高兴佑

（曲靖师范学院经济与管理学院，云南曲靖 655011）

两厂商n元市场三度价格歧视的纳什均衡

高兴佑

（曲靖师范学院经济与管理学院，云南曲靖 655011）

对两寡头厂商n元市场用完全信息静态博弈的方法分析了实施三度价格歧视情形和统一定价情形的均衡产量，均衡价格和均衡总收益，并研究了这两种情形三个指标之间的关系。结果显示，在两个子市场的需求函数为线性需求的条件下，统一定价的市场均衡产量等于歧视定价的市场均衡产量；统一定价的均衡价格是歧视定价时n个子市场均衡价格的加权平均；统一定价的市场均衡总收益小于歧视定价的市场均衡总收益。

寡头垄断市场；三度价格歧视；完全信息静态博弈；纳什均衡；古诺模型

1 引言

价格歧视是指同一卖者的同一产品对不同买者或对同一买者不同购买数量或不同购买顺序收取不同的价格。该理论是由英国著名经济学家福利经济学之父庇古（Arthur Cecil Pigou，1877-1959）在1920年出版的代表作《福利经济学》一书中首次提出①Arthur Cecil Pigou，The Economics ofWelfare，London：Macmillan Company，1920.。由于在现代商业实践中获得了广泛的应用，该理论受到了诸多学者的关注，经过近一个世纪的发展，现已经取得了非常丰富的成果。根据占有消费者剩余的程度（歧视程度）的不同，价格歧视可分为一度二度和三度价格歧视。一度价格歧视是指厂商对每一单位商品收取一个不同的价格，该价格就是消费者愿意支付的最高价格（需求价格），厂商由此剥夺了全部消费者剩余，获取了最大利润。二度价格歧视是指厂商销售同一种商品时，根据消费者的需求曲线把需求量分为不同的区间，对较小的需求量索取较高的价格，对较大的需求量索取较低的价格，由此占有部分消费者剩余，利润得到增加。三度价格歧视是指同一个厂商在销售同一种商品时，把消费者划分为不同的子市场，收取不同的价格。三度价格歧视根据消费者的需求价格弹性（对价格反应的敏感程度）的不同分别制定不同的价格，对弹性高的人群制定低价，对弹性低的人群制定高价，由此获取更大的利润。一度价格歧视很简单，其研究也最透彻，本质上就是消费者的全部剩余都转化为厂商的利润，其歧视程度是最高的，因而也被称为完全价格歧视。一度价格歧视与单一定价（不进行价格歧视）相比能提高经济效率，增加社会福利，使市场近于完全竞争市场。不过一度价格歧视过于理想化，在现实经济生活中很难找到。对二度价格歧视的研究也已基本完备。文②唐小我：《二度价格歧视情形下垄断厂商收益最大化条件》，《电子科技大学学报》1997年第2期，第194-198页。③唐小我：《非线性需求函数条件下二度价格歧视研究》，《电子科技大学学报》1999年第1期，第78-83页。④唐小我：《二度价格歧视的进一步研究》，《管理科学学报》2001年第1期，第7-11页。研究了经典的完全垄断市场二度价格歧视的方法和规律；文⑤陈绍刚，唐小我，赵蜀蓉：《两厂商情形下的二度价格歧视的纳什均衡》，《系统工程理论方法应用》2003年第4期，第303-306页。⑥陈绍刚：《两类差别定价方法的理论拓展及应用研究》，电子科技大学博士论文，2004年。⑦高兴佑：《寡头厂商二度价格歧视静态与动态博弈分析》，《曲靖师范学院学报》2003年第6期，第25-28页。⑧高兴佑：《二度价格歧视的数理经济分析》，电子科技大学硕士学位论文，2003年。指出寡头垄断市场也存在二度价格歧视，提出了该市场类型二度价格歧视的分析方法：博弈论的方法；文①陈绍刚，高兴佑，唐小我：《竞争条件下二度价格歧视均衡的进一步研究》，《2005中国控制与决策学术年会论文集》，哈尔滨，2005年，第1726-1728页。②GAO Xing-you，GAO Wen-jin.Nash Equilibrium of Second-Degree Price Discrim ination in Oligopoly Market，Proceedings of 2012 International Conference on Computer and Management，Scientific Research Publishing，USA，2012，Vol.2：783-788.研究了两寡头n段定价二度价格歧视的纳什均衡；文③顾婧，陈绍刚：《古诺模型的多厂商二度价格歧视行为研究》，《电子科技大学学报》2007年第2期，第470-472页。④高兴佑，高文进：《价格歧视下四种市场的均衡产量和价格》，《经济数学》2011年第1期，第81-84页。则研究了m个厂商二段定价二度价格歧视的纳什均衡。二度价格歧视研究的主要结论如下。从厂商的角度来看，第一，线性需求下m个厂商情形厂商收益最大化的充分必要条件是，把需求量区间分为n段，使各段长度呈公比为的等比数列。第二，线性需求下m个厂商n段定价最优（或均衡）分段点的分布规律被找到了，均衡歧视价格，均衡歧视总收益的统一的计算公式也被找到了。第三，在完全垄断市场，当分段数n→∞时厂商可以占有全部的消费者剩余，此时二度价格歧视转化为一度价格歧视；在寡头垄断或垄断竞争市场由于竞争的影响厂商只能占有部分的消费者剩余；而在完全竞争市场价格歧视将不可实施。从消费者的角度来看，二度价格歧视下厂商能占有部分的消费者剩余，从而侵害了消费者的利益。从全社会的角度来看，二度价格歧视比单一定价能提高经济效率增加社会福利。

在三度价格歧视的研究方面，文⑤唐小我，付崇伦：《价格歧视有效性研究》，《电子科技大学学报》1996年第2期，第200-205页。-⑥唐小我：《三度价格歧视的数量分析》，《管理工程学报》1999年第1期，第37-39页。对经典的完全垄断市场进行了深入的分析，研究得非常透彻。主要结论有，第一，在完全垄断市场三度价格歧视的方法。第二，在完全垄断市场实施三度价格歧视与统一定价（不进行价格歧视）相比，最优产量，价格和利润的关系。第三，在完全垄断市场三度价格歧视有效（利润增加）或可实施的充要条件。实际上三度价格歧视不仅仅会发生在完全垄断市场，也会发生在寡头垄断市场。文⑦王伟：《三度价格歧视理论及福利效应分析》，电子科技大学硕士论文，2005年。-⑧王伟，陈绍刚：《两厂商情形下三度价格歧视的有效性研究》，《电子科技大学学报》2007年第2期，第482-484页。用博弈论的方法研究了这个问题，得到了两厂商在2元市场价格歧视的方法和利润的计算公式，并得到了价格歧视有效的条件。两厂商2元市场是一个有代表性的情形，然而不是最一般的情形，最一般的情形是两厂商n元市场（任意多个子市场）。本文将基于古诺（Antoine Augustin Cournot）模型（该模型假设厂商的成本为0，这样利润最大化问题就转化为收益最大化问题），用完全信息静态博弈的方法⑨唐小我，曾勇，李仕民：《管理经济分析——理论及应用》，成都：电子科技大学出版社，2000年。-14谢识予：《经济博弈论》（第2版），上海：上海三联书店，复旦大学出版社，2002年。来研究线性需求下两厂商在n元市场实施三度价格歧视的规律，并得到歧视定价与统一定价相比较的均衡产量，均衡价格和均衡总收益之间的关系。最后，我们还将发现三度价格歧视的各个均衡量随着子市场个数变化的规律。

2 歧视定价

假设寡头厂商1和2生产同样的产品，面对n个相互隔离的子市场1，2，…，n，子市场需求函数均为线性需求函数Pi=ai-biQi（ai＞0，bi＞0，i=1，2，…，n）。设厂商1和2在n个子市场的产量（销量）分别为Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）和Q1（2），Q2（2），…，Qn（2）。Q1=Q1（1）+Q1（2）为市场1的需求量，市场价格相应为P1=a1-b1Q1；Q2=Q2（1）+Q2（2）为市场2的需求量，市场价格相应为P2=a2-b2Q2；…；Qn=Qn（1）+Qn（2）为市场n的需求量，市场价格相应为Pn=an-bnQn。在符号的使用上，上标指厂商，下标指市场。厂商1和2的收益分别为：

两厂商同时决策，以最大化自己的收益，则这是一个完全信息静态博弈。厂商1在厂商2产量Q1（2），Q2（2），…，Qn（2）给定的条件下确定自己的产量Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）以使TR（1）最大；同样，厂商2在厂商1产量Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）给定的条件下确定自己的产量Q1（2），Q2（2），…，Qn（2）以使TR（2）最大。设Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）；Q1（2），Q2（2），…，Qn（2）是本博弈的纳什均衡，则（Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）；Q1（2），Q2（2），…，Qn（2））必是最大化问题

定理2两实力相当寡头厂商在n个子市场的需求函数为线性需求Pi=ai-biQi（i=1，2，…，n）的条件下歧视定价，同时决策确定自己的产量，以使各自的收益最大，各个均衡量的计算公式为

定理3两寡头厂商市场在线性需求和歧视定价的条件下，新增的子市场数n越多，厂商的均衡产量越大，均衡收益也越大；同时，市场的均衡总产量越大，均衡总收益也越大。厂商按需求的价格弹性由小到大的顺序依次向新增子市场供货可获更大的利润。

3 统一定价

市场总需求量为：

因两厂商的产量相同，可以认为它们的实力相当。

此时，市场总产量为：

上面的结果可以归结为下面的两个定理：

定理4两实力相当寡头厂商在n个相互隔离的子市场统一定价，以使各自的收益最大化，在各个子市场的需求函数为线性函数Pi=ai-biQi（i=1，2，…，n）的条件下，各个最优量的计算公式如下：

4 歧视定价和统一定价的比较

通过比较统一定价和歧视定价时的均衡产量，均衡价格和均衡收益，我们可以得到若干重要的结论，现归纳如下。

定理6在n个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下，两实力相当寡头厂商统一定价和歧视定价收益最大化的均衡总产量相同，因而，两实力相当寡头市场在统一定价和歧视定价情形的均衡总产量也相同。

定理7在n个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下，两实力相当寡头实施或不实施三度价格歧视，其总成本都相同，因而它们歧视定价时利润增量与成本无关。

定理8在两个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下，两寡头厂商市场统一定价的均衡价格是歧视定价时n个子市场的均衡价格的加权平均。

证明：统一定价时的最优价格故P*是Pid*的加权平均。

定理9在n个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下，两实力相当寡头厂商三度价格歧视有效（利润增加）的充要条件是

不全相等。

定理10在n个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下，两实力相当寡头厂商歧视定价与统一定价相比，利润只会增加，不会减少。

证明：只证厂商1的情况，厂商2的情况完全类似。厂商1歧视定价的均衡利润与统一定价的均衡利润之差为：

由上式可知Δπ（1）*=0成立的充要条件是：

当a1，a2，…，an不全相等时，Δπ（1）*＞0。这样就证明了结论定理9和定理10。

由定理10显然可以很容易地推出一个重要的结论。

定理11在总市场既定且可以细分为线性子市场的情况下，市场分得越细，则厂商获取的利润越多。

5 结束语

本文基于古诺模型（假设两厂商的成本均为0），用完全信息静态博弈的方法分析了两寡头在n元市场实施三度价格歧视的方法和规律。得到了厂商，子市场以及总市场的均衡量的计算公式；价格歧视有效（利润增加）的条件；统一定价与歧视定价相比，市场均衡产量，均衡价格以及均衡总收益的关系。文①王伟：《三度价格歧视理论及福利效应分析》，电子科技大学硕士学位论文，2005年。-②王伟，陈绍刚：《两厂商情形下三度价格歧视的有效性研究》，《电子科技大学学报》2007年第2期，第482-484页。给出的是两寡头2元市场的代表性的情形，本文给出的是两寡头n元市场的最一般的情形，并且找到了统一定价与歧视定价相比，市场均衡产量，均衡价格以及均衡总收益的关系。我们发现，这些结果与唐小我教授在文③唐小我，付崇伦：《价格歧视有效性研究》，《电子科技大学学报》1996年第2期，第200-205页。-④唐小我：《三度价格歧视的数量分析》，《管理工程学报》1999年第1期，第37-39页。中用微积分的方法研究经典的完全垄断市场三度价格歧视得出的结论是完全一致的。

Nash equilibrium of third-degree p rice d iscrim ination under the cond ition of 2 enterp rises w ith n sub m arkets

GAO Xing-you

Equilibrium output,equilibrium price and equilibrium total revenue in the case of imp lementing third-degree price discrim ination and unified pricing were analyzed under the condition of 2 enterprises with n sub markets by complete information static gamemethod,and the relationship between the three indexes of the two cases were studied.The results showed that,under the condition of linear demand functions of the n sub markets,the equilibrium output of unified pricing was equal to the equilibrium output of discrim inative pricing;the equilibrium price of unified pricing was weighted average of the equilibrium prices of n sub markets while discriminative pricing;the equilibrium total revenue of unified pricing was less than the equilibrium total revenue of discrim inative pricing.

oligopoly market；third-degree price discrimination；complete information static game；Nash equilibrium；Cournotmodel

F224

A

1009-9530（2014）01-0001-05

2013-10-01

高兴佑（1975-），男，云南曲靖师范学院教授，主要研究方向为：经济数学，价格理论，宏观调控。