郭飞鹏，李 婧，巩 琼，刘红钊，秦 怡

引言

随着互联网技术的高速发展，图像信息的非法窃取与传播成为了目前最引人关注的信息安全问题之一。为了应对这个问题，基于各种原理的图像加密与隐藏技术被先后提出。其中，基于光学信息处理技术的图像加密与解密系统尤为引人关注［1－9］，这是因为光学信息技术具有并行处理二维复数场的能力，并且，在加密过程中可以融合各种参数，例如光波的波长、衍射距离以及偏振态等，因而具有极高的安全性。光学信息安全技术的代表性成果是由Refregier和Javidi在1995年提出的双随机相位编码系统（double random phase encoding，DRPE），尽管该系统具有结构简单、抗暴力攻击性强等优点［10］，但是其固有的缺陷限制了它的广泛应用。例如，该系统要求两个随机相位板必须在空间位置上精确对准，解密时二者的相对偏差为两个像素大小时即导致解密失败［11］；其次，该系统的加密结果为复分布，必须采用全息装置进行记录。相比之下，由 Nomura等人提出的基于光学联合变换相关结构（joint transform correlator，JTC）的光学加密系统则克服了上述缺点［12］。相比于DRPE系统，该系统由于明文和密钥共享一个输入平面，结构更为紧凑。同时，其加密密文与解密结果均可以使用CCD等强度传感器件直接记录，因而受到了广泛的重视，但是，JTC也逐渐暴露出一些严重的安全性问题［13－15］。最近，E.Rueda等人引入了一个附加密钥来提高JTC光学加密系统的安全性［16］。本文在E.Rueda所提出的改进的JTC系统中，提出一种使用附加密钥复用来实现彩色图像加密的方法。利用本方法可以将一幅彩色图像隐藏于一幅强度图像之中，方便了密文的传输与管理。同时，计算机仿真结果也表明，本方法具有较高的安全性。

1 使用附加密钥的光学联合相关变换加密系统

1.1 光学联合变换相关加密系统

图1（a）和图1（b）分别描述了基于JTC结构的图像加密和解密的过程。

图1 基于光学联合变换相关的图像加密系统Fig.1 Optical encryption using ajoint transform correlator architecture（encryption system and decryption system）

为了便于分析，采用一维的数学描述来分析。首先分析图像的加密过程，如图1（a）所示。原始明文图像（字符“a”）g（x）和相位掩模a（x）重叠后置于输入面上x＝a处，复值密钥h（x）则置于输入面x＝b处，其为一纯随机相位板H（v）的傅里叶逆变换，且与a（x）统计独立。这里v表示空间频率。同时，整个输入平面位于透镜L的前焦平面上。加密时，输入面被单色平面光波照明，经过透镜L的变换，透镜L的后焦面上得到输入函数的联合功率谱，即：

式中：F［］为傅里叶变换算符；G（v）、A（v）分别为g（x）、α（x）的傅里叶变换；前面已经提到，H（v）是一纯相位函数，因而可知｜H（v）｜2＝1；符号⊗和＊分别表示卷积和取共轭运算；JPS（v）为加密后的图像，即密文。若直接对JPS（v）作傅里叶逆变换，则得到的解密结果为

式中：δ（x）表示狄拉克函数；·表示相关运算。（2）式中的第一项为g（x）α（x）的自相关函数，位于坐标x＝0处。由于随机相位板α（x）的存在，该项表现为噪声图样，在α（x）未知的情况下，无法由该项恢复出原始图像g（x）。同理，（2）式中的第三项和第四项表示g（x）α（x）与h（x）的互相关函数，分别位于坐标x＝b－a与x＝a－b处，也是一个噪声图像，因而在不知α（x）与h（x）的情况下无法恢复出原始图像。

解密时所用的系统为一个光学4f系统，密钥h（x）置于4f系统输入平面，联合功率谱则置于频谱平面，由2个透镜进行傅里叶变换运算后，得到的结果可表示为

在合理参数a、b情况下，解密的四项结构可以在空间分开。（3）式中的第四项位于x＝a处，给出了原始图像的解密结果，用CCD等强度探测器件进行观察时，可以除去相位α（x）而恢复图像g（x）。

1.2 改进的光学联合相关变换图像加密系统

图2 改进的基于光学联合变换相关的图像加密系统Fig.2 Modified joint transform correlator architecture for optical encryption（encryption system and decryption system）

尽管基于JTC的光学加密系统有突出的优点，但是目前已经暴露出不少内在的安全性问题，例如该系统可被已知明文攻击以及选择明文攻击破解［14－15］。为了提高安全性，E.Rueda等人在JTC结构中引入一个附加的随机相位板，将照射输入平面的光波由平面波改换为被随机相位板调制后的光波，系统的安全性得到了较大提高。该系统的加密和解密过程如图2所示。入射的平面光波首先被附加密钥（additional key，AK）所调制，经过距离为d的衍射之后变为振幅和相位均为白噪声的随机光波场，用该随机光波前来照射输入平面，进而再用透镜L做傅里叶变换得到输入平面的联合功率谱，因为该系统引入了一个附加密钥AK，我们把这种加密系统称为采用附加密钥的光学联合变换相关系统（additional key joint transform correlator，ARJTC）。

2 利用AKJTC实现彩色图像加密

彩色图像由3个独立分量组成，如在RGB空间，由R、G、B三个分量组成，在HIS空间由H、I、S三个分量组成等，下面以RGB空间为例进行讨论，如图3所示。假设待加密的原始彩色图像为g（x），先将其分解成 R、G、B 3个分量gr（x）、gg（x）、gb（x）。首先利用 AKJTC系统分别对这3幅原始图像进行加密，并假设3个附加密钥分别为AKr，AKg，AKb。得到3个联合功率谱 AKJPSr、AKJPSg、AKJPSb，将这三者进行数学叠加，得到复合联合功率谱MAKJPS，该过程可表示为

此时，MAKJPS即最终的加密结果，即密文。原始图像的三基色分量gr（x）、gg（x）、gb（x）的信息就隐藏在这一个强度图像之中。需要说明的是，在分别对3个原始图像使用AKJTC系统进行加密时，除了附加密钥之外，所有其他参数，例如光波波长λ、相位掩模板α（x）以及复值密钥h（x）均相同。

在AKJTC结构中，附加密钥用来直接对平面光波进行调制，所产生的散斑场用来照射输入平面来产生联合功率谱，由于不同的附加密钥所产生的散斑场相互独立，因而可以预期，附加密钥对解密结果是非常敏感的，使用不正确的附加密钥得到的是类似于噪声的解密结果。这种现象提供了利用附加密钥复来实现多图像加密的可能。解密时，采用的附加密钥不同，则得到的应该是不含有混叠项的、对应的该附加密钥的原始图像。这就是我们所提方法的基本原理。

图3 基于附加密钥复用的彩色图像加密系统Fig.3 Color image encryption by additional key multiplexing（encryption system and decryption system）

3 计算机模拟

为了验证所提方法的有效性，在PC机上使用MATLAB 7.0进行了实验。模拟中，附加密钥至输入平面的距离d＝30mm，照明所用光波波长λ＝632.8mm，图4（a）中给出了原始彩色图像。图4（b）～（d）给出了原始图像的R、G、B分量，即gr（x）、gg（x）、gb（x）。原始图像和分量图像的大小为256pixel×256pixel。图4（e）、（f）、（g）则表示在对三幅原始密图像进行加密时所采用的三个附加密钥，即图3中所示的AKr、AKg、AKb，均为随机分布于［0，2π］的随机相位板。图4（h）、（i）、（j）即采用AKJTC方法对gr（x）、gg（x）、gb（x）加密所得的功率谱，图4（k）则为 AKJPSr、AKJPSg、AKJPSb的叠加结果，即复合功率谱密度MAKJPS。

图4 所提加密方法的加密结果Fig.4 Encryption results with proposal

利用图3（b）所示的结构对图4（k）中的复合联合功率谱进行解密，相应的解密结果在图5中给出。图5（a）、（b）、（c）是分别使用附加密钥 AKr、AKg、AKb进行解密的结果，可以看出，原始图像的R、G、B分量被正确地解密出来。为了定量描述解密结果的质量，此处引入相关系数作为标准，其定义为

图5 所提加密系统的解密结果Fig.5 Decryption results with proposed method

为了进一步证实该方法的安全性，我们考虑攻击者通过某种途径窃取到了这3个附加密钥，但是无法得知附加密钥与R、G、B分量的对应关系。此时，所有可能错误的组合情况在图6中给出。可以看出，此时虽然各个通道均被正确解密，但是均得到了不正确的原始图像的重建结果，获取了不正确的图像信息。因此，本方法既要求攻击者掌握3个附加密钥，同时也须掌握密钥与R、G、B分量的对应关系，具有较高的安全性。

图6 解密出的R、G、B分量颜色搭配错误时的结果Fig.6 Color decrypted images corresponding to example of figure 4（a），showing cases of possible wrong reconstruction

相比于先前的的彩色图像加密算法，本方法的优点可总结如下：首先，由于JTC结构的特性，使得本方法的加密过程对环境的要求更为宽松。在以往基于DPRE系统的彩色图像加密方法中，无论是加密还是解密均要求两个随机相位板必须在空间位置上精确对准，解密时二者的相对偏差为两个像素大小时即导致解密失败［11］，而本方法则无此苛刻的要求。其次，由于本方法只需要记录强度，避免了在记录复数密文时所需要的干涉结构，因而提高了加密的效率，同时节省了昂贵的额外光学器件［12］。

4 结论

本文提出了一种新的彩色图像加密方法，可将一幅彩色图像隐藏于一个实值目标图像（复合功率谱）之中。该方法基于改进光学联合变换相关结构中的附加密钥复用。在加密过程中，要求除了附加密钥和原始图像，加密系统的其他密钥和参数均完全相同。理论分析和计算机模拟结果表明，附加密钥可作为一个有效的参数来实现彩色图像加密。本方法的有效性已经被计算机仿真结果证实。

［1］ Qin Yi，Gong Qiong，Lyu Xiaodong，et al.Double image encryption system based on principles of interference［J］.Journal of Applied Optics，2013，34（2）：260－266.

秦怡，巩琼，吕晓东，等.基于干涉原理的双图像加密系统［J］.应用光学，2013，34（2）：260－266.

［2］ Qin Yi，Wang Hongjuan，Wang Li，et al.Virtual optical image encryption based on random amplitudephase encoding［J］.Opto－Electronic Engineering，2012，39（7）：126－131.

秦怡，王红娟，王丽，等.随机振幅－相位编码虚拟光学加密系统［J］.光电工程，2012，39（7）：126－131.

［3］ Gai Qi，Wang Mingwei，Li Zhilei，et al.Doubled random phase encryption based on discrete quaternion Fourier transforms［J］.Acta Physica Sinica，2008，57（11）：6955－6961.

盖琦，王明伟，李智磊，等，基于离散四元数傅里叶变换的双随机相位加密技术［J］.物理学报，2008，57（11）：6955－6961.

［4］ Liu Zhengjun，Liu Shutian.Double image encryption based on iterative fractional Fourier transform［J］.Optics Communications，2007，275（2）：324－329.

［5］ Liu Zhengjun，Dai Jingmin，Sun Xiaogang，et al.Triple image encryption scheme in fractional Fourier transform domains［J］.Optics Communications，2009，282（4）：518－522.

［6］ Zhou Nanrun，Wang Yixian，Gong Lihua，et al.Novel single－channel color image encryption algorithm based on chaos and fractional Fourier transform［J］.Optics Communications，2011，284（12）：2789－2796.

［7］ SiTu Guohai，Zhang Jingjuan.Multiple－image encryption by wavelength multiplexing［J］.Optics Letters，2005，30（11）：1306－1308.

［8］ Zhang Yan，Wang Bo.Optical image encryption based on interference［J］.Optics Letters，2008，33（21）：2443－2445.

［9］ Wang Xiaogang，Zhao Daomu.Security enhancement of a phase－truncation based image encryption algorithm［J］.Optics Letters，2011，50（36）：6645－6651.

［10］ Refregier P，Javidi B.Optical image encryption based on input plane and Fourier plane random encoding［J］.Optics Letters，1995，20（7）：767－769.

［11］ Wang Bor，Sun Chingcherng，Su Weichia，et al.Shift－tolerance property of an optical double－random phase－encoding encryption system［J］.Optics Letters，2000，39（26）：4788－4793.

［12］ Nomura T，Javidi B.Optical encryption using ajoint transform correlator architecture［J］.Optical Engineering，2000，39（8）：2031－2035.

［13］ Qin Wan，Peng Xiang，Meng Xiangfeng.Cryptanalysis of optical encryption schemes based on joint transform correlator architecture［J］.Optical Engineering，2011，50（2）：0282011－0282013.

［14］ Barrera J F，Vargas C，Tebaldi M，et al.Chosenplaintext attack on a joint transform correlator encrypting system［J］.Optics Communications，2010，283（20）：3917－3921.

［15］ Barrera J F，Vargas C，Tebaldi M，et al.Knownplaintext attack on a joint transform correlator encrypting system［J］.Optics Letters，2010，35（21）：3553－3555.

［16］ Rueda E，Tebaldi M，Torroba R，et al.Three－dimensional key in a modified joint transform correlator encryption scheme［J］.Optics Communications，2011，284（19）：4321－4326.

［17］ Wu Kenan，Hu Jiasheng，Lin Yong.A novel meth

od of key design in optical encryption system based on JTC architecture［J］.Optics and Precision Engineering，2007，15（4）：577－581.

吴克难，胡家升，林勇.基于JTC的光学加密系统密钥设计新方法［J］.光学精密工程，2007，15（4）：577－581.