沙建科，施雨阳，万自明，徐敏

(1.西北工业大学 航天学院，陕西 西安 710072； 2.北京电子工程总体研究所，北京 100854)

0 引言

冲压发动机以质量轻、比冲高、具有良好的超声速特性而成为中远程战术导弹首选装置，其可为导弹超声速飞行提供加速爬升所需要的富裕推力及续航推力[1]。以冲压发动机为动力的导弹武器系统研制工作是一项系统工程，总体设计决定导弹的性能和成本。优化设计是从多种方案中选择最佳方案的设计方案，是导弹总体设计的一个重要手段。导弹总体优化设计的重要任务之一是对导弹设计参数进行寻优，使导弹以最小代价满足战术技术指标的要求[2]。

随着优化理论的不断完善，分系统优化设计方法如导弹总体参数和弹道优化设计已经很成熟[3-7]。冲压发动机的性能参数(如比冲、推力)与导弹飞行参数紧密相关，而导弹的飞行性能与给定的弹道形状有关，各分系统单独开展的优化设计并不能满足总体参数最优的要求，要想获得总体参数优化最优必须结合飞行轨迹进行一体化优化设计。总体参数/飞行轨迹一体化优化才能使系统参数最优，从而最大程度地挖掘导弹的设计潜能。

本文从一体化优化设计思想出发，对以冲压发动机为动力导弹轨迹/总体参数一体化设计中的相关数学模型、优化目标、一体化优化方法等几个问题进行了深入研究。提出了采用一种精度高的参数化方法-高斯伪谱法将轨迹最优控制问题转换为非线性规划问题，然后用序列二次规划方法(sequential quadratic programming, SQP)求解一体化优化问题。

1 导弹总体优化数学模型

数学模型包括质量计算模型、弹道及气动力计算模型和发动机性能计算模型。

1.1 导弹质量计算模型

导弹的质量计算是轨迹/总体参数一体化优化设计基础，导弹总质量由各部分质量组成。在导弹总体方案论证阶段宜采用导出型质量计算模型。本文的质量计算按照部件分析方法进行估算，全弹质量M0由助推器质量M1和二级导弹质量M2组成：

M0=M1+M2.

(1)

助推器采用固体火箭发动机，为了简化模型，认为助推器质量由推进剂Mp和结构质量Ms组成。依据有关统计数据，发动机推进剂质量为

Ms=0.85M1.

(2)

二级导弹的质量可分为有效载荷质量mp、发动机推进剂质量mpp、发动机结构质量mss1、能源电池质量mcs、导弹结构质量mss和弹上设备质量mps。即

M2=mp+mpp+mss1+mcs+mss+mps.

(3)

各部分质量具体展开表达式可参考文献[2].

1.2 发动机性能计算模型

总体参数优化建模中必须根据实际要求建立发动机性能的计算模型。发动机为导弹提供飞行动力，以保证导弹获得所需的速度和射程。冲压发动机最大的缺点是在静止状态下不能自行启动，必须借助助推器将其加速到一定的速度后才能工作。因此，本文的动力系统由助推器(固体火箭发动机)和冲压发动机组成。

为了简化计算，在总体方案设计阶段，认为固体火箭发动机的推力为定值，燃料流率为一确定值。采用等熵流动，一维计算模型对冲压发动机进行热力计算，具体可见文献[8]。通过仿真得到冲发动机的推力、耗油量随飞行高度、速度、攻角、冲压发动机余气系数、喉道收缩比的变化关系，即

F=f1(h,v,α,β,η)，

(4)

mc=f2(h,v,α,β,η)，

(5)

式中：F为推力；mc为耗油量；h为飞行高度；v为飞行速度；α为飞行攻角；β为余气系数；η为喉道收缩比。

1.3 弹道计算模型

导弹的弹道由起飞助推段、爬升段和巡航段组成。助推器在地面点火加速到冲压发动机启动马赫数以后脱落，冲压发动机开始接力工作使导弹加速爬升到巡航高度、巡航速度后进行水平巡航。为了研究方便，采用了以下假设：①将导弹看作可控质点；②为简化问题，仅研究导弹在垂直平面内的运动；③略去飞行过程中的随机干扰，即控制系统是理想的，导弹运动完全按照程序飞行。

基于以上假设，导弹在铅垂平面内的质心运动方程组为

(6)

大气模型采用1976美国标准大气。导弹的气动力计算采用部件组合的工程估算方法，基本能满足导弹总体方案设计的精度要求。阻力D和升力L分别为

(7)

(8)

式中：S为参考面积；ρ为大气密度；CD和CL分别为阻力系数和升力系数，可表示为攻角和马赫数的插值函数，也可近似表示为攻角的函数。

2 导弹轨迹/总体一体化优化问题描述

2.1 目标函数

优化设计的任务就是要对各个设计方案进行寻优比较，得出最佳方案，而对设计方案进行优劣比较的准则就是目标函数。目标函数应能充分反映主要设计性能指标。本文以起飞质量最小为目标函数，该目标函数既能反映了导弹性能的好坏，也在一定程度上反映了成本。

2.2 优化变量

优化设计变量是指能够用来描述设计方案特征的独立变量。优化变量应选取与目标函数有关系，对目标有较大影响的变量。本文的优化变量由总体参数优化和轨迹优化两者的优化变量组成。根据问题性质和设计经验，选取下述的优化变量。

(1) 助推器工作时间t1

在装药量一定时，助推器工作时间越短，助推段末速就越大，但相应的导弹结构质量也增加，且受到发动机燃烧室压强的限制，发动机工作时间也不可能无限制的缩短，因此，需通过优化助推工作时间以提高导弹总体性能。

(2) 初始弹道倾角θ0

增大初始弹道倾角可使导弹快速爬升到预定的巡航高度，减少阻力的消耗，增加巡航射程，但是也增加了爬升段重力的消耗，同时减少了水平飞行距离，为了提高总体性能应优化初始弹道倾角。

(3) 接力马赫数Mat1f

接力马赫数为助推段的末速，二级导弹的初速，是导弹总体设计指标。接力马赫数值增大时，则助推段质量增加，反之，二级导弹的质量增加，导弹的起飞质量M0会因Mat1f的不同而发生变化。优化接力马赫数可以使得导弹总体性能得到进一步的优化。

(4) 冲压发动机余气系数β及喉道收缩比η

发动机的性能参数取决于余气系数及喉道收缩比，因此β和η影响着导弹的飞行性能，为达到给定的射程，总可能找到合适的β和η使得导弹的起飞质量最小。

(5) 轨迹最优攻角变化规律α(t)

飞行攻角是轨迹的控制变量，优化飞行攻角使得轨迹最优减少燃油消耗，从而达到起飞质量最小的目的。

2.3 约束条件

导弹在飞行过程中经历助推段、爬升段和巡航段，跨越的时间和空间范围比较大。飞行过程中受到过程不等式约束、终端约束。此外，相邻的2段轨迹(助推段与爬升段、爬升段与巡航段)之间还需要满足结点连接条件。本文的约束条件如下：

不等式约束：

αmin≤αmax，Mat1f>Ma0，

(9)

等式约束：

hti3=hcruise，θti3=θcruise，vti3=vcruise，L=Lmax.

(10)

相邻两段连接约束：

(11)

式中：Mat1f为冲压发动机机转级马赫数；tf1为助推段关机时刻，为固定值；ti2和tf2分别为爬升段初始时刻和终端时刻；ti3为巡航初始时间。

爬升段转到巡航段的标志是爬升段弹道倾角为0。

2.4 一体化优化方法

导弹轨迹/总体参数一体化优化变量分为2类，一类是导弹总体参数静态优化；另一类是动态轨迹优化。由以上分析可知，总体参数优化问题属于非线性规划问题，而轨迹优化设计本质上属于最优控制问题。采用基于pontryagin极小值原理的间接求解轨迹优化问题比较繁琐，且只能与总体参数优化分开单独优化，有可能失去整体的最优解，本文利用基于非线性规划的直接法来求解。轨迹最优控制问题的搜索空间是泛函空间，不能直接利用非线性规划算法进行求解。为了统一用非线性规划算法求解轨迹/总体一体化优化问题，应该用参数化方法将轨迹最优控制问题转化为非线性规划问题。参数化方法是将最优轨迹问题转化为非线性规划问题求解的桥梁，其精度直接关系到最优轨迹的好坏程度。本文提出采用高斯伪谱法将轨迹最优控制问题转化为非线性规划问题。

高斯伪谱法是近年来发展迅速、应用较多的一种同时离散控制变量和状态变量的函数逼近参数化方法[9-11]。高斯伪谱法属于配点法的范畴，其基本原理是：以Legendre多项式的零点(也称为高斯点)作为节点同时将状态方程中的控制变量和状态变量进行离散，然后以这些节点作为插值点构造全局的拉格朗日多项式来逼近状态变量及控制变量，通过对全局插值多项求导来近似动力学方程中的状态变量对时间的导数，从而将动力学方程转化为一组代数方程。目标函数中的积分项由高斯积分计算得到。经过上述变换，可将轨迹最优控制问题转化为受一系列代数约束的参数优化问题，即非线性规划问题，基本流程图如图1所示。

高斯伪谱法的优点主要表现在：①可估算出原最优控制问题的协态变量信息，因此能保证所获得的非线性规划的最优解是原最优控制问题的解。②因同时离散控制变量及状态变量，其优化变量的维数远高于其他方法，但以此为代价，降低了目标函数的病态方程，提高了收敛性和精度，且对初值猜测值不敏感。

高斯伪谱方法将轨迹最优控制问题参数化，转化为非线性规划问题后， 理论上各种非线性规划算法均适用该问题求解。本文提出采用SQP算法对该问题进行求解。SQP优化算法[12]是在每一迭代步中，通过求解一个二次规划子问题，来确定一个下降方向，以减少价值函数来取得步长，重复这些步骤，直到求得原问题的解，该方法在局部整体收敛性的同时，保持局部超1次收敛性，是求解约束优化问题最有效的算法之一，也是应用最为成功和广泛的一种算法。

3 仿真结果与讨论

根据本文所建立的轨迹/总体一体化优化方法，以某远程冲压发动机导弹为例，分别对不考虑轨迹优化的总体参数优化(总体优化方案)和考虑轨迹/总体参数一体化优化(一体化优化方案)进行了仿真分析。本算例的初值为：(h,x,v)=(0,0,0)；约束为Mat1f>1.8，α(t)∈[-3°,8°]，t1∈[3,7]。计算中巡航高度为16 km，巡航马赫数为3，射程为300 km。优化结果如表1所示。

图1 高斯伪谱法基本流程图Fig.1 Basic block diagram of Gauss pseudo-spectral method

表1 总体参数优化结果Table 1 Overall parameter optimization results

参数总体优化一体化优化初始弹道倾角/(°)68.4262.457余气系数β1.8791.45～2.0喉道收缩比η0.610.57助推时间/s4.0483.868爬升时间/s145.35354.144巡航时间/s235.655300.06总飞行时间/s385.056358.072转级马赫数1.8431.837转级高度/km1.0730.923平均速度/(m·s-1)780.325837.82射程/km300.469300.02助推器装药量/kg283.36270.76助推器总质量/kg333.364318.54二级导弹装药量/kg164.936135.18二级导弹总质量/kg764.936735.18起飞质量/kg1 098.301 053.72

从上述优化结果可以看出，在冲压发动机接力工作时，2种方案的导弹飞行马赫数分别为1.834和1.837，均满足接力马赫数的条件。接力马赫数的大小，主要取决于助推器和二级发动机的比冲，冲压发动机的比冲远远大于固体火箭发动机的比冲，因此为了使起飞质量最小，接力马赫数取值在冲压发动机能正常工作附近。导弹起飞质量减少了4.06%，主要是助推段和爬升段燃油减少的结果，在总体参数优化中，增加轨迹的优化可以大大提高导弹的设计潜力。弹道曲线和速度随时间变化曲线如图2和图3所示，一体化优化方案中，为了减少助推段重力的损失，助推器工作时间减小到3.818 s；导弹以较大的推力迅速爬升到巡航高度，在爬升转平飞时，马赫数为2.95，迅速爬升到预定高度，可减少阻力消耗，增加巡航段射程，充分发挥冲压发动优势。随着飞行高度的增加，空气密度减少，进入进气道的空气流量减小，使得燃料秒流量减少，从而达到了减轻起飞质量的目的。飞行攻角随时间的变化如图4所示，满足约束要求，变化比较平滑，容易控制。

图2 导弹弹道曲线Fig.2 Change curve of trajectory vs. time

图3 导弹飞行速度时间曲线Fig.3 Change curve of velocity vs. time

图4 导弹飞行攻角时间曲线Fig.4 Attack angle curve of vs. time

4 结束语

本文针对冲压发动机导弹的特点，建立了导弹轨迹/总体参数一体化优化设计模型及方法。为了用非线性规划方法求解一体化优化问题，提出了采用高斯伪谱法将一体化中的轨迹最优控制问题转化为非线性规划问题。分别对轨迹/总体参数一体化优化和未考虑轨迹优化2种方案进行了仿真分析。仿真结果表明，起飞质量减少了4.06%，采用一体化优化设计思想，可以最大程度地挖掘导弹总体设计的潜力，其结果可为冲压发动机导弹总体优化设计研究提供理论参考。

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