韩金桩，吴玉田

(1．呼伦贝尔学院数学科学学院，内蒙古 呼伦贝尔 021008;2．肇庆学院数学与信息科学学院，广东 肇庆 526061)

用D代表复平面上的单位圆盘{z∶|z|＜1}，H(D)表示在D上解析的函数集合。

定义1 设0＜α＜∞，若f∈H(D)且满足

则称f属于对数α－Bloch空间，记作f∈LBα。

若规定对数α－Bloch空间的范数为

那么对数α—Bloch空间是Banach空间。当α=1时，简记为LB，即为对数Bloch空间，该空间和Bloch空间的乘子有密切的联系。

本文为了表述方便，特作如下规定:对于两个函数f和g，若存在一个常数C，与x无关，使得f(x)≤Cg(x)，那么记作f≺g。若f≺g≺f，则记为f≈g。

关于解析函数空间的高阶导数特征，已在多篇文章中涉及[1－3］，本文主要讨论了LBα空间中函数的高阶导数特征，为了获得主要的定理，首先需要下面的几个引理。

引理1[1］设 α＞ 0。若 f∈ H(D)满足

那么对任意的z∈D，有

引理2 设x是一个充分小的正数。对于β＞1，有

证明取一个充分大的正整数N，使得1≤2N－1x＜2，这就给出了

运用式(3)和基本的分析技巧可得

根据式(3)，可得最后的不等式成立，引理证毕。

引理3 设s＞ －1，t∈R。令

那么下列结论成立。

1)当t＜0时，对任意的z∈D，Is，t是一致有界的;

2)若t=0且|z|→1－时，

3)若t＞0且|z|→1－时，

证明利用文献[4］的定理1.7，容易得到式(1)和式(2)成立。下面证明式(3)成立，不失一般性，可假设z是实数且充分靠近1，那么γ=1－|z|是充分的小。若令

直接计算容易得到下面的估计。

根据引理2，易得

根据式(4)和式(5)的估计，可得

由式(4)、式(5)和式(6)三个估计式，易得

引理证明完毕。

定理1 设 α＞1。那么f∈LBα当且仅当

证明先证明必要性。根据引理1，可得

积分后可得

利用泰勒级数，易得

利用引理3和式(8)，可得

下面证明充分性，假设式(7)成立，那么存在常数M，使得

再次利用引理1，可得

两边求导后可得

根据引理3，可得

定理证毕。

定理2 设α＞0和n≥2是一个整数。那么f∈LBα属于当且仅当

证明先证必要性。若f∈LBα，根据引理1可得

对上式两边求导n－1次，可得

根据引理3，可得

下证充分性，不失一般性，可假设f(0)=f'(0)= …=f(n－1)(0)=0。利用引理1得

利用定理1的证明过程可得

重复利用定理1n－1次，可得

定理证毕。

[1]ZHU K．Bloch type spaces of functions[J］．Rocky Mountain J．Math．，1993，23(3):1 143 －1 177．

[2]WULAN H，ZHOU J．The high order derivatives of type spaces[J］．J．Math．Annal．Appl，2007，332(2):1 226－1 228．

[3]RATTYA J．On some complex function spaces and classes[D］．Ann．Acad．Sci．Fenn．Math．，Diss．，2001．

[4]HEdENMALM H，KORENBLUM B，ZHU K．Theory of Bergman spaces[M］．Springer Verlag，New York，2000:7－8．