王晓东，郑文忠，王 英（1.结构工程灾变与控制教育部重点实验室（哈尔滨工业大学），150090哈尔滨；2.哈尔滨工业大学土木工程学院，150090哈尔滨；3.哈尔滨理工大学建筑工程学院，150001哈尔滨）

柱支承无粘结预应力混凝土双向板内力重分布

王晓东1，2，3，郑文忠1，2，王 英1，2
（1.结构工程灾变与控制教育部重点实验室（哈尔滨工业大学），150090哈尔滨；
2.哈尔滨工业大学土木工程学院，150090哈尔滨；3.哈尔滨理工大学建筑工程学院，150001哈尔滨）

为了研究柱支承预应力混凝土双向板中无粘结筋应力增长规律及弯矩调幅设计方法，采用ABAQUS大型有限元软件建立了柱支承无粘结预应力混凝土双向板的有限元分析模型.通过将双向板划分为柱上板带和跨中板带，分别考察了综合配筋指标和非预应力筋屈服强度对无粘结筋应力增量及支座控制截面弯矩调幅系数的影响规律.分析结果表明:在综合配筋指标和预应力度一定的条件下，正常使用阶段和承载能力极限状态无粘结筋应力增量随非预应力筋屈服强度的提高而增大，而支座控制截面的弯矩调幅系数随非预应力筋屈服强度的提高而减小.建立了以综合配筋指标和非预应力筋屈服强度为自变量的柱支承预应力混凝土双向板中无粘结筋应力增量和弯矩调幅系数计算公式.

预应力混凝土；柱支承板；有限元；无粘结筋应力增量；弯矩调幅系数

混凝土板-柱结构是房屋建筑常用的结构形式之一，而无粘结预应力的应用大大改善了结构的使用性能，使无粘结预应力混凝土板-柱结构得到了广泛应用.但由于复杂的受力机理使得该结构的精确分析变得极为困难，而ANSYS、ABAQUS等大型有限元软件以其较高的计算精度及庞大的数据处理能力使得这些问题有望得以解决.但由于这些有限元软件进入土木工程领域相对较晚，以及无粘结预应力混凝土柱支承双向板的自身特点使之在有限元分析过程中收敛性难以保证等原因，国内外此方面的研究成果还极为有限［1-4］.本文通过对无粘结筋与其周围混凝土相互作用的等效处理，建立了无粘结预应力混凝土柱支承双向板的有限元模型.通过模型分析结果，建立了正常使用极限状态及承载能力极限状态下柱支承预应力混凝土双向板柱上板带和跨中板带中无粘结筋应力增量计算公式，建立了承载能力极限状态下柱支承无粘结预应力混凝土双向板支座控制截面弯矩调幅系数的计算公式，并提出了弯矩调幅设计方法.

1 有限元模型的建立

ABAQUS有限元软件是一种先进的通用有限元程序系统，可解决从简单的线性分析到较为复杂的非线性问题，具有Standard和Explicit两个分析模块［5-7］.本文利用Standard分析模块对预应力混凝土结构的塑性性能进行有限元分析.

1.1 单元选择

采用8节点六面体线性减缩积分单元“C3D8R”来模拟混凝土板，该单元具有位移结果精确的优点.为防止产生沙漏，沿板厚方向划分4个单元.非预应力筋和无粘结筋采用桁架单元“T3D2”模拟，该单元为在空间中只能承受拉伸和压缩荷载作用的线状构件.

1.2 材料本构关系

1.2.1 混凝土本构模型

国内外学者提出了多种考虑混凝土塑性性能的本构模型，本文在ABAQUS分析中对混凝土采用可考虑材料拉压性能的损伤塑性模型.该模型可模拟损伤引起的不可恢复的材料退化［8］.

对于单轴向混凝土本构模型，本文采用文献［9］提出的混凝土单轴受拉和受压应力-应变曲线.

混凝土单轴受压应力-应变关系表达式为

式中：fc为混凝土的单轴抗压强度；εc为与fc相应的混凝土峰值压应变；αa、αd分别为单轴受压应力-应变曲线上升段、下降段的参数值［9］．

混凝土单轴受拉时应力-应变关系表达式为

式中：ft为混凝土单轴抗拉强度；εt为与ft相应的混凝土峰值拉应变；αt为单轴受拉下降段参数值［10-11］．

在混凝土损伤塑性模型中，采用了塑性势面与屈服面不同的不相关联的流动法则，塑性势面采用文献［12］提出的静水压力面G为

式中：ζ为偏心率，表示塑性势面与其渐近线接近程度的参数；σt0为混凝土的单轴抗拉强度；ψ为¯p-¯q应力平面中的膨胀角；¯q、¯p分别为等效米泽斯应力和静水压力．

1.2.2 预应力筋与非预应力筋本构模型

非预应力筋采用图1所示的理想弹塑性本构模型，预应力筋本构关系采用三折线模型.

图1 钢材的本构关系

1.3 有限元模型的建立过程

有限元模型采用九柱四区格柱支承无粘结预应力混凝土双向板，其中混凝土双向板及混凝土柱均采用8节点六面体线性减缩积分单元模拟，预应力筋及非预应力筋采用桁架单元“T3D2”模拟.无粘结筋与其周围混凝土的可相对滑动特点通过沿预应力筋全长在无粘结筋和混凝土节点间设置多个刚性Springa弹簧来模拟，.而非预应力筋与混凝土的粘结作用通过Embed命令将两者的节点进行耦合［13］.

2 模型验证

2.1 无粘结预应力混凝土平板-柱试验

陶学康等［14］进行了无粘结预应力混凝土九柱四板的试验研究.该无粘结预应力混凝土九柱四板试验模型单跨跨度为3 m，板厚80 mm.混凝土板中采用φ6.5的非预应力筋，抗拉强度标准值fyk= 265 N／mm2；预应力筋采用fptk=1 575 N／mm2的钢绞线.混凝土立方体抗压强度实测平均值为28 N／mm2，板的平均预压应力约18 N／mm2.

2.2 试验结果分析

本文方法所计算的九柱板格板跨中的荷载-变形曲线的仿真分析与模型试验结果对比见图2.由图2可知，板中心变形计算值与试验值吻合较好，说明本文建立的有限元模型具有一定的计算精度.

图2 板中心变形的试验值与计算值对比

3 双向板参数设计

3.1 荷载确定

3.1.1 恒载

本文无粘结预应力混凝土双向板设计中所考虑的恒荷载见表1.3.1.2 活载

表1 恒载统计

参见GB5009—2012《建筑结构荷载规范》中表4.1.1，可以发现活荷载标准值在2～5 kN／m2范围分布最多.因此从适应实际工程应用考虑出发，四边支承无粘结预应力混凝土双向板的模型设计均考虑了活荷载分别为2、3、4、5 kN／m2时的情况.

3.2 板厚确定

根据实际工程经验，无粘结预应力混凝土双向板的跨度一般在7～10 m范围内，故本文设计的双向板模型中，板的跨度有7、8、9、10 m共4种类型.每种跨度下的板厚可由最小高跨比确定，应满足：

式中l1为板的短边跨长．

3.3 混凝土及钢筋材料的确定

各双向板模型中预应力筋采用抗拉强度标准值fptk=1 860 N／mm2的φs15无粘结预应力钢丝，混凝土强度等级为C40（μfcu=49.8 N／mm2），弹性模量Ec=3.25×104N／mm2.

对于非预应力筋，根据中国近年颁布的GB 50010—2010《混凝土结构设计规范》及GB1499.2—2007《钢筋混凝土用热轧带肋钢筋》国家标准，将双向板的模型设计考虑了非预应力筋钢种分别为HPB300、HRB335、HRB400、HRB500、HRB600时的情况.

3.4 双向板模型设计

本文建立的柱支承无粘结预应力混凝土双向板中无粘结筋采用中国常用的布筋形式，在柱上板带配置65%的无粘结预应力筋，其余预应力筋分布在跨中板带内.

4 无粘结筋应力增量计算

4.1 无粘结筋应力增量计算方法

预应力混凝土双向板内力的复杂性与多样性将对无粘结筋应力增量的分析结果产生一定的误差［15-17］.本文将通过无粘结筋在双向板受荷后的整体变形求得其应力增量值.

4.2 正常使用阶段无粘结筋应力计算

在查阅相关资料的基础上并考虑到与预应力混凝土梁中无粘结筋应力增量计算公式相协调，在这里以单位板带综合配筋指标β0做为影响无粘结筋应力增量的主要参数进行分析［18］.

4.2.1 柱上板带无粘结筋应力增量计算

以双向板控制截面非预应力筋受拉屈服做为正常使用极限状态的标志，基于有限元模型分析结果，可得到柱上板带中无粘结筋在正常使用极限状态下的应力增量Δσpyz随综合配筋指标β0变化关系．以配有HRB400级非预应力筋的柱支承双向板为基础，β0-Δσpyz计算结果见图3．

图3 Δσpyz与β0的拟合曲线

由图3可知，随着β0的增大，无粘结筋应力增量呈上升趋势．取图3中数据点的下包线作为非预应力筋为HRB400的柱支承双向板在正常使用极限状态下无粘结筋应力增量ΔσpyzHRB400的公式拟合曲线，则

令μpyz为在柱上板带单位板宽的综合配筋指标β0等基本参数相同的情况下分别配有HPB300、HRB335、HRB500和HRB600非预应力筋的柱上板带与配有HRB400非预应力筋的柱上板带在正常使用极限状态下无粘结筋应力增量的比值.则根据有限元模拟计算结果，可得到与非预应力筋抗拉屈服强度fy对应的μpyz关系图，见图4.

图4 μpyz与fy关系

由图4可知，不同非预应力筋钢种对柱支承双向板正常使用极限状态无粘结筋应力增量的影响较为明显，且随着非预应力筋强度等级的提高无粘结筋应力增量有所提高.取图4中数据点的下包线作为非预应力筋钢种影响系数μpyz的方程曲线，则

则配置任一非预应力筋钢种的柱支承双向板柱上板带无粘结筋在正常使用极限状态下的应力增量Δσpyz为

4.2.2 跨中板带无粘结筋应力增量计算

以配有HRB400级非预应力筋的柱支承双向板为基础，其跨中板带中无粘结筋在正常使用极限状态下的应力增量Δσpym随综合配筋指标β0的变化关系见图5．

图5 Δσpym与β0的拟合曲线

由图5可知，随着β0的增大，无粘结筋应力增量呈上升趋势．取图5中数据点的下包线作为非预应力筋为HRB400的柱支承双向板在正常使用极限状态下无粘结筋应力增量ΔσpymHRB400的公式拟合曲线，则

为考虑非预应力筋钢种对无粘结筋应力增量的影响，令μpym为跨中板带单位板宽的综合配筋指标β0等基本参数相同的情况下分别配有HPB300、HRB335、HRB500和HRB600非预应力筋的跨中板带与配有HRB400非预应力筋的跨中板带在正常使用极限状态下无粘结筋应力增量的比值.则根据有限元模拟计算结果，可得到与非预应力筋抗拉屈服强度fy对应的μpym关系图，见图6．

图6 μpym与fy关系

由图6可知，不同非预应力筋钢种对柱支承双向板正常使用极限状态无粘结筋应力增量的影响较为明显，且随着非预应力筋强度等级的提高无粘结筋应力增量有所提高.取图6中数据点的下包线作为非预应力筋钢种影响系数μpym的方程曲线，则

则配置任一非预应力筋钢种的柱支承双向板柱上板带无粘结筋在正常使用极限状态下的应力增量Δσpym为

4.3 承载能力极限状态无粘结筋应力计算

4.3.1 柱上板带无粘结筋应力增量计算

以控制截面受压区外边缘混凝达到极限压应变作为柱支承双向板的承载能力极限状态的标志，基于仿真结果，可得到柱上板带中无粘结筋在承载能力极限状态下的应力增量Δσpuz随综合配筋指标β0的变化关系．以配有HRB400级非预应力筋的双向板模型计算结果为基础，其柱上板带在承载能力极限状态下的β0-Δσpuz计算结果见图7．

由图7可知，在承载极限状态下，随着柱上板带β0的增大，无粘结筋应力增量呈下降趋势，这是由于随着综合配筋指标的增加，双向板的塑性转动能力也随之降低．取图7中数据点的下包线作为非预应力筋配筋为HRB400的柱支承预应力混凝土双向板中无粘结筋应力增量ΔσpuzHRB400的公式拟合曲线，则

图7 Δσpuz与β0的拟合曲线

令μpuz为在单位板宽综合配筋指标等基本参数相同的情况下分别配有HPB300、HRB335、HRB500和HRB600非预应力筋的柱上板带与配有HRB400非预应力筋的柱上板带在承载能力极限状态下无粘结筋应力增量的比值.则根据有限元模拟计算结果，可得到与非预应力筋抗拉屈服强度fy对应的μpuz关系图，见图8.

图8 μpuz与fy关系

由图8可知，不同非预应力筋钢种对柱上板带影响系数μpuz产生影响，随着非预应力筋强度等级的提高μpuz有所提高．取图8中数据点的下包线作为非预应力筋钢种影响系数μpuz的方程曲线，则

结合式（8）、（9），并仿照中国JGJ92—2004《无粘结预应力混凝土结构技术规程》修订稿中考虑预应力混凝土连续梁加载跨数对无粘结筋极限应力增量影响的方法，在承载使用极限状态下，配置任一非预应力筋钢种的柱上板带无粘结筋应力增量Δσpuz为

式中：lz1为两锚固端间无粘结预应力筋总长；lz2为与lz1相关的由活荷载最不利布置图确定的荷载跨长度之和．

4.3.2 跨中板带无粘结筋应力增量计算

基于仿真结果，得到跨中板带中无粘结筋在承载能力极限状态下的应力增量Δσpum随综合配筋指标β0的变化关系．以配有HRB400级非预应力筋的双向板模型计算结果为基础，其跨中板带在承载能力极限状态下的β0-Δσpum计算结果见图9．

图9 Δσpum与β0的拟合曲线

由图9可知，在承载极限状态下，随着跨中板带β0的增大，无粘结筋应力增量呈下降趋势，这是由于随着综合配筋指标的增加，双向板的塑性转动能力也随之降低.取图9中数据点的下包线作为非预应力筋配筋为HRB400的跨中板带无粘结筋应力增量ΔσpumHRB400的公式拟合曲线，得

令μpum为在单位板宽综合配筋指标等基本参数相同的情况下分别配有HPB300、HRB335、HRB500和HRB600非预应力筋的跨中板带与配有HRB400非预应力筋的跨中板带在承载能力极限状态下无粘结筋应力增量的比值.则根据有限元模拟计算结果，可得到与非预应力筋抗拉屈服强度fy对应的μpum关系图，见图10．

图10 μpum与fy关系

由图10可知，不同非预应力筋钢种对跨中板带影响系数μpum产生影响，随着非预应力筋强度等级的提高μpum有所提高．取图10中数据点的下包线作为非预应力筋钢种影响系数μpum的方程曲线，则

仿效式（10），在承载使用极限状态下，配置任一非预应力筋钢种的跨中板带无粘结筋应力增量Δσpu为

5.1 参数分析

5.1.1 跨高比的影响

由于柱支承无粘结预应力混凝土双向板的常用跨高比范围为1／40～1／45，相差不大，且经分析在此范围内跨高比对预应力混凝土双向板弯矩调幅影响不大，因此暂不考虑跨高比的影响.

5.1.2 综合配筋指标的影响

根据有限元分析结果，得到图11所示的等代框架梁支座控制截面弯矩调幅系数α随综合配筋指标β0变化的关系图．从图11可知，随着综合配筋指标β0的增加弯矩调幅系数α随之减小．双向板调幅幅度大约在0.1～0.35，因此若将弯矩调幅系数α取为常值将产生一定的误差．

图11 α与β0关系

5.1.3 预应力度的影响

为进一步考察在综合配筋指标一定的情况下预应力度λ对弯矩调幅系数的影响，对原无粘结预应力混凝土柱支承双向板模型中的预应力筋与非预应力筋用量进行了调整，使之在综合配筋指标β0不变的情况下，将预应力度分别控制在0.5、0.6、0.7、0.8四个等级进行分析．不同综合配筋指标β0下双向板支座截面弯矩调幅系数α随λ的变化曲线见图12．可看出，在β0相同的情况下改变预应力度对双向板弯矩调幅影响不大．虽然预应力度的增加导致弯矩调幅系数变小，但总体上弯矩调幅系数α变化不明显，因此在弯矩调幅系数计算公式中不计入预应力度的影响．

图12 α与λ关系

5 双向板内力重分布设计

5.1.4 非预应力筋钢种的影响

令μsz为在单位板跨综合配筋指标等基本参数相同的情况下分别配有HPB300、HRB335、HRB500和HRB600级非预应力筋的双向板与配有HRB400级非预应力筋的双向板弯矩调幅系数的比值.则根据有限元模拟计算结果，可得到与非预应力筋抗拉屈服强度fy对应的μsz关系曲线见图13．不同非预应力筋钢种对弯矩调幅系数α的影响较为明显，且随着非预应力筋强度等级的提高呈下降趋势．

图13 μsz与fy关系

5.2 弯矩调幅系数计算公式的建立

综上所述，影响无粘结预应力混凝土双向板弯矩调幅系数的主要参数应为综合配筋指标β0和非预应力筋钢种.以配有HRB400级非预应力筋的柱支承无粘结预应力混凝土双向板弯矩调幅系数αzHRB400的函数表达式做为基本公式，由图11可得αzHRB400函数表达式（14）.这里需要指出，考虑到若调幅过高将造成双向板产生过度塑性变形，难以保证正常使用阶段的挠度及裂缝宽度限制要求，因此建议最大调幅幅度为0.30.

对配有任一强度等级非预应力筋的柱支承无粘结预应力混凝土双向板弯矩调幅系数α可表达为非预应力筋钢种影响系数μsz与基本计算式αzHRB400的乘积形式：

取图13中数据的下包线作为非预应力筋钢种影响系数μsz的方程曲线：

6 结 论

1）九柱四板格ABAQUS有限元模型分析结果表明：在综合配筋指标和预应力度一定的条件下，正常使用阶段和承载能力极限状态无粘结筋应力增量随非预应力筋屈服强度的提高而增大，而支座控制截面的弯矩调幅系数随非预应力筋屈服强度的提高而减小.

2）建立了正常使用阶段和承载能力极限状态下柱支承预应力混凝土双向板柱上板带和跨中板带无粘结筋应力增量公式.

3）建立了柱支承无粘结预应力混凝土双向板等效框架板带支座控制截面弯矩调幅系数计算公式.

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（编辑 赵丽莹）

Internal force redistribution of unbonded prestressed concrete flat plates

WANG Xiaodong1，2，3，ZHENGWenzhong1，2，WANG Ying1，2
（1.Key Lab of Structures Dynamic Behavior and Control（Harbin Institute of Technology），Ministry of Education，150090 Harbin，China；2.School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，150090 Harbin，China；3.School of Civil Engineering，Harbin University of Science and Technology，150001 Harbin，China）

To explore the rule of stress increment in unbonded tendons and design method of moment redistribution，the finite element was modeled by ABAQUS soft-ware for unbonded prestressed concrete flat plates.The plateswere divided into the column strips and the middle ones.Stress increment in tendons and moment redistribution coefficient of unbonded prestressed concrete flat plates were studied，which are influenced by the combined reinforcement index and grade of non-prestressing reinforcement.It is shown that the stress increment in tendons increases at the serviceability and ultimate limit states and moment redistribution coefficient in critical section of support reduceswith the higher yield strength of non-prestressing reinforcements in flat plates.Then expressions of stress increment in tendons and moment redistribution coefficient in prestressed concrete flat plateswere developed，in which the combined reinforcement index and grade of non-prestressing reinforcementwere considered.

prestressed concrete；flat plate；finite element；stress increment in tendon；moment redistribution coefficient

TU378.1

A

0367-6234（2014）12-0001-07

2014-04-11.

国家自然科学基金资助（51378146）；国家教育部长江学者奖励计划（2009-37）；教育部博士点基金（20132302110064）.

王晓东（1979—）男，博士研究生；郑文忠（1965—）男，博士生导师，长江学者特聘教授.

郑文忠，hitwzzheng＠163.com.