彭 夷，张小明

(南京工业职业技术学院 能源与电气工程学院，江苏 南京 210023)

引言

随着电子科技的发展，电子器件的功率密度在不断上升。在电子设备中，良好的热设计直接成为电子产品性能的决定因素之一。然而，在热设计中散热器的设计又是一个重点。因此如何用更加快捷方便的方法获得所设计散热器的温度特性成为设计工程师讨论的焦点问题。根据电子散热的特性，许多散热器可以简化成二维传热问题来进行分析。对于二维稳态或瞬态传热问题，工程上有许多有效的方法求解这样的传热问题。主要有两类方法，一是工程图解法，二是商业软件仿真分析法［1，2］。工程图解法能够获得比较近似的结果，其相对于商业软件仿真分析法，误差比较大。随着计算机技术的发展，商业软件仿真分析法使用频率越来越高，但是，这种方法需要非常专业的人员去完成。对于工程中比较简单的，形状规则的二维传热问题，电子表格能更加快捷方便地利用有限差分法(FDM，Finite Difference Method)获得所需要的相对准确的结果。

1 二维传热的有限差分法(Finite Difference Method，FDM)

有限差分法的根本就是将所研究的物体划分成有限个小长方形的元素［3］，同时，假设每一个小长方形是等温体，每个小长方形的中心成为节点或网格点。图1就是这样的一个网格，用整数下标来表示每一个小长方下元素的位置。

图1 有限差分法的基本模型

在该图中，阴影区域表示任一基本元素，是一温度为Tm，n的等温体，而且其边界位于相邻节点的中心位置。所以，根据导数的定义，可以得出

同理，对垂直方向也应有，

对于一个二维矩形物体，如果其四边均保持不同温度值的常数，且无内热源，物体的导热系数为常数。那么根据传热学，二维导热问题的通用传热方程可以写成，

该方程是一齐次的关于温度T的拉普拉斯方程，如按照严格数学方法来求解，比较麻烦。如果采用有限差分的方法，问题就变得简单了。将式(1)和(2)代入(3)，得到:

由式(4)可以看出，在有限差分法中温度Tm，n实际是周边四个节点温度的平均值。对于求解这样的方程，代数的方法就是列出方程组，再通过高斯 －赛德尔法去迭代，然后获得最终的解［3-5］。为了简化计算的过程，电子表格能够被用来实现这样迭代的功能，而获得我们需要的结果。

2 二维导热有限差分法算例

图2 1.0 ×1.0m 金属板

问题描述:如有一块导热系数为8W/mK的方形金属板，边长是1m。四边温度如图2所示。确定在其达到热稳定时金属板的温度分布。通过有限差分法，将整个金属板划分为100个0.1x0.1m小正方形作为基本元素，并且假设每个小正方形的温度是均一的。用电子表格来表示如图3所示，表格表示初始计算状态，而且电子表格非常形象而且生动地表示出了该金属板分成的网格状态。图3中阴影区域中表示金属板中间部分单元格，每个单元格被看成一个均匀的等温体，四周表示金属板的温度场边界条件。对于单元B8，根据方程(4)其温度值应为

以此类推，将图3中阴影区域中的单元格中的数学关系复制到其余单元格。

图3 电子表格计算开始的状态

此时，已经完成了金属板有限差分法的网格划分与边界条件及初始条件的设定。下一步将设定迭代计算次数与残差的设定。在电子表格，工具栏下选择“选项”，并选择“重新计算”的标签，计算相关设定的对话框出现。选择“手动重算”，同时勾选“迭代计算”，并设定迭代次数和最大误差。然后，单击F9执行计算［6］。图4是经过11次迭代后每个单元格差分结果，通过仔细观察可以发现单元格中的值不完全是周边四个单元格数值之和的四分之一，这是因为这些数据是计算过程中得出的，整个代数方程组还没有收敛而造成的。然而，图5中反映出的数据就基本上满足式(4)，由此可见经过100次的迭代后，整个计算基本收敛。关于这一点，可以从图6得到验证。而且，仔细观察图5中的数据会发现所有数据基本呈对称分布，这主要是由于边界条件是对称的，图7更加直观地反映了这一特征。

图4 迭代11次后各单元格的温度计算值

图5 经过100次迭代后各单元格的温度值

图6 监控单元格温度随迭代次数的变化

图7 金属板稳定状态时温度分布云图

图6反映的是单元格B8，F12和J16温度值随着迭代次数的增加而不断发展到传热稳定状态，而图7则是说明了在传热稳定状态时金属板的总体温度分布。

3 电子表格在不同传热条件下的计算推广

上面的内容一直是在阐述在无内热源且定壁温的计算。如果边界条件发生变化，并且有内热源的情况下，该如何去计算呢?

(1)在第二和第三类传热边界条件下的差分方程。

图8示意了第二和第三类的传热边界条件。根据热力学第一定律，式(5)可以得出:

对于式(5)，假设在深度方向上为单位长度。

图8 边界条件示意图

如果热流qb为常数，则式(5)属于第二类边界条件，所以该方程可以简化为，

如果热流qb不是常数，而是由对流换热来决定的，则方程(5)属于第三类边界条件，所以该方程又可写成:

(2)具有内热源的第三类边界条件下的差分方程。

基于图8，如果点(m，n)上有一内热源，则方程(5)须写成:

式(9)表示具有内热源的第三类边界条件下点(m，n)的差分方程。

根据以上方程(6)，(7)和(9)的结构形式，结合前面的计算示例，它们也是非常容易用电子表格的形式来表示。这样常见的边界条件及有内容情形下的传热问题都能够用电子表格的方式去求解。因此，对于二维大多数的传热问题完全可以用电子表格法实现温度分布。这种方法在研究电路板的热分析，或单个散热器的热分析和优化，有着一定的现实意义。

此外，对于三维传热和瞬态传热问题，也是可以用电子表格去实现的。只不过差分方程变得稍微复杂而已，而且边界条件的设置需要考虑清楚。

4 结语

通过上述的分析，可以看出电子表格确实能够比较方便快捷地获得散热器的热特性。而且，也可以将其延伸到多种边界条件的传热问题中，甚至可以应用的电路板的热设计中。当然，电子表格应用到数值分析中，需要有一些合理的假设，不能直接应用，否则会产生奇异的结果。通常应用在电子散热中的散热形状比较简单，这种电子表格法还是有一定的应用前景。

［1］ 杨世铭，陶文铨.传热学(第四版)［M］.北京:高等教育出版社，2010:105-107.

［2］ 贾力，方肇洪，钱兴华.高等传热学(第二版)［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［3］ 章熙民，任泽沛，梅飞鸣.传热学(第五版)［M］.北京:中国建筑工业出版社，2007.

［4］ KOHNO T，KOTAKEMORI H，NIKI H.Improving modified iterative methods for Z-matrices［J］.Liner Algebra and Its Application，1997，267:113-123.

［5］ 黄廷祝，杨传胜.特殊矩阵分析及应用［M］.北京:科学出版社，2007:1-33.

［6］ 汪仲文.解线性方程组的迭代方法之比较［J］.喀什师范学院学报，2008(6):21-25.

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