李晓萍

函数模型是解决复杂数学问题的有力工具。然而，要能够对各种问题有准确的判断，并且在此基础上找到最为适合的函数模型，则需要学生具备较好的思维能力及数学基础。本文将结合实例来具体谈谈函数模型及其应用。

一、一次函数与二次函数模型

在高中数学教学中，最常见的函数模型是一次函数与二次函数模型，这两种函数模型在构建及实际应用中应当给学生强调如下要点：（1）当涉及的问题可以归结为一次函数模型时，即函数的增长特点是随直线上升或直线下降时。对于这样的问题，在构建一次函数模型时主要是借助一次函数图像的单调性来解决实际问题；（2）当研究的问题是面积问题、产量问题及利润问题等时，通常都涉及两变量函数之间的二次函数关系，需要利用二次函数模型来具体求解，此时可以通过对函数配方并且结合具体的函数图像来分析函数的单调性，最后找出相关规律让问题得以解决；（3）在一次函数与二次函数模型的构建及实际应用中，特别需要注意的是函数的定义域。

评析：分段函数是一种非常具有代表性的函数模型，也是能够让很多复杂问题得以解决的方法。在利用分段函数模型时需要提醒学生注意如下事项：（1）当问题中的变量关系无法用一个函数式表达时，应立刻想到建立分段函数模型；（2）在使用分段函数解决实际问题时，应做到思维清晰，可以先将整个问题当作几个小问题来分别处理，再结合每个小问题找出各段函数的变化规律，之后再让这些分段函数汇集到一起，进行相关总结。特别需要注意的是，分段函数中每一段函数的定义域都可能会不同，对于函数的端点值的确定也要十分明确。

三、指数函数模型

【例2】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22。

（1） 求每年砍伐面积的百分比；

（2） 到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

（3） 今后最多还能砍伐多少年？

评析：例2是典型的增长率问题，增长率问题是非常常见的函数问题，很多都可以借助指数函数模型y=N（1+p）x（其中N是基础数，p为增长率，x为时间）和幂函数模型y=a（1+x）n（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）的形式来解决。在指数函数模型的应用中，计算是一个难点，在进行对数运算或开方时要注意利用题目中给定的数值求解。

函数模型及其应用是考查学生对函数知识的综合应用的一种非常有效的途径，也是学生数学综合素养的一种直观体现。在教学过程中，教师应借助实际问题的分析研讨来提高学生的自主学习能力，让学生能够更好地借助函数模型解决各类复杂问题。

（责任编辑 黄春香）endprint

函数模型是解决复杂数学问题的有力工具。然而，要能够对各种问题有准确的判断，并且在此基础上找到最为适合的函数模型，则需要学生具备较好的思维能力及数学基础。本文将结合实例来具体谈谈函数模型及其应用。

一、一次函数与二次函数模型

在高中数学教学中，最常见的函数模型是一次函数与二次函数模型，这两种函数模型在构建及实际应用中应当给学生强调如下要点：（1）当涉及的问题可以归结为一次函数模型时，即函数的增长特点是随直线上升或直线下降时。对于这样的问题，在构建一次函数模型时主要是借助一次函数图像的单调性来解决实际问题；（2）当研究的问题是面积问题、产量问题及利润问题等时，通常都涉及两变量函数之间的二次函数关系，需要利用二次函数模型来具体求解，此时可以通过对函数配方并且结合具体的函数图像来分析函数的单调性，最后找出相关规律让问题得以解决；（3）在一次函数与二次函数模型的构建及实际应用中，特别需要注意的是函数的定义域。

评析：分段函数是一种非常具有代表性的函数模型，也是能够让很多复杂问题得以解决的方法。在利用分段函数模型时需要提醒学生注意如下事项：（1）当问题中的变量关系无法用一个函数式表达时，应立刻想到建立分段函数模型；（2）在使用分段函数解决实际问题时，应做到思维清晰，可以先将整个问题当作几个小问题来分别处理，再结合每个小问题找出各段函数的变化规律，之后再让这些分段函数汇集到一起，进行相关总结。特别需要注意的是，分段函数中每一段函数的定义域都可能会不同，对于函数的端点值的确定也要十分明确。

三、指数函数模型

【例2】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22。

（1） 求每年砍伐面积的百分比；

（2） 到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

（3） 今后最多还能砍伐多少年？

评析：例2是典型的增长率问题，增长率问题是非常常见的函数问题，很多都可以借助指数函数模型y=N（1+p）x（其中N是基础数，p为增长率，x为时间）和幂函数模型y=a（1+x）n（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）的形式来解决。在指数函数模型的应用中，计算是一个难点，在进行对数运算或开方时要注意利用题目中给定的数值求解。

函数模型及其应用是考查学生对函数知识的综合应用的一种非常有效的途径，也是学生数学综合素养的一种直观体现。在教学过程中，教师应借助实际问题的分析研讨来提高学生的自主学习能力，让学生能够更好地借助函数模型解决各类复杂问题。

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函数模型是解决复杂数学问题的有力工具。然而，要能够对各种问题有准确的判断，并且在此基础上找到最为适合的函数模型，则需要学生具备较好的思维能力及数学基础。本文将结合实例来具体谈谈函数模型及其应用。

一、一次函数与二次函数模型

在高中数学教学中，最常见的函数模型是一次函数与二次函数模型，这两种函数模型在构建及实际应用中应当给学生强调如下要点：（1）当涉及的问题可以归结为一次函数模型时，即函数的增长特点是随直线上升或直线下降时。对于这样的问题，在构建一次函数模型时主要是借助一次函数图像的单调性来解决实际问题；（2）当研究的问题是面积问题、产量问题及利润问题等时，通常都涉及两变量函数之间的二次函数关系，需要利用二次函数模型来具体求解，此时可以通过对函数配方并且结合具体的函数图像来分析函数的单调性，最后找出相关规律让问题得以解决；（3）在一次函数与二次函数模型的构建及实际应用中，特别需要注意的是函数的定义域。

评析：分段函数是一种非常具有代表性的函数模型，也是能够让很多复杂问题得以解决的方法。在利用分段函数模型时需要提醒学生注意如下事项：（1）当问题中的变量关系无法用一个函数式表达时，应立刻想到建立分段函数模型；（2）在使用分段函数解决实际问题时，应做到思维清晰，可以先将整个问题当作几个小问题来分别处理，再结合每个小问题找出各段函数的变化规律，之后再让这些分段函数汇集到一起，进行相关总结。特别需要注意的是，分段函数中每一段函数的定义域都可能会不同，对于函数的端点值的确定也要十分明确。

三、指数函数模型

【例2】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22。

（1） 求每年砍伐面积的百分比；

（2） 到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

（3） 今后最多还能砍伐多少年？

评析：例2是典型的增长率问题，增长率问题是非常常见的函数问题，很多都可以借助指数函数模型y=N（1+p）x（其中N是基础数，p为增长率，x为时间）和幂函数模型y=a（1+x）n（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）的形式来解决。在指数函数模型的应用中，计算是一个难点，在进行对数运算或开方时要注意利用题目中给定的数值求解。

函数模型及其应用是考查学生对函数知识的综合应用的一种非常有效的途径，也是学生数学综合素养的一种直观体现。在教学过程中，教师应借助实际问题的分析研讨来提高学生的自主学习能力，让学生能够更好地借助函数模型解决各类复杂问题。

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