

其中Δbk=bk+1−bk.

文[1～3]给出了凸数列的一系列性质与应用, 石焕南教授在文[4]中用控制不等式理论推广了[3]中给出的凸数列的一个性质, 并在[5]中给出了一系列应用, 文[6]给出了凸数列的几个封闭性质与加权和性质本文利用Abel变换, 再给出凸数列的几个有趣的加权和性质.

定理1设{an}n≥0是一个凸数列, p是一个非负整数, 则对任意n∈N*, 有

证明由Abel变换, 有

其中Δ2ak=Δak+1−Δak=ak+2+ak−2ak+1. 同理,

特别地, 当p=0时, 则有

当p=n时, 则有

当p=2(n−1)时, 则有

定理2设{an}n≥0是一个凸数列, 则对任意n∈N*及任意x>0,x≠1, 有

证明由Abel变换, 有

定理3设{an}n≥0是一个凸数列, 则对任意n∈N*, 有

证明由Abel变换, 有

定理4设{an}n≥0是一个凸数列, 且an−1≥2an, an≥0, 则对任意n∈N*及任意x∈(0,2π), 有

证明由Abel变换, 有

于是

再由an−1≥2an, an≥0即知

定理5设{an}n≥0是一个凸数列, 且an−1≥an≥0, 则对任意n∈N*及任意x∈(0,π], 有

证明由Abel变换, 有

又x∈(0,π], 因此sin(k+1)x≤(k+1)sin x,再注意Δan−1=an−an−1≤0, an≥0, 故

[1] 萧振纲. 凸数列[J]. 中等数学, 1989(4)

[2] 萧振纲. 再谈凸数列[J]. 中等数学, 1991(1)

[3] 萧振纲. 数列与不等式的一个连接点——凸数列[J]. 湖南数学年刊, 1995, 15(4): 62～69

[4] 石焕南, 李大矛. 凸数列的一个等价条件及其应用[J]. 曲阜师范大学学报(自然科学版), 2001, 27(4)

[5] 石焕南. 受控理论与解析不等式[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2012: 164～169

[6] 萧振纲. 凸数列的几个封闭性质与加权和性质[J]. 湖南理工学院学报(自然科学版), 2012, 25(2)

Several Weighted Sum Properties of Convex Progression

LU Xiao-ning , XIAO Zhen-gang
(College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

Several weighted sum properties of convex progression are given by use of Abel's transformation.

convex progression; weighted sum property; Abel's transformation

O178; O122.7

A

1672-5298(2014)04-0006-04

2014-09-10

卢小宁(1959− ), 女, 湖南临湘人, 湖南理工学院数学学院副教授. 主要研究方向: 基础数学