吴佐慧，廖军，徐行忠，刘合国

（1.湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉430062；2.柳州高级中学，广西 柳州545006）

本文中采用的术语和符号是标准的，按照文献［1－2］.

早期人们认为一切自然问题都可最后归于数学问题，而数学问题又都可以归于代数方程.尽管现在代数学研究的课题是研究各种代数的结构，但求一元高次方程的根在许多实际问题中还是经常碰到的.然而现在中学教学大纲里对这部分的内容可以说基本上没有，而在大学里也不讲，这是令人费解的.

四次和四次以下的一元整式方程都有一般的解法，有各自的求根公式，可见参考文献［1－3］.在文献［1］中，作者给出了三次方程的代数解法，即卡当公式.文献［2－3］中给出了三次方程的三角解法.本文中应用行列式给出三次、四次方程的两种解法.其过程是非常自然的，也是容易理解接受的.

令三次方程的一般形状是f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d＝0（其中b，c，d是常数）.

设x＝y＋h（其中h是待定的常数）代入f（x）中得到

接下来我们将给出三次方程x3＋3ux＋v＝0（其中u，v是常数）的根的求法.

其中ω是三次单位根ω3＝1，两边都取行列式可得

则方程x3－3bcx＋b3＋c3＝0的三根为

所以要求三次方程的根只用确定b，c的值即可.

对于三次方程x3＋3ux＋v＝0（其中u，v是常数）而言，通过比较系数可知则，则原方程的3个根分别为

方法一是通过三阶循环行列式与三次方程根之间的关系来求解的，接下来我们将构造一个特殊的二次方程，进而求出原三次方程的根.

情形1 当u＝0时，则原方程x3＋3ux＋v＝0即为x3＝－v，所以方程的根为

其中ω是三次单位根ω3＝1.

情形2 当u≠0时，令（2）式的Δ＝v2＋4u3.

若Δ＝v2＋4u3＝0，则原方程x3＋3ux＋v＝0可分解为，所以原方程x3＋3ux＋v＝0的根为

若Δ＝v2＋4u3≠0，设（2）式的两不等实根为y1与y2，且满足y2，v＝－y1·y2（y1＋y2），所以原三次方程x3＋3ux＋v＝0为

变形可得

所以原三次方程x3＋3ux＋v＝0的根为

下面将应用行列式的方法继续给出四次方程的求根公式.

令四次方程的一般形状是f（x）＝x4＋bx3＋cx2＋dx＋f＝0（其中b，c，d，f是常数）.

设x＝y＋h（其中h是待定的常数）代入f（x）中得到

φ（y）＝f（y＋h）＝y4＋（4h＋b）y3＋（6h2＋3bh＋c）y2＋（4h3＋3bh2＋2ch＋d）y＋f（h）＝0 （3）选取，则（3）式可化简为φ（y）＝y4＋uy2＋vy＋t的形式，故不失一般性，可令四次方程的一般形状是 x4＋ux2＋vx＋t＝0（其中u，v，t是常数）.

接下来将给出四次方程x4＋ux2＋vx＋t＝0（其中u，v是常数）的根的求法.

解

其中ω是四次单位根ω4＝1，即：ω＝－i.两边都取行列式可得

则方程x4－（2c2＋4bd）x2＋4c（b2＋d2）x＋（c4－b4－d4－4bdc2＋2b2d2）＝0的4个根为

所以要求四次方程的根只用确定b，c，d的值即可（此时假设c≠0，若c＝0则可转化成二次方程求解）.

对于四次方程x4＋ux2＋vx＋t＝0（其中u，v是常数）而言，通过比较系数可得

（4）式是关于c2的三次方程，用本文中前半部分的方法，进而可得其解c0，于是

低阶行列式有着令人叹为观止的应用，譬如：线性方程组、多元一次方程组的解、数列问题、因式分解、解析几何、立体几何等.与数学中那些精妙的思路相比，笔者更偏爱那些能由基础知识与技能构造出来的解法：自然、简洁.

1900年Hilbert D在巴黎国际数学家代表大会上作了题为《数学问题》的著名演讲，他在结尾处指出：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛在一边.数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.”这种真知灼见警醒着每个数学教育工作者.

［1］张远达.浅谈高次方程［M］.武汉：湖北教育出版社，1983.

［2］迪克森.初级方程式论［M］.黄新铎，译.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.

［3］世界著名三角学经典著作钩沉编写组.世界著名三角学经典著作钩沉：平面三角卷（Ⅱ）［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2010.

［4］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数［M］.3版.北京：高等教育出版社，2003.