孙绍国

(中国电子科技集团公司第三十八研究所 合肥 230031)

0 引言

在雷达、电子对抗、通信及射电天文等领域，为了获得高的目标分辨率，天线孔径相对较大，同时为了减少单元通道，降低成本，往往对天线单元数量有一定的限制。采用均匀布阵方式，由于阵元间距大，往往带来大的栅瓣问题，非均匀稀布阵具有不受栅瓣影响及天线孔径大的优点，通过阵元位置优化，降低天线旁瓣电平，因此常采用阵元非均匀排列的稀布阵方式。考虑阵元间互耦影响及天线单元尺寸的限制，天线单元非均匀稀布，阵元间距应满足一定的约束条件，即不小于某一最小设定值。如何在给定阵元数和阵列孔径时，确定有最小阵元间距约束的非均匀阵列的阵元位置，以抑制栅瓣，降低旁瓣电平，一直未能很好解决，主要是由于非均匀阵元位置优化设计是一个非线性问题，同时对阵元间距必须有一定的约束。针对非均匀稀布阵优化，目前采用的主要方法有统计优化方法［1］、模拟退火法［2］、分数阶勒让德变换方法［3］、遗传算法［4，5］等。但这些方法编程复杂，计算速度慢，调整参数多，计算效果不甚理想。

粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization)通过群体中粒子间的合作与竞争进行优化搜索，该算法可调参数少，简单，收敛速度快，易于实现并且功能强大，近年来被广泛应用于解决天线阵列优化问题［6-8］。本文基于粒子群优化算法，在给定阵列孔径和阵元数条件下，以消除栅瓣，降低旁瓣电平为目标，对有最小阵元间距约束的阵元位置进行优化，通过改进适应度算法，消除了优化过程中的不合格个体，将有最小阵元间距约束的阵元位置优化简化为无约束的优化，结合结构简单、通用有效的粒子群优化算法，优化效果快速、稳定，满足实际工程需要，通过仿真实例，验证了此方法的高效可行性。

1 非均匀稀布阵列优化模型

对于如图1所示的沿x轴排列的天线单元组成的稀布直线阵，给定阵列口径L和单元数N，则其远区辐射场为:

其中dn代表第n个单元的位置;A(n)为单元激励系数，也可作为优化变量，这里A(n)=1，波数k=2π/λ ;λ为波长;θ为俯仰角，且 -π/2≤θ≤π/2。为保持阵列孔径为L，使d1=0，dN=L，其他阵元位置d2，…，dN-1，满足min{di-dj}≥C，其中C为给定的最小阵元间距约束值，1≤j＜i≤N，取阵元位置矢量 d1，d2，…，dN–1，dN，通过优化阵元位置变量，以抑制稀布阵栅瓣，降低旁瓣电平为优化目标， 适 应 度 函 数 定 义 为 ffit(d1，d2，…，dN)=min(F(θ)/Fmax)，式中Fmax为主瓣峰值;θ的取值范围需排除主瓣区域。

图1 非均匀稀布阵列结构

粒子群算法首先初始化一群随机粒子，然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个极值来更新自己。一个是粒子本身找到的最优解，即个体极值。另一个是整个种群找到的最优解，称之为全局极值。粒子在找到上述两个极值后，重新更新自己的速度和位置，新的速度和位置由下式确定:

其中:ω为惯性权重，c1和c2为加速常数，rand1()和rand2()为两个在［0，1］范围内变化的随机函数。通过不断学习更新，最终得到最优解所在的位置，搜索过程结束。对于非均匀阵元位置变量的优化，初始粒子群经过选择判断可以满足阵元最小间距的约束，但经过速度和位置更新后的粒子，将会出现不满足最小间距约束的不合格个体，使得优化搜索结果失去实际意义。通过改进适应度算法，消除优化过程中的不合格个体，可直接利用粒子群算法轻易实现。

2 改进的适应度算法

如图1所示，阵列孔径L上有N个阵元，第1个阵元坐标为0，第N个阵元坐标为L，按最小间距C要求，N个阵元占用阵列空间(N-1)C，因此孔径L上剩余的可用于非均匀布阵的区间为S=L-(N-1)C，在此闭区间内［0，S］，随机生成N-2个随机数并从小到大排序，得到初始粒子群位置X=［x1，x2，…，xN-2］，通过加入间距约束向量［5］P= ［C，2C，…，(N-2)C］，得到孔径上N-2个阵元位置组成的矢量为:

则一个包括N个单元个体的完整的阵元位置矢量为:

显然，由上述方法生成的个体满足了阵元数为N，阵列孔径为L，最小阵元间距约束为C的稀布阵列约束条件，将有个体约束的优化简化为无约束优化问题。按上述分析，这些个体中需要优化的变量为N-2个，由这些个体即可创建种群数为N-2初始群体．初始群体的产生只在区间［0，S］上进行，即随机生成N-2个［0，S］区间上的粒子群体。

3 PSO算法操作流程改进

通过加入间距约束向量，得到新的粒子生成方法，相应的PSO算法操作流程需作局部改进，在优化前和优化后对粒子群预处理，主要包括以下两个方面的操作。

a.在每一次迭代优化操作前，将粒子群体中的每个粒子变量从小到大排序，随后加上间距约束向量，从而使进入优化过程操作的粒子为向量D的个体，向量D中第1个以及第N个变量不参与优化操作，仅对中间的(N-2)个变量进行优化操作。

b．各粒子经历每一次的优化更新后，如果有某些粒子的位置超出［0，S］区间，应将该粒子的速度向量反向后重新更新，就像对粒子设置一隔离墙，碰墙后弹回，保证搜索在［0，S］区间进行，优化过程中，第1个变量的值始终为0，第N个变量的值始终为L，中间N-2个优化变量值依次增大。

通过以上操作改进，消除了优化过程中的不合格粒子，可采用常规PSO工作流程进行优化，具体流程为:

a.在区间［0，S］初始化一群粒子，包括粒子起始位置和速度;

b.对粒子群预处理操作;

c.计算每个粒子的适应度值;

d.对每个粒子，将其适应度值与其经历过的最好位置p_best作比较，如果好于后者，则将此时的适应度值替代原位置;

e.对每个粒子，将其适应度值与全局所经历的最好位置g_best作比较，如果好于后者，则重新替代;

f.根据方程(2)、(3)更新粒子的速度和位置;

g.如果满足结束条件(产生足够好的适应度值或达到预设最大代数)，程序终止，否则跳转到步骤b。

4 仿真实例

例1阵元数为16的直线阵列，孔径长为36λ，考虑阵元尺寸限制，阵元间距约束为C≥0.5λ，如果按照阵元均匀分布排列，阵元间距为2.4λ，主瓣波束宽度1.32°，其远场方向图出现多个栅瓣，如图2所示。

图2 阵元均匀分布阵列远场仿真波瓣

运用本文优化算法综合阵列，设基本参数为:粒子群规模60，终止迭代数为500，加速常数c1=c2=2，初始群体生成采用均匀分布随机数生成器。进行5次优化运算，最差和最优副瓣电平分别为-10.4dB，-11.22dB，优化后的最优阵元位置为:0，1.83，4.59，9.61，10.44，11.35，12.29，13.28，14.1，15.0，17.64，18.5，21.34，24.97，30.16，36.0(单位为λ)。图3为最优值和最差值收敛曲线，数值结果好，效率高。优化后远场方向图如图4所示，可见完全抑制了栅瓣，主瓣波束宽度略有展宽为1.61°，相邻阵元间距如图5，满足阵列孔径及阵元间距的约束条件。

图3 多次优化收敛曲线

图4 优化后阵元非均匀分布阵列远场仿真波瓣

图5 优化后相邻阵元间距值

例2阵元数为33直线阵列，孔径长为20.48λ，阵元间距约束为C≥0.5λ，对于等幅同相激励，阵元位置均匀分布排列时，阵元间距为0.64λ，最大旁瓣电平为-13.2dB，运用本文优化算法，以降低最大旁瓣电平为目标，优化参数同上，同样进行5次优化运算，最差和最优峰值副瓣电平分别为-22.1dB，-22.6dB，一致性好，运行速度快，优化效果好。优化后的最优阵元位置为:0，0.81，2.04，2.65，3.52，4.29，4.83，5.41，5.99，6.55，7.08，7.61，8.13，8.64，9.14，9.64，10.14，10.64，11.14，11.64，12.14，12.64，13.14，13.64，14.16，14.7，15.3，15.97，16.68，17.33，18.9，19.67，20.48(单位为 λ)。图6为最优值和最差值收敛曲线。优化后远场方向图如图7所示，波瓣宽度展宽约0.2°，相邻阵元间距如图8所示。可见，运用本文方法可方便实现在一定孔径内，任意阵元数，任意间距约束的阵元位置优化综合。

图6 多次优化收敛曲线

图7 优化后阵元非均匀分布阵列远场仿真波瓣

5 结论

图8 优化后相邻阵元间距值

本文以抑制栅瓣，降低旁瓣电平为目标，基于粒子群优化算法，给出了有阵列孔径、单元数和最小间距约束的非均匀稀布阵列综合方法，同在规则栅格位置的稀疏阵列相比，具有更大的自由度和实用性，可更大程度地满足工程设计的需要，仿真分析表明，该方法快速、高效，数值结果好，下一步将应用到非均匀平面阵列的稀布综合中。

［1］Mailloux R J and Cohen E.Statically thinned arrays with quantized element weights［J］.IEEE Trans.On Antennas Propagation，1991，39(4):436-447.

［2］Murino V，Trucco A，and Regazzoni C S.Synthesis of unequally spaced arrays by simulated annealing［J］.IEEE Trans.On Antennas Signal Processing，1996，44(1):119-123.

［3］Kumar B.P.，Branner G.R..Generalized Analytical Technique for the Synthesis of Unequally Spaced Arrays with Linear，Planar，Cylindrical or Spherical Geometry［J］. IEEE Trans.on Antenna and Propagation，2005，53(2):621-634.

［4］张子敬，赵永波，焦李成.阵列天线的遗传优化［J］.电子科学学刊，2000，22(1):174-176.

［5］Chen Kesong，He Zishu，Han Chunlin.A Modified Real GA for the Sparse Linear Array Synthesis with Multiple Constraints［J］.IEEE Trans.on Antennas Propagation，2006，54(7):2169-2173.

［6］Khodier M.M.，Christodoulou C.G.Linear Array Geometry Synthesis with Minimum Sidelobe Level and Null Control Using Particle Swarm Optimization［J］.IEEE Trans.on Antennas and Propagation，2005，53(8):2674-2679.

［7］陆鹏程，徐海州，徐晋，等.稀布阵综合脉冲孔径雷达阵列优化设计［J］.雷达科学与技术，2008，6(4):243-246.

［8］焦永昌，杨科，陈胜兵，张福顺.粒子群优化算法用于阵列天线方向图综合设计［J］.电波科学学报，2006，21(1):16-20.