张豫冈

(兰州工业学院基础学科部,甘肃 兰州 730050)

模的Gorenstein cotorsion包络

张豫冈

(兰州工业学院基础学科部,甘肃 兰州 730050)

通过与模的内射包络相比较,讨论了模的基本扩张与Gorenstein cotorsion包络及单模的Gorenstein cotorsion包络,给出了模的Gorenstein cotorsion包络具有类似性质的一些充分条件.

Gorenstein cotorsion模;(预)包络;基本扩张

1 引言

Gorenstein同调代数受到了国内外许多学者的广泛关注[13].作为平坦模的推广, Enochs等引入了 Gorenstein平坦模的概念.称模 M 是 Gorenstein平坦的[4],如果存在平坦模的正合序列

假设X,Y是R-模类.称(X,Y)是余挠理论,如果X=⊥Y且Y=X⊥.其中,

⊥Y={M|Ext(M,Y)=0,∀Y∈Y},X⊥={N|Ext(X,N)=0,∀X∈X},

分别称为Y的左正交类和X的右正交类.

假设X是R-模类且关于同构、直和因子及有限直和封闭,M 是R-模,X∈X.称同态f:M →X是M 的X-预包络,如果对任意同态g:M →Y,其中Y∈X,存在同态h:X→Y,使得h◦f=g.这也等价于对于任意Y∈X,是正合序列.进而,若有同态 h:X → X,使得当 h◦f=f时 h是 X 的自同构,则称f:M→X是模M的X-包络.

若R是使得所有Gorenstein平坦模的类GF关于扩张封闭的环,则称其为GF-封闭环[5].由文献[6]可知:若R是GF-封闭环,则(GF,GC)是余挠理论,并且任意模都有Gorenstein平坦覆盖和Gorenstein cotorsion包络.

显然,所有内射模是Gorenstein cotorsion模.自然考虑:模的Gorenstein cotorsion包络是否具有与模的内射包络类似的性质？讨论了模的基本扩张与Gorenstein cotorsion包络及单模的Gorenstein cotorsion包络,给出了模的Gorenstein cotorsion包络具有与其内射包络类似性质的一些充分条件.

2 模的基本扩张与Gorenstein cotorsion包络

贯穿全文,R是GF-封闭环,模都是左R-模.记σM:M→G(M)为模M的Gorenstein cotorsion包络.N≤M表示N是M的子模,N≤eM表示在同构意义下N是M的基本子模(或称M是N的基本扩张),N=M表示M,N在同构意义下是相等的.

根据文献[7]的定理3.29,可知内射模没有真的基本扩张.对于 Gorenstein cotorsion模,有下述结论.

命题 2.1设N是Gorenstein cotorsion模,N≤eM.若M/N∈GF,则M=N.

证明考虑正合序列0→N→M→M/N→0.由于

该正合序列是可裂的,故M=N⊕M/N.同时,N≤eM.从而M/N=0,即M=N.

由文献[8]命题8.12知:若 N≤eM,则 E(N)=E(M),其中E(N),E(M)分别表示N,M的内射包络.

定理 2.1设N≤eM≤eG(M).以下等价:

(1)M/N∈GF;

(2)G(M)/N∈GF;

(3)G(M)=G(N).

证明(1)⇒(3) 令i:N→M 为包含同态.由M/N∈GF可知σN:N→G(N)可以通过i分解,即存在态射j:M →G(N)使得σN=ji.由于i是基本的,故j是单同态.同时,j可以通过Gorenstein cotorsion包络σM:N→G(M)分解,即存在h:G(M)→G(N)使得j=hσM.同理,由σM是基本的可知h是单同态.对于

有态射g:G(N)→G(M)满足gσN=σMi.故从而hg:G(N)→G(N)是自同构,h是满的.进而,h:G(M)→G(N)是同构.

(3)⇒(2)由Wakamatsu引理可知G(N)/N∈GF,故结论成立.

(2)⇒(1)存在正合序列0→M/N→G(M)/N→G(M)/M→0,其中G(M)/M∈GF, G(M)/N∈GF.从而M/N∈GF.

若N≤M≤E(N),则E(M)=E(N).对于模的Gorenstein cotorsion包络,有:

命题 2.2设N≤M≤G(N).若M≤eG(M),则G(M)=G(N).

证明令i:N→M,j:M →G(N)表示包含同态.j可以通过Gorenstein cotorsion包络σM:M→G(M)分解,即存在f:G(M)→G(N)使得j=fσM.由σM是基本的可知f是单同态.同理,对于σMi:N→G(M),存在g:G(N)→G(M)使得σMi=gσN.从而由

可知fg是同构.进而f是满的,结论成立.

对于模M,称f:M → G是特殊的Gorenstein cotorsion预包络,如果 G∈GC,f是单的且满足Coker(f)∈GF.由Wakamatsu引理可知任意Gorenstein cotorsion包络是特殊的Gorenstein cotorsion预包络.

定理 2.2假设 GF关于单同态的余核封闭.若 i:N → M 是基本单同态,且满足Coker(i)∈GF,则M 有特殊的Gorenstein cotorsion预包络j:M→G(N).

证明由于L=Coker(i)∈GF,故有正合序列

对于σN,有j:M→G(N),使得σN=ji,且易知j是单同态.

考虑j:M→G(N)和自然投射p:M→L的推出图:

由于GF关于单同态的余核封闭,且在正合序列0→L→P→Q→0中L,P∈GF,从而Q∈GF.故结论成立.

3 单模的Gorenstein cotorsion包络

众所周知,单模的内射包络是不可分解的.在一定条件下,证明了单模的 Gorenstein cotorsion包络也具有类似的性质.

首先,需要证明如下结论.

引理 3.1设σM:M→G(M)是M 的Gorenstein cotorsion包络.则

且不存在非零子模N≤G(M),使得

证明由Wakamatsu引理易知G(M)/M∈GF.

从而M=(M+N)/N.考虑正合序列

对于σM,存在

使得σM=fi.注意到i=πσM,其中π:G(M)→G(M)/N为标准投射.从而σM=fπσM, fπ是自同构,进而π是单的.即

R是SF环,是指任意单R-模是平坦的.称R是SGF环,如果任意单R-模是Gorenstein平坦的.显然,任意SF环是SGF环.特别地,任意von Neumann正则环是SGF环.

定理 3.1假设R是SGF环,且使得Gorenstein平坦R-模的类GF关于单同态的余核封闭.则任意单模的Gorenstein cotorsion包络是不可分解的.

证明反设存在单R-模M,满足G(M)=M1⊕M2,Mi0,i=1,2.由于M是单的,故

假设M∩M1=0.考虑正合序列

其中G(M)/M∈GF,且由R是SGF环得M∈GF.从而G(M)∈GF.进而M1∈GF.

在正合序列

中,M1,G(M)/M∈GF,从而由条件GF关于单同态的余核封闭,可得

根据引理3.1,M1=0,与M10矛盾.从而

同理,可证M⊆M2.故M⊆M1∩M2=0.矛盾.

[1]Enochs E E,Jenda O M G.Relative Homological Algebra[M].Berlin:Springer-Verlag,2000.

[2]Holm H.Gorenstein homological dimensions[J].J.Pure Appl.Algebra,2004,189:167-193.

[3]Mao L X,Ding N Q.Gorenstein FP-injective and Gorenstein f l at modules[J].Journal of Algebra and Its Applications,2008,7(4):491-506.

[4]Enochs E E,Jenda O M G,Torrecillas B.Gorenstein f l at modules[J].南京大学学报:数学半年刊,1993,10:1-9.

[5]Bennis D.Rings over which the class of Gorenstein f l at modules is closed under extensions[J].Comm. Algebra,2009,37(3):181-190.

[6]Yang G,Liu Z K.Gorenstein f l at cover over GF-closed rings[J].Comm.Algebra,2012,40(5):1632-1640.

[7]Rotman J.An introduction to Homological Algebra[M].New york:Academic Press,1979.

[8]Anderson F W,Fuller K R.Rings and Categories of Modules[M].2nd ed.New York:Springer,1992.

Gorenstein cotorsion envelope of modules

Zhang Yugang
(Department of Basic Sciences,Lanzhou Institute Technology,Lanzhou 730050,China)

Comparing with injective envelope of modules,we discuss the essential extension of modules and Gorenstein cotorsion envelope as well as Gorenstein cotorsion envelope of simple modules.Some sufficient conditions under which the properties of Gorenstein cotorsion envelope analogous to those of injective envelope are given.

Gorenstein cotorsion modules,(pre)envelope,essential extension

O154.2

A

1008-5513(2014)02-0173-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.008

2013-11-12.

国家自然科学基金(11101197).

张豫冈(1978-),硕士,讲师,研究方向:环模理论.

2010 MSC:16D80