刘 云

引言

对双光栅成像效应研究的文章很多［1－3］，这些文章推导了双光栅成像效应的条件，即双光栅成像方程，分析了成像效应中，两片光栅所起的作用。对白光－光栅再现普通透射全息图［4］的原理也有所研究，并且已运用到全息照相实验［5］中。无论是用菲涅耳衍射理论［6］还是用反向调制照明法［7］来分析光栅的成像效应都是把光栅的通光口径看着无限大。实际的光栅总是有一定大小的，光栅的通光口径是有限的，积分为限定区间的定积分，本文利用稳相积分法［8］来研究点光源经有限大小的双光栅的衍射，并将其与无限大小的双光栅衍射成像效应对比，从而得出其衍射图像在大小、位置的变化，并根据其原理进行白光再现普通透射全息图色彩研究。

1 利用光栅的菲涅耳衍射理论分析有限宽光栅的双光栅成像

1.1 双光栅成像效应

如图1所示，光栅G1和G2分别为非倾斜的平面透射光栅，P是挡板，O为被观察的目标物。来自O的不同波长的光波斜入射到光栅G1上，被衍射后的m级光谱波入射到G2，并被G2衍射，当两光栅的放置距离满足条件：

时，在G2的第n级衍射可以观察到一个无色散的清晰的虚像O，即为双光栅衍射成像效应［1］。

图1 双光栅衍射成像光路示意图Fig.1 Schematic of light path of bi－grating diffraction imaging

1.2 有限宽光栅的双光栅成像

所谓有限宽光栅，即是设光栅在x方向上的有限宽度为a，而在y方向上则仍然可视为无穷大的光栅。点光源经这样有限大小光栅的衍射，可以把光栅的边缘看成是光阑，如果光栅的边缘是矩形的，相当于在光栅面上加一个矩形光阑，这样的光阑加在光栅上，称为光栅光阑。把上述的两片有限宽的光栅光阑组成如图2所示的光学系统。

图2 有限宽双光栅成像系统光路示意图Fig.2 Schematic of finite－width bi－grating imaging system

在图2中，光源S点在平面Ⅰ上，平面透射光栅G1和G2分别位于平面（x1，y1）和（x2，y2）上，光栅的狭缝均与y轴平行。光栅光阑矩形孔径内透过率函数和光栅的透过率函数相同，孔径以外的透过率为0，若两光栅的空间频率分别为和这样光栅光阑G1和G2的透过率函数可以表示为［9］

由菲涅耳衍射理论，位于图2所示的平面Ⅰ（x0，y0）处，波长为λ的单位光强点光源S透射到G1光栅的前表面（x1，y1）平面上的复振幅分布，在傍轴近似条件下为［10］

式中l1为光栅G1到光源S的距离。

经光栅G1衍射后，投射到光栅G2前表面（x2，y2）平面上的复振幅分布，在傍轴近似条件下为［10］

式中l2为光栅G2到G1的距离。由（2）式（4）式，先对（5）式中的y1积分得：

利用稳相法［8］对（6）式积分，得出经光栅G1衍射的第m级衍射在平面（x2，y2）上的复振幅分布，略去常数相位因子为

若只允许G1衍射的m级衍射光经过光栅G2，则投射到平面Ⅱ（x3，y3）上的复振幅分布，在傍轴近似的条件下为［10］

式中x′1和x′2表示第二片有限光栅在x轴向的坐标。将（3）式、（7）式代入（8）式得：

同理对（9）式积分得到平面（x3，y3）面上的复振幅分布，略去常数相位因子得：

2 有限宽光栅对双光栅成像的影响

2.1 对成像位置的影响

与无限宽光栅衍射的球心位置完全一致，这说明了有限宽光栅对双光栅成像的位置没有影响。

2.2 对成像大小的影响

由（11）式可以看出，xn是与波长λ有关的，这说明当点光源不是单色光时，平面Ⅱ上所形成的衍射图像会发生色散现象，但当通过移动G2、改变l2使得条件得到满足时，xn就与波长λ无关，这样经光栅G2的第n级衍射将汇合。这样（11）式就可以写为

从（10）式可知在光栅G2后的x3y3观察平面上的分布区域为一个矩形区域，该矩形区域的宽度用表示为

设点光源是白光源，由（11）式，白光源中最大波长和最小波长差为λmax的两种色光，在x3y3面上的矩形分布区域中心的间距为

白光点光源的光入射光栅，经有限大小的光栅衍射后，白光中最大波长成分和最小波长成分在x3y3面上的矩形分布区域的重叠部分为

该重叠区域中白光中的所有波长成分都能入射，称为白光区域。白光区域以外，x3y3面上不同区域有不同波长的色光入射，这些区域被不同的色光照明而呈现不同的彩色。

将（15）式变形有：

由（16）式可导出，光栅后的观察平面x2y2面上的色光区域分布与x3y3面距光栅的距离有关。当时，随着观察面x3y3距光栅面距离l3的增大白光区域越来越大，即有：

时，白光区域随着观察面x3y3距光栅面距离l3的增大而减小，当白光区域减小到0即y白光≤0时，观察面上的白光区域消失，观察面上的色光分布区域按波长顺序连续分布。此时

通过分析N的取值为

设白光点光源是由波长分别为632.8nm、532nm、435nm的红（R）、绿（G）、蓝（B）三种色光匹配而成的，最大波长差为Δλmax＝198nm，a＝0.5cm 时，由（17）式计算出N＜28 017。

设光栅G1距光源的距离l1＝30cm，光栅G2距光栅G1面为l2＝22cm，观察面距离光栅G2为l3＝30cm处时汇合成像的放大倍数由N＝计算得到N＝1.22。

3 有限宽光栅衍射的应用

在满足多色光再现像汇合的前提下，全息图局域可看作有限宽光栅，将图2中光栅G2位置换为记录一幅花和叶子的全息图，不同的色光区域中将得到不同的彩色全息图再现像。这里的彩色再现像并非物体原来的色彩，为假彩色再现像。图3光栅G2换成全息图H，这里光栅G1辅助实现白光－光栅方法再现普通透射全息图假彩色像。

图3 光栅G2换成全息图HFig.3 G2 replaced by H

全息图具体呈现的色彩与全息图的放置区域和观察区域有关。各色光的衍射效率是影响再现像色彩的关键因素。不同波长的再现光经光栅G1衍射后再经全息图光栅H的衍射效率不同，再现像呈现衍射效率高的色光的颜色，特别地，当不同色光的衍射效率差异悬殊时，再现像的色彩较为鲜明。本实验的目的是要观察到红花绿叶的再现像效果，实验中拍得再现像效果图片如图4所示。

图4 假彩色再现像图片（彩色在网上）Fig.4 Pictures of artificial color displaying image（color online）

图4 （a）是汇合级位置的再现像，实现红花绿叶的效果，4（b）和4（c）分别是除汇合级外的色光区域的再现效果，实现绿花蓝叶的效果。

早年已有利用光栅的色散特性来辅助全息图白光再现像的技术［8，11－12］。这些方式中，用光栅的反向色散特性来补偿白光再现普通透射全息图的色散，都要求辅助光栅的空间频率与全息图的平均空间频率相等或近似相等，由光栅的一级衍射波来补偿全息图的色散。本文分析了白光－光栅再现普通透射全息图需要满足有限宽双光栅成像条件，即成消色散再现像时，对辅助光栅的衍射级次及空间频率无严格限制，不要求辅助光栅的空间频率与全息图的平均空间频率相等或近似相等。

假彩色再现像典型的有彩虹假彩色全息［13］、反射假彩色全息［14］、θ调制假彩色全息［15］。与各种假彩色全息相比，白光－光栅方法再现普通透射全息图假彩色像具有以下特点：

1）白光－光栅再现方式中的全息图的记录只是普通的离轴全息图的记录方式，只需单次曝光，底片的处理只是一般的显定影处理。记录到的普通透射全息图受限制少，视场大，景深大，立体感强。实验装置简单，使用方便，可操作性强。

2）再现中只需要通过调节光栅的有效宽度和全息图距光栅面的距离，即可再现白光中所有波长的假彩色再现象，再现象的不同部分可以再现不同的色彩。

3）对于整个全息图再现像的假彩色只能在一个方向上变化。在垂直于光栅狭缝的方向上，全息图的不同部分可以再现不同的色彩。在平行于光栅狭缝方向上，全息图的再现像色彩都相同。

4 结果分析

本文把有限大小的光栅看成光栅光阑，来自白光点光源的光经光栅光阑的衍射后在光栅后的平面上形成一定的色光区域分布，由（10）式得到这个色光区域分布与光栅光阑的有效宽度有关，光栅光阑的有效宽度越小，在光栅后形成的白光分布区域越小，按波长连续分布的不同色光区域向白光区偏移，与白光区域的距离越近。如果将全息图置于光栅后的不同的色光分布区域，全息图再现像会呈现不同的色彩，这可以用来获得假彩色全息图再现像。

［1］ He Xiaorong，Zhang Weiping.Analysis of the bigrating diffraction imaging effect by Fresnel diffraction theory ［J］.Acta Opica Sinica，2007，27 （8）：1371－1376.

何小荣，张卫平.用菲涅耳衍射理论分析双光栅成像效应［J］.光学学报，2007，27（8）：1371－1376.

［2］ Zhang Weiping，He Xiaorong.The spectral combination characteristic of grating and the bi－grating diffraction imaging effect［J］.Science in China G，2006，36 （5）：556－560.

张卫平，何小荣.光栅的汇合光谱特性与双光栅成像效应［J］.中国科学 G辑，2006，36（5）：556－560.

［3］ Wan Lingyu，Zhang Weiping，Chen Maoxin.Intensity of combined beams in bi－grating imaging［J］.Chinese Journal of Lasers，2007，34（8）：1096－1100.

万玲玉，张卫平，陈茂鑫.双光栅成像中的汇合级能量［J］.中国激光，2007，34（8）：1096－1100.

［4］ Zhang Weiping，He Xiaorong，Chen Maoxin.Principle of the ordinary transmission hologram displaying with a white light source［J］.Journal of Guangxi University，2003，28（4）：293－296.

张卫平，何小荣，陈茂鑫.白光－光栅再现普通透射全息图原理［J］.广西大学学报，2003，28（4）：293－296.

［5］ Zhang Weiping，He Xiaorong，Chen Maoxin.The attempt of the hologram reproducing hologram white light grating was assisted in holographic experiments［J］.Physics Experimentation，2006，26（12）：30－32.

沈晓明，张卫平，陈茂鑫.在全息照相实验中增设光栅辅助白光再现全息图的尝试［J］.物理实验，2006，26（12）：30－32.

［6］ He Xiaorong，Zhang Weiping，Chen Maoxin.Fresnel diffraction of a plane transmission grating［J］.College Physics，2007，26（2）：1－4.

何小荣，张卫平，陈茂鑫.平面透射光栅的菲涅耳衍射［J］.大学物理，2007，26（2）：1－4.

［7］ Zhang Hailian，Gu Quwu.Analysis of grating imaging by the method of backward illuminating modulation［J］.Acta Optica Sinica，1995，15 （2）：145－150.

张海联，顾去吾.用反向调制照明法分析光栅成像效应［J］.光学学报，1995，15（2）：145－150.

［8］ Yang Guoguang，Song Feijun.Advanced Physical Optics［M］.Beijing：Science and Technology Press of China，1991：72.

羊国光，宋菲君.高等物理光学［M］.北京：中国科技技术出版社，1991：72.

［9］ Zhao Kaihuai.New concept physics：optics［M］.Beijing：Higher Education Press，2004：170－249.

赵凯华.新概念物理教程：光学［M］.北京：高等教育出版社，2004：170－249.

［10］ Goodman J W.Introduction to fourier optics［M］.Translated by Zhan Dasan，Dong Jingwu，Gu Benyuan.Beijing：Science Press，1979：103－104.

顾德门.傅里叶光学导论［M］.詹达三，董经武，顾本源译.北京：科学出版社，1979：103－104.

［11］ De Bitettl D J.White－light viewing of surface holograms by simple dispersion compensation［J］.Applied Physics Letters，1966，9（12）：417－418.

［12］ Boj P G，Pardo M，Quintana J A.Display of ordinary transmission holograms with a white light source［J］.Applied Optics，1986，25（22）：4146－4149.

［13］ Su Xianyu，Li Jitao.Information optics［M］.Beijing：Science Press，2000，42－50，70.苏显渝，李继陶.信息光学［M］.北京：科学出版社，2000，42－50，70.

［14］ Kang Hui.Optical image［M］.Tianjin：Nankai U－niversity Press，1996：362－440，529－546.

康辉.映象光学［M］.南开大学出版社，1996：362－440，529－546.

［15］ Yu Meiwen.Optical holography and its application［M］.Beijing：Beijing Institute of Technology Press，1996：149－197，434－547.于美文.光全息学及其应用［M］.北京：北京理工大学出版社，1996：149－197，434－547.