沈君凤，刘延松

（1.湖北大学计算机与信息工程学院，湖北 武汉430062；2.武汉中原电子集团有限公司，湖北 武汉430205）

0 引言

在信号分析与处理领域，卷积是一个极其重要的内容，卷积分为线性卷积与循环卷积［1］.对于数字（离散）信号，目前计算卷积有几种途径：图解法、竖式法、直接卷积法等.图解法是画出有限或无限长序列，通过其变换叠加而得出结果，其特点是直观明了；竖式法是将两个序列写成竖式相乘的形式，再进行相乘与相加运算，特点是运算简便且不易出错；直接卷积法是套用公式进行卷积计算，其优点是思路清晰［2－3］.

针对循环卷积计算过程复杂的问题，目前也有一些新的算法提出，譬如桂林电子科技大学的陈辉金老师提出的圆周卷积（循环卷积）的竖式法求解分析，该算法简单且不易出错［4］.本文中找出一种更为便捷快速的计算方法，即先通过对位相乘法计算出两个有限长序列的线性卷积，然后通过循环卷积与线性卷积之间的关系，直接求出循环卷积，该方法简单快捷、运算量小.

1 卷积

1.1 线性卷积 线性卷积本质上是多项式系数乘法：设a序列的长度是M，b序列的长度是N，则a序列卷积b序列的长度是M＋N－1.

设x1（n）是N1点的有限长序列，0≤n≤N1－1，x2（n）是N2点的有限长序列，0≤n≤N2－1，则它们的线性卷积为x1（m）的非零区间为0≤m≤N1－1，x2（n－m）的非零区间为0≤n－m≤N2－1，将两个不等式相加，得到

在上述区间外，显然有yl（n）＝0，所以yl（n）是（N1＋N2－1）点有限长序列，其序列长度为参与卷积的两序列的点数之和减1［5－6］.

1.2 循环卷积 设x1（n）和x2（n）都是点数为N 的有限长序列（0≤n≤N－1）［6－8］

2 基于线性卷积的循环卷积求解

2.1 线性卷积与循环卷积比较 给出两个序列x1（n）＝｛1，2，3，4，5｝，0≤n≤4，x2（n）＝｛1，1，1｝，0≤n≤2，如图1所示.

图1 （b） 序列x2（n）

图1 （a） 序列x1（n）

采用对位相乘法计算出两个序列的线性卷积，

得到结果如图2所示.

图2 序列x1（n）和x2（n）的线性卷积结果

图3 （a） 序列x1（n）和x2（n）5点循环卷积的结果

图3 （b） 序列x1（n）和x2（n）6点循环卷积的结果

图3 （c） 序列x1（n）和x2（n）7点循环卷积的结果

图3 （d） 序列x1（n）和x2（n）8点循环卷积的结果

然后依次计算序列x1（n）和x2（n）的5点、6点、7点和8点的循环卷积，得到结果如图3所示.

2.2 线性卷积与循环卷积的关系 研究分析得知，当循环卷积的点数大于或等于两序列的长度和减1时，循环卷积的结果与线性卷积的结果相同，如上述两序列的长度分别为5点和3点，其线性卷积的结果为一个7点的序列，所以7点循环卷积与线性卷积的结果完全一样，而8点循环卷积的结果只需要在线性卷积结果后面补一个零即可；当循环卷积的点数小于两序列的长度和减1时，循环卷积的结果等于线性卷积取循环卷积点数的前几位，其余项与这几项依次叠加，如这两个序列的5点循环卷积，可先将这两个序列的线性卷积结果取前5项，然后将剩余的两项叠加到第一和第二项上，如下式所示：

这两个序列的6点循环卷积则是将它们线性卷积的结果取前6位，然后将剩余的一项叠加到第一项上，如下式所示：

该计算方法只需将两个有限长序列的线性卷积通过对位相乘法求出，然后取值叠加即可，与循环卷积的公式法、图解法、表格法等常用解法相比，运算量极小、速度快、准确率高.

3 Matlab仿真

基于以上原理进行分析，可以设计程序，利用Matlab软件进行仿真［7－11］，实现基于重叠相加法的循环卷积，对提出的循环卷积新求解方法进行验证.

3.1 程序设计思路 已知两个有限长序列

1）编制一个计算两个线性卷积的通用程序，计算x（n）＊h（n）.

2）编制一个计算循环卷积的通用程序，计算上述8点、7点、6点、5点4种情况下两个序列x（n）与h（n）的循环卷积.

3）将仿真结果与预计的结果比较，验证正确性.

仿真结果如图4所示.

3.2 利用线性卷积计算循环卷积 通过以上仿真结果可知，两序列的线性卷积结果是一定的，而其各点的循环卷积是不同的，各点的循环卷积结果和线性卷积的结果有密切的联系.7点的循环卷积与线性卷积的结果一样，6点的循环卷积结果为一个6点序列，其结果为线性卷积结果保留前6位，最后一位叠加到第一位上所得，5点的循环卷积结果为一个5点序列，可以将线性卷积的前5位保留，最后两位叠加到第一项和第二项即可.以上结果表明，可以采用线性卷积的结果来快速计算各点的循环卷积.

图4 线性卷积与循环卷积仿真图

4 结论

利用循环卷积与线性卷积之间的关系，当有限长序列x（n）和h（n）的长度分别为N1和N2，当N＝N1＋N2－1时，循环卷积等于线性卷积；当N＞N1＋N2－1时，线性卷积结果后补上N－N1－N2＋1个零，得到其循环卷积；当N＜N1＋N2－1时，循环卷积等于线性卷积所得结果的圆周叠合累加值.在以上分析中，我们分别在N≥N1＋N2－1和N＜N1＋N2－1的两种不同条件下，分析两个序列的线性卷积与循环卷积各自的结果，对比在两种不同的情况下时，两个序列循环卷积与线性卷积的结果，研究归纳它们的相同点与不同点，总结出两者之间的相对变换关系，结合不同点数的循环卷积，并且经过Matlab软件的仿真实现，验证了采用线性卷积快速求解两个有限长序列的循环卷积的正确性.

［1］程佩青.数字信号处理教程［M］.北京：清华大学出版社，2008.

［2］刘泉，阙大顺，郭志强.数字信号处理［M］.北京：电子工业出版社，2009.

［3］周建兴，岂兴明.MATLAB从入门到精通［M］.北京：人民邮电出版社，2008.

［4］陈辉金，黄喜军.圆周卷积的竖式法求解分析［J］.电气电子教学学报，2012，34（3）：19－20.

［5］黄顺吉.数字信号处理及其应用［M］.北京：国防工业出版社，1982.

［6］邹理和.数字信号处理［M］.北京：国防工业出版社，1985.

［7］陈永彬.数字信号处理［M］.南京：南京工学院出版社，1987.

［8］何振亚.数字信号处理的理论与应用［M］.北京：人民邮电出版社，1983.

［9］王世一.数字信号处理［M］.北京：北京理工大学出版社，1997.

［10］徐金明，张孟喜，丁涛.Matlab实用教程［M］.北京：清华大学出版社，2007.

［11］李正周.MATLAB数字信号处理与应用［M］.北京：清华大学出版社，2008.