张玉梅

（赤峰学院建筑与机械工程学院，内蒙古 赤峰 024000）

圆度误差评定方法国内外研究现状及展望

张玉梅

（赤峰学院建筑与机械工程学院，内蒙古 赤峰 024000）

张玉梅，女，汉族，1971年出生，吉林大学机械设计及理论专业博士研究生。1993年大学毕业后，进入内蒙古星泰和福建嘉达等纺织公司工作，负责工艺设计及质量管理。2010年进入赤峰学院建筑与机械工程学院工作，主要承担《工程力学》、《建筑力学》、《公差配合与技术测量》等课程的教学任务，同时担任建筑与机械工程学院机械制造及自动化教研室主任。

介绍了国家标准及国际标准化组织新颁标准中规定的五种圆度误差评定方法，讨论了各种方法的优缺点和适用范围，分析了圆度误差评定方法的发展方向.

圆度误差；最小二乘法；最小区域法；切接圆法；切比雪夫拟合法

根据国家标准GB/T 7235－2004[1]规定，圆度误差的评定方法有四种——最小二乘圆法，最小区域圆法、最小外接圆法和最大内接圆法，国际标准化组织新颁发的标准中规定了第五种圆度误差评定方法——切比雪夫拟合法[9].不同的圆度误差评定方法使用不同的理想圆，因此，采用不同的评定方法，即使被测轮廓相同，评定结果也会有所差别.下面就上述圆度误差评定方法分别进行讨论.

1 最小二乘圆法

最小二乘圆法的近似评定方法方便快捷，但不是严格地符合标准中规定的误差定义，所评定的圆度误差结果不是最小，有研究指出，最小二乘圆法评定的形位误差约是真实误差的1.14倍[7].因此，当实际误差接近公差边缘时，可能会出现误废情况，造成浪费和成本增加.

2 最小区域圆法

最小区域圆法（MZCM）是确定两个同心圆来包容实际被测轮廓，并使两个同心圆间的径向距离最小，两同心圆间的径向距离就是最小区域圆法评定的圆度误差[7].显然，最小区域圆法符合标准规定的圆度误差定义，评定结果唯一且最小，因此具有比较重要的地位.国家标准GB/T 1182-1996[8]曾规定，标注中的圆度误差值，在没有特别说明情况下，都采用最小区域评定法.国际标准化组织1984年以前的标准规定，当圆度误差测量结果有争议时，以最小区域圆法评定结果为准[9].用最小区域法评定圆度误差有图解法和计算法.图解法操作简单，但评定过程中人为影响因素较多.计算法精度高，随着计算机的普及，使用越来越广泛.计算法的实质是一个优化过程，但国家标准和国际标准中只有最小区域法评定的图示及文字说明，并无具体的评定模型和计算方法.最小区域圆法因其评定结果准确而求解过程复杂，吸引了国内外众多学者对其进行了深入广泛地研究，并涌现出了丰富多样的实现算法.文献[10]利用求解线性规划问题的单纯形算法，来进行最小区域圆度误差评定，计算精度能比最小二乘圆法提高约7%，但算法容易陷入局部寻优[11].文献[12-14]研究了基于鞍点规划方法的形位误差统一评定模型，给出了所有形位误差的最小区域法评定统一表达式，同时讨论了基于坐标测量的形位误差最小区域法评定算法，但所用方法为传统优化算法，评定精度取决于初始点，可能找不到全局最优.文献[15-18]利用计算几何方法对圆度误差进行最小区域评定，研究了最小区域圆位置的快速确定算法，评定精度可比最小二乘法提高约4%.文献[19]同样利用计算几何知识，对凸多边形轮廓的圆度误差进行了最小区域评定，并分析了计算的复杂程度.智能优化算法是人类利用计算机模拟自然界中的先进优化机理而建立的随机优化方法.文献[11,20,21]将遗传算法应用于圆度误差的优化评定，评定精度比最小二乘法提高4%左右.文献[22]研究了最速下降法进行最小区域圆度误差评定，其最大优点是快，数据长度达到1000时，也只需要几十毫秒.文献[23-26]针对基本遗传算法在圆度误差评定过程中存在的问题，比如编码问题、收敛速度问题等进行了改进.文献[27]根据生物免疫理论，开发了人工免疫优化算法进行圆度误差最小区域评定，评定精度比最小二乘法提高约3%，但最终收敛代数需要上百代.文献[28]和[29]则模拟鸟群、蚁群捕食的规则，建立了粒子群优化算法评定圆度误差，评定精度比最小二乘法提高约5.5%，收敛代数在50代左右.还有研究人员将模拟退火法应用于圆度误差的最小区域求解[30].

最小区域评定法符合标准中的误差定义，测量结果最小，但求解过程比较烦琐，且没有确定求解方法，因而影响了其推广应用.到目前为止，圆度误差最小区域评定法的实现渠道主要有传统的优化方法，如单纯形法、梯度下降法等；有智能优化算法，如遗传算法、免疫算法等；还有基于计算几何的实现方法等等.传统算法搜索速度较快，但容易陷入局部寻优，且计算复杂，智能优化算法计算简单，思路清晰，可全局寻优，适合复杂问题的优化，但因为是随机搜索，效率比较低，而且算法的成功与参数的设定密切相关.

3 切接圆法——最小外接圆法和最大内接圆法

最小外接圆法（MCCM）是指作实际轮廓的最小外接圆（MCC），实际轮廓相对最小外接圆的最大径向偏离，就是最小外接圆法评定的圆度误差.最大内接圆法（MICM）是作实际轮廓的最大内接圆（MIC），实际轮廓相对最大内接圆的最大径向偏离，就是最大内接圆法评定的圆度误差.两种方法可以统称为切接圆法，其最小或最大的几何判据有两条[1]：（1）三角形准则：切接圆与实际轮廓至少有三点接触，而且此三点应构成锐角或直角三角形.（2）对径准则：切接圆与实际轮廓若只有两个接触点，此二点必须在同一直径上. MCCM是基于光滑圆柱环规的检测原理所建立的评定方法，MCC体现了被测轴所能通过的最小配合孔，MCCM测得的圆度误差相当于被测轴与最小配合孔之间的最大间隙. MICM是基于光滑圆柱塞规的检测原理而建立的评定方法，MIC体现了被测孔所能通过的最大配合轴，MICM测量的圆度误差相当于被测孔与最大配合轴之间的最大间隙[9].

切接圆法的计算评定过程实质上也是优化过程，很多学者对此作了研究.文献[31]以最小二乘圆心为基础，通过几何移心的方法，精确快速的确定出了最小外接圆.文献[32]采用仿增量算法来进行圆度误差的MIC和MCC的评定.文献[33]对MIC和MCC的成立条件判据进行了研究，指出锐角三角形法则和直角三角形法则并不够准确严密，增加了钝角三角形法则进行补充.文献[34]利用计算几何中的-壳顶点数来搜索MCC的半径，进而实现MCC的求解.切接圆法也不严格符合标准的误差定义，但方便实际生产中的孔、轴配合检测.

4 切比雪夫拟合圆法

ISO/TC213发布的GPS（几何产品技术规范）规定了圆度误差的第5种评定方法——切比雪夫拟合圆法（CHBCM）.到目前，还很少关于切比雪夫拟合圆法的圆度误差评定研究，标准中也没有规定明确的评定模型[9].

切比雪夫拟合法是常用的数据拟合方法之一，其思想是使所有拟合点中的最大偏差值最小.用CHBCM评定圆度误差就是要确定切比雪夫拟合圆（CHBC），使所有测点中距CHBC的最大径向距离最小[35].CHBCM同MZCM、MICM和MCCM一样，属于非线性优化问题，且没有确定的数学计算表达式，只能通过某种优化算法来寻找CHBC.所测圆度误差等于测点到CHBC的最大、最小径向偏差值之差.文献[9]首先将非线性的圆度误差评定模型简化为线性模型，然后用线性规划的方法来求解CHBC.

5 结论

几种评定方法中，最小区域圆法最符合圆度误差评定定义，评定结果最小，但在不影响工件正常功能的前提下，其它几种方法根据国际标准化组织规定都可以使用，不过标准中并没有明确给出各种方法的实现算法.因此，找到满足误差定义、符合最小条件、简单快捷而且鲁棒性强的算法，到目前为止，还是圆度误差评定算法的重要研究方向.

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