摘要：以平均产品长度作为度量标准，研究了双抽样均值控制图的优化设计问题。分析了双抽样均值控制图的平均产品长度的计算方法，在此基础上建立了控制图参数设计的优化模型，并通过与原有的双抽样均值控制图的性能对比，验证了该优化设计模型的有效性。

关键词：平均产品长度 双抽样控制图 优化设计

1 概述

控制图是企业中进行质量管理和控制的基本方法之一，对产品质量的好坏起着至关重要的作用。控制图首先由Shewhart于1924年提出，之后得到了广泛的研究与引用，取得了相当不错的经济效益与社会效益，尤其是对战后世界经济的发展做出了巨大的贡献。但随着制造业的发展，生产的灵活性越来越高，原先的固定抽样区间和固定样本容量的静态控制图已不能满足质量监控的需要，于是Reynolds等提出了变化抽样区间的均值（Variable Sampling Intervals，VSI）控制图[1]，并由此形成了动态控制图这一新的研究领域。后来又有人提出变化样本容量（Variable Sampling Size，VSS）控制图、双抽样（Double Sampling，DS）控制图等，并取得了一系列关于这类动态控制图的研究成果[2-4]。Costa曾比较了VSS、VSI和DS控制图，结果发现DS控制图的监测效率最高[5]。目前，DS控制图正逐渐成为研究的热点。DS控制图最早是由Daudin提出的，他首先将二次抽样检测的概念结合到控制图理论中，采用两个阶段的抽样来监控过程，这种方法能降低抽样数量并提升检测过程偏移能力[6]。He和Grigoryan又提出了用于求解DS控制图各个参数的遗传算法[7]。上述DS控制图的研究，都是基于传统的效率评价方法，平均运行长度（Average Run Length，ARL），即平均需要多少个样本来发现过程异常，但由于DS控制图采用两次抽样，每次抽样的样本数量是不一样的，因此即使在ARL相同的情况下，其检测异常波动的效果仍有很大的差异。为此，本文将采用平均产品长度（Average Product Length， APL）作为控制图的效率度量指标，来进行DS控制图的优化设计，并与其他的一些动态控制图方法进行性能比较。

2 DS控制图

Daudin提出的DS控制图将两个不同控制限的常规控制图结合在一起进行过程质量监控，并在双抽样的第一阶段的控制图中增加了警告界限，如图1所示。

第一阶段抽样及监控 第二阶段抽样及监控

图1 DS均值控制图

图1中，L1和-L1分别表示第一阶段的控制界限；w和-w分别表示第一阶段的警告界限；L2和-L2分别表示第二阶段的控制界限。在DS控制图的使用过程中，首先从第一阶段抽样和监控开始，先抽取样本容量为n1的一个样本，并计算均值X1，若X1落在I1区域，则判断过程处于受控状态；若X1落在I2区域，则判断过程处于失控状态；若X1落在I3区域，则无法直接进行判断，需要进行第二阶段抽样及监控，再抽取样本容量为n2的一个样本，并计算均值X2，在第二阶段监控时必须包含第一和第二阶段的样本数据，因此第二阶段控制图的统计量为X2■=■，若X2■落在I4区域，则判断过程处于受控状态；若落在I5区域，则判断过程处于失控状态。

3 APL的计算

平均产品长度的定义为从均值或方差的变化发生到这个变化在控制图中被发现之间生产工序平均生产的产品数量[8]。而受控情况下的APL，用APL0表示，指从方案开始到产生一个错误报警信号之间平均生产的产品数。n表示控制图上描一个点代表的样本容量的大小。S表示在偏移发生到被发现之间抽样的样本的个数。Z表示从偏移发生到之后第一个样本之间的产品数。一个常量h表示样本之间间隔的产品数。L，即产品运行长度，表示产品的均值或方差的变动发生到该变动被发现之间生产的总产品数。如图2所示，L的数学表达可以用公式（1）表示：

L=Z+h（S-1）+nS=Z+hS-h+nS； （1）

产品运行长度L的期望，即APL，就可用样本容量n和抽样比例r表示出来：

APL=E（L）=E（Z）+[E（n）+h]E（S）-h； （2）

对于E（S），它就是通常用于控制图性能度量的平均运行长度（ARL），若过程处于稳定状态，通常用ARL0=1/a表示，其中a为控制图第一类错误（即虚发报警）的概率；若过程出现异常，导致过程均值偏移了？啄倍标准差？啄σ，此时用ARL？啄=■，？啄≠0表示，其中β？啄为控制图第二类错误（漏发报警）的概率。DS控制图的ARL0和ARL？啄的计算见式（3）和（4）。

偏移产生 信号产生

图2 运行长度的计算图解

ARL0=■=■；

=■ （3）

ARL？啄=■=■；

其中，Z1=■；Z2=■；Z■■=■；

C=■；r=■；I*■=（-w+？啄■，w+？啄■）；

I*■=（-L1+？啄■，-w+？啄■）∪（w+？啄■，L1+？啄■）。P（·）表示落在某区域的概率，？椎（·）表示标准正态分布的累计分布函数，？准（·）表示标准正态分布的概率密度函数。

对于E（n），在常规控制图中，样本容量是一个常量，每次描点采用的样本容量都是一样的，但对于DS控制图来说，每次描点可能只需用进行一重抽样，也可能需用进行二重抽样，因此，每此描点需用的样本数是不固定的，在过程处于稳定状态下，需用的样本量是比较小的，而当过程出现一定程度的偏移时，就常常需用进行二重抽样，需用的样本量就会比较大，因此其数学期望可以分别考虑在过程稳定时的期望样本量E0（n）和过程偏移程度为？啄倍标准差？啄σ的期望样本量E？啄（n），见式（5）和（6）。

E0（n）=n1+n2P（Z1∈I3）=n1+n2·[？椎（-w）-？椎（-L1）+？椎（L1）-？椎（W）]

E？啄（n）=n1+n2P（Z1∈I3）=n1+n2·[？椎（-w+？啄■）-？椎（-L1+？啄■）+？椎（L1+？啄■）-？椎（W+？啄■）] （6）

对于E（Z），当n的值为定值时，Z服从均匀分布，E（Z）=■，但由于DS控制图每次描点需用的样本数是不固定的，因此同样分别考虑过程稳定和过程出现偏移情况下两种状态的数学期望：

E0（Z）=■

E？啄（Z）=■

将式（3）——（7）代入到式（2），就可以计算出APL0和APL？啄：

APL0=E0（Z）+[E0（n）+h]·ARL0-h

APL？啄=E？啄（Z）+[E？啄（n）+h]·ARL？啄-h

4 优化设计模型

DS控制图的设计主要是确定5个参数：两个控制限参数（L1和L2）、两个阶段的抽样数（n1和n2）以及第一阶段的警告限参数w。控制图的一般设计原则是：当过程稳定，希望错误报警的概率要小，即APL0尽量的大；当过程出现异常，希望漏发报警的概率要小，即APL？啄越小越好。但虚发和漏发报警的概率为反比关系，不能同时达到最优。因此，可以先令APL0取一个足够大的可以接受的固定值，在此基础上要求APL？啄达到最小。于是，设APL0为一较大的常数C，抽样间隔的产品数为常数h，则优化设计模型就可以表示为：

Min APL？啄

约束：APL0=CAPL？啄

在上式中，两个阶段的抽样数n1和n2为整数，为了减少计算量，取小于50的数，事实上生产实践中也不可能取过大的样本容量。同样，两个控制限参数L1和L2以及第一阶段的警告限参数w都取小于6的数。表1为分别设定C=10000，h=100和C=50000，h=100两种情况下通过上式优化设计模型，运用MATLAB进行计算的结果。

表1 在给定APL0和抽样间隔的产品数

h时DS控制图的优化设计结果

■

5 性能对比

在我们的模型中，采用的控制参数都是根据APL选择最优值，那么这时的控制方案到底比以往的DS控制图有多优越呢？现在我们就拿我们的模型与Irianto和Shinozaki提出的DS图设计方案[9]进行比较。分别用基于APL的优化设计模型（Optimal Design）和Irianto和Shinozaki提出的设计方案（I&S;）针对1倍和两倍标准差的过程偏移进行设计确定控制参数，再用两种方案对各种程度的过程偏移进行监控效率的对比，结果见表2。

由于Irianto和Shinozaki提出的设计方案（I&S;）是以 为监控效率的评价指标，一般都取ARL0在370左右，按照抽样样本间隔为h=100的假设，换算出APL0约为40000，为了便于对两种设计方案进行比较，因此同样取

C=40000。表2中给出了各种程度过程异常偏移情况下的APL、ARL和E（n）的值，从表中的结果可以发现，不论是对较小的过程偏移？啄=1.0还是对较大的过程偏移？啄=2.0，本文提出的优化设计方案发现异常偏移的效率都是高于Irianto和Shinozaki提出的设计方案的。

6 结论

本文主要讨论了双抽样均值控制图的平均产品长度的计算方法，并以此作为效率评价指标，建立了该控制图的优化设计模型。通过与原有的双抽样均值控制图设计方案的对比，说明新的优化设计模型能够有效提高双抽样均值控制图技术检测各种程度异常偏移的有效性。

参考文献：

[1]Reynolds M R，Amin R W，Arnold J C and Nachlas，J.A.X Charts with Variable Sampling Intervals[J]. Technometrics.1988，30：181-192.

[2]Costa A F.X Charts with Variable Parameters[J]. Journal of Quality Technology.1999，31：408-416.

[3]Costa A F.Joint X and R Charts with Variable Sample Size and Sampling Intervals[J].Journal of Quality Technology，1999，33：387-397.

[4]王兆军.关于动态质量控制图的设计理论[J].应用概率统计. 2002，18（3）：316-332.

[5]Costa A F.，Rahim M A.Joint X and R Charts with Two Stage Sampling [C].Proceedings of IIE Research Conference.Orlando，Fla.，USA：IIE Press，2002：22-24.

[6]Daudin J J.Double Sampling X-bar Charts [J].Journal of Quality Technology.1992，24（2）：78-87.

[7]He D.Grigoryan A.Construction of Double Sampling Control Charts for Agile Manufacturing[J].Quality and Reliability Engineering International，2002，18（4）：343-355.

[8]王海宇.基于平均产品长度的EWMA图性能评价与优化[J]. 管理工程学报，2007，21（3）：164-167.

[9]Irianto D.and Shinozaki N.An Optimal Double Sampling X-bar Control Chart[J].International Journal of Industrial Engineering.1998，5：226-243.

[10]Hsu，L.F.Note on“Design of Double and Triple Sampling X-bar Control Charts Using Genetic Algorithms”[J].International Journal of Product Research.2004，42（5）：1043-1047.

作者简介：

娄琳华（1979-），女，河南新乡人，中级经济师，研究方向：质量管理。