孙 锦，李国林，许 诚

（海军航空工程学院，山东 烟台 264001）

小子样条件下导弹靶场试验综合评定方法*

孙 锦，李国林，许 诚

（海军航空工程学院，山东 烟台 264001）

针对导弹靶场试验中的小子样问题，分析了自助法和随机加权法，并对自助法中再生子样较为集中的不足进行了改进。通过仿真比较得出，改进后的自助法具有更好的评定特性。

小子样，靶场试验，自助法，随机加权法

引言

试验鉴定与定型是导弹武器系统研制中重要的一环，利用导弹武器系统在鉴定与定型试验（包括地面试验、仿真试验、飞行试验）中获取内部参数和飞行弹道等必要的信息，运用统计分析方法，来评定导弹武器系统的战术技术指标和性能参数，据此来判断工业部门产品是否研制成功，是否达到了军方要求，并被认可，从而可以投入到批量生产［1］。随着高科技的迅猛发展，导弹的战术技术性能越趋复杂，如何利用有限的试验弹数和试验条件来考核导弹武器系统的战术技术性能和作战效能，是当前导弹试验靶场面临的一大难题。为了解决上述问题，需开展导弹靶场综合试验与评定方法研究。

本文通过分析某型导弹靶场试验的现场观测样本，建立了自助法、改进自助法和随机加权法：3种基于现场信息的小子样综合评定模型。最后运用仿真手段，分析比较了这3种评定方法，给出一些有益的工程应用建议。

1 Bootstrap法模型

1.1 Bootstrap法原理

设某型导弹靶场试验现场观测样本X={x1，x2，…，xn}来自未知的总体分布，令θ=θ（F）是总体分布F的某个参数（如均值、方差等），Fn是样本X={x1，x2，…，xn}的经验分布θ=（F）是θ的估计，记估计误差为：

对于每个，可以计算出的估计值，记为θ（j）（F），即

1.2 再生子样产生方法

原始样本的累积经验分布函数如下所示［5］：

产生服从该经验分布函数的随机样本仿真步骤如下：

Step1：产生随机数γ（在［0，1］区间上服从均匀分布）；

Step4：重复n次执行Step1～Step3，就可以得到n个数据，即为所需要的样本量为n的再生子样。其中n一般取为现场观测样本的样本量。

2 改进Bootstrap法模型

运用自助法模型所得结果欠佳的原因是：观测样本中的最小值和最大值与实际数据的最小值和最大值不一定一致，所以问题的关键是如何找到实际数据的最小值和最大值。由于最大值和最小值不可能准确知道，因此，可以通过专家估计法获得这两个极值的近似估计值。

3 Bayes Bootstrap法模型

Step3：计算分布参数的估计值

如果知道现场观测子样的分布类型，则Step3中的公式简化为：

然后根据N个μ的估计值计μ（j），作直方图，从而得到分布密度函数，也就可计算出参数的估计值。

4 仿真分析

4.1 仿真设计

首先设定仿真参数以产生一组一定样本量的随机数据作为样本，然后依据前面给出的自助法、改进自助法和随机加权法的计算模型，分别对样本进行分析计算，可以得出3种模型下样本的参数估计值。将参数的估计值与设定参数值进行比较，模型较优则估计的参数误差较小。仿真流程如下页图1所示。

图1 小子样评估的仿真流程图

4.2 仿真计算过程

依据仿真流程，结合3种评估方法的计算模型，经过多次仿真计算发现，仿真1 000次时平均估计误差已趋于稳定。因此，设定最大仿真次数为1 000。下面以一次仿真为例来说明仿真计算过程。

在设定参数之后，抽样产生一组样本量为10的现场观测数据：45.813，49.663，71.732，62.443，43.087，61.994，55.396，55.599，38.684，39.964。下面分别采用3种评估方法对此样本数据进行计算。

4.2.1 自助法

根据前面分析，用自助法模型评估首先需要获得一定数量的再生子样。依据1.2节中的再生子样产生步骤，可得到所需的再生子样。将获得的所有再生子样分别代入式（3）和式（4）中，可以得到不同再生子样，运用自助法计算出的均值估计值。限于篇幅，表1给出其中8个再生子样，以及对应的估计值。

表1 自助法产生的部分（8个）再生子样

4.2.2 改进自助法

改进自助法与自助法的主要区别是，加入了新的信息，对观测样本进行了修正。因此，只需对原始现场观测样本进行修改，其他计算与自助法相同。

根据第2节中的比较原则，与现场观测样本进行比较，得出改进自助法所需的评估样本：20.000，45.813，49.663，71.732，62.443，43.087，61.994，55.396，55.59 9，38.684，39.964，80.000。

依据式（5）抽样产生10 000个再生子样，然后分别代入式（3）和式（4）中，计算出不同再生子样下均值的估计值。表2给出其中8个再生子样，及其对应的估计值。

表2 改进自助法产生的部分（8个）再生子样

4.2.3 随机加权法

随机加权法评估的第一步是产生服从Dirichlet分布的随机向量组。根据第3节中的产生方法，通过编程计算就可以产生所需的Dirichlet随机向量，然后代入式（6）和式（8），得出对应随机向量下的参数估计值。这里获得的Dirichlet随机向量也具有随机性，为消除随机性的影响，也取10 000个随机向量。限于篇幅，下页表3给出其中8个随机向量，以及对应的估计值。

表3 随机加权法产生的部分（8个）再生子样

综合以上计算，对观测样本{45.813，49.663，71.732，62.443，43.087，61.994，55.396，55.599，38.684，39.96 4}分别采用3种方法的评定结果如表4所示。

表4 某一样本的评定结果

以上只进行了一次抽样样本的仿真评估，需循环执行以完成设定次数的仿真计算。限于篇幅，表5给出其中8个样本的评定结果。

4.3 较小子样仿真结果及分析

仿真结束后，可以得到1 000个现场观测样本的评定结果。为了便于分析，取所有均值估计误差的平均值和均值方差的平均值。结果如表6所示。

由表6可知，改进自助法平均误差最小，这说明改进自助法估计的均值较为准确。而从计算出的均值方差来看，改进自助法的方差最大，自助法的最小，表明改进自助法估计的均值散布较大，精度相对较低。图2和图3分别表示前30次仿真得到的均值误差和均值方差的分布图。

表5 多个样本的评定结果

表6 样本量为10个时的仿真结果

图2和图3可以看出，改进自助法的均值误差最小而方差最大，证明该方法具有较好的稳定性；随机加权法的均值误差和均值方差基本介于自助法与改进自助法之间。

图2 样本量为10个时的前30次仿真结果（均值误差）

图3 样本量为10个时的前30次仿真结果（均值方差）

通过以上分析可知：在某型导弹靶场试验小子样数据分析评定中，若已知样本参数的最小值和最大值，则优先选用改进自助法，其次选用随机加权法。

4.4 较大子样仿真结果及分析

为了验证3种评定方法在较大子样情况下的评定结果如何，本文又对样本量为20和30两种情况进行仿真，结果见表7所示。

表7 较大子样情况下的仿真结果

从表7中可以看出，样本量较大时的两种情况，均值的估计误差都很小，而且误差接近，均值方差也相差很小。改进自助法仍有一点优势，但3种方法的评估结果相差很小，都具有较高的准确性和评估精度。

图4、图5分别为样本量为20时，前30次仿真所得到的均值误差和均值方差的分布图。图6、图7分别为样本量为30时，前30次仿真所得到的均值误差和均值方差的分布图。从图中也可以分析得出，每次仿真所得的均值误差和均值方差都趋于一致，并且3种方法评定结果的差异随着样本量的增加而减小。

图4 样本量为20个时的前30次仿真结果（均值误差）

图5 样本量为20个时的前30次仿真结果（均值方差）

图6 样本量为30个时的前30次仿真结果（均值误差）

图7 样本量为30个时的前30次仿真结果（均值方差）

综合以上计算分析，在某型导弹靶场试验小子样数据综合评定中，改进自助法具有更高的准确性，但是均值的散布相对较大。也正因如此，其评定结果更能反映试验数据的实际情况，而自助法和随机加权法的评定结果相对过于乐观。随着样本量的增加，3种方法的评估结果都很接近，而且都具有较高的准确性和精度。

5 结束语

本文通过分析某型导弹靶场试验的现场观测样本，建立了自助法、改进自助法和随机加权法3种基于现场信息的小子样评定模型。最后运用仿真手段，分析比较了这3种评估方法。从仿真分析中得出，改进自助法具有更高的准确性，但是如果不能收集到改进自助法所需的信息时，随机加权法也能得出较好的评估结果。然而，随着数据样本量的逐渐增大，3种方法的评估结果越来越接近。

总之，在小子样条件下某型导弹靶场试验数据综合评定的工程应用中，要选择符合实际情况的评定方法。若可以准确估计出观测样本中的最小值和最大值，则采用本文提出的改进自助法模型，否则采用随机加权法模型。

［1］蔡 洪，张士峰，张金槐.Bayes试验分析与评估［M］.长沙：国防科技大学出版社，2004.

［2］Efro B，Tibshirani R J.An Introduction to the Bootstrap［M］. London：Chapman and Hall，1993.

［3］张金槐.多种验前信息源情况下的融合验后分布［J］.飞行器测控技术，1998，17（3）：28-35.

［4］张湘平，张金槐，谢红卫，等.基于随机加权法的BAYES精度评定［J］.国防科技大学学报，2001，23（3）：98-102.

［5］肖 刚，李天柁.系统可靠性分析中的蒙特卡罗方法［M］.北京：科学出版社，2003.

［6］刘 建，吴 翊，谭 璐.对Bootstrap方法的自助抽样的改进［J］.数学理论与应用，2006，26（1）：69-72.

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［8］唐雪梅，张金槐，邵风昌，等.武器装备小子样试验分析与评估［M］.北京：国防工业出版社，2001.

Research on Method of Missile Synthetical Assessment in Range Trial in the Case of Small Sample

SUN Jin，LI Guo-lin，XU Cheng
（Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，China）

Bootstrap and Bayesian Bootstrap are given to solve the missile in range trial problem in the small sample circumstance，and improved Bootstrap is put forward because the regenerate samples in Bootstrap is too concentrated.By simulation，it's found that the improved Bootstrap suits small sample maintainability assessment better.

small sample，range trial，bootstrap method，bayesian bootstrap method

TJ76

A

1002-0640（2014）09-0179-05

2013-06-05

2013-09-01

国家部委重点基金资助项目（2010214019）

孙 锦（1985- ），男，河南商丘人，博士研究生。研究方向：武器系统与运用工程。