戴三

圆锥曲线中的最值与范围问题是高考的考查热点，往往以圆锥曲线（包括圆）与直线为载体，结合函数、不等式及导数等知识，综合考查解题能力. 求解这类问题的基本方法有几何特征法和代数法.

几何特征法

几何特征法即利用圆锥曲线的几何特征蕴含的条件，如抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离、过椭圆焦点的所有弦中通径最短等，构造相应的函数或不等式求解.

例1已知直线l：x+y+3=0和圆C：x2+y2-2x-2y-2=0，设A是直线l上一动点，直线AC交圆C于点B，若在圆C上存在点M，使∠MAB=，则点A横坐标的取值范围为

.

解析： 圆C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如图1所示，过C点作CN⊥AM于点N，则CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.

设A（x，-x-3），则AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.

所以点A横坐标的取值范围为≤x≤.

点评： 解答例1 的关键是利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，建立不等关系求解.当直线AM与圆C相切时，N, M两点重合，CN取到最大值2；而AC可通过∠MAB与CN建立量的关系，由此构建以点A的横坐标x为自变量、以AC为因变量的函数，进而求解.

例2［2013年嘉兴市高三教学测试（一）第17题］ 已知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB=，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为.

解析： 如图2所示，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1.

设FA=t1，FB=t2，则由∠AFB=可得AB=.因为AM=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由抛物线定义可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.

由[t1][2]+[t2][2]≥2t1t2可得2[t1][2]+2[t2][2]≥2t1t2+（[t1][2]+[t2][2]）=（t1+t2）2，t1+t2≤·，所以≤=，当且仅当t1=t2时取到等号，所以的最大值为.

点评： 例2利用抛物线的定义，将线段MN的长度与FA，FB的长度t1，t2相联系，构造了含有双变量的函数，然后利用不等式（a+b）2≤2（a2+b2）求得函数的最大值.

代数法

利用题目……