李守巨,李 德,武 力,曹丽娟

(1.大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连 116024;2.大连交通大学机械工程学院,辽宁大连 116028;3.大连海洋大学机械与动力工程学院,辽宁大连 116023)

非均质岩石单轴压缩试验破坏过程细观模拟及分形特性

李守巨1,李 德1,武 力2,曹丽娟3

(1.大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连 116024;2.大连交通大学机械工程学院,辽宁大连 116028;3.大连海洋大学机械与动力工程学院,辽宁大连 116023)

为了细观模拟非均质岩石试样单轴压缩试验的破坏过程,提出了一种新的有限元数值模拟方法。该方法以莫尔-库仑破坏准则为基础,将岩石视为非均质和准脆性材料,并假定岩石单元的抗剪强度参数服从正态分布。有限元细观模拟结果表明,岩样非均质性对本构关系曲线形状有显著影响,模拟的应力-应变曲线与试验曲线基本吻合。基于分形几何理论,采用计盒维数方法计算单轴压缩试验不同荷载条件下的岩石破坏分形维数,建立了分形维数与顶部位移之间的非线性演化模型。分形分析研究表明,岩石试样的破坏过程具有分形特性,分形维数可用来定量地表征单轴压缩试验岩样破坏过程。

非均质岩石;单轴压缩试验;分形特性;有限元;莫尔-库仑准则;计盒维数

Key words:inhomogeneous rock;uniaxial compression test;fractal characteristics;finite element method;Mohr-Coulomb fracture criterion;box-counting dimension

岩石是由多种矿物组成的非均质体,含有大量的节理和裂隙,从微观和细观的角度来衡量,岩石具有非均质性、各向异性和不连续性等特性。研究表明,在单轴压缩情况下,岩石试样的破坏过程是随分布强度参数的岩石颗粒的刚度逐渐劣化的结果。从连续介质力学观点分析,岩石试样的破坏方式可以归结为压缩破坏、拉伸破坏和剪切破坏等方式。关于岩石试样和岩体结构的破坏过程与机理已经进行了广泛研究,取得了许多研究成果。Zhao[1]采用试验方法研究了岩石试样裂纹的萌生和扩展过程,确定了裂纹分形维数与应力之间的关系,建立了岩石分形损伤本构模型。Innaurato等[2]采用实验和数值模拟相结合的方法研究了TBM滚刀的破岩过程,建立了滚刀贯入深度与贯入力之间的关系,研究了滚刀作用下岩石的剪切破坏问题。Li等[3]建立了表征岩石宏观变形与细观断裂之间关系的本构模型,并使用该模型研究了岩石微裂纹扩展、非线性变形、加载-卸载过程的滞变现象以及弹性模量和泊松比的变化等问题。夏毅敏等[4]利用虚拟样机技术,采用Pro/E软件三维参数化建模,ADAMS软件可视化仿真,建立了一个钴结壳螺旋采集式采矿头的虚拟样机。结合虚拟样机和相似理论建立了一个具有双螺旋线、可安装36个截齿的采矿头试验台,并通过大量试验验证了所建立虚拟样机的正确性。Jiang等[5]指出了含有节理岩体的地下结构开挖的变形和失稳机理是由这些结构面的几何分布特性所控制的,并采用计盒维数方法定量化评估了结构面分布的分形特性。Harthong等[6]采用离散元和离散裂隙网络耦合模型数值模拟了岩石试样三维压缩试验的破坏过程,研究了岩体的强度特性并指出裂隙岩体的变形机理主要取决于裂隙强度。朱万成等[7]采用RFPA软件、并假定岩石的弹性模量和强度指标服从Weibull分布,数值模拟了地下结构围岩裂隙的萌生、扩展和贯通过程。Liu等[8]数值模拟了单压头和双压头两种工况下的破岩过程,提出了通过优化压头间距形成较大岩块的可能性,从而控制裂纹的扩展方向,实现降低岩石破碎比功的目的。黄达等[9]基于不同卸荷速率和初始围压条件下三轴高应力大理岩卸围压试验,结合分形理论和能量原理,研究了高应力卸荷条件下岩石破裂块度分布规律及其与能量耗散和释放的相关性。分形理论已经应用于采动裂隙网络实时演化特性表征、砂岩细观力学效应分析、三维空间岩石裂纹分形表征和煤岩冲击破碎块度特征分析等岩石力学领域[10-14]。

尽管如此,还有许多问题没有得到很好解决。本文的目的在于提出一种基于有限元理论的岩石破坏过程细观数值模拟方法,数值模拟非均质岩石试样单轴压缩试验破坏过程,研究岩石破坏过程的分形表征方法,建立荷载与分形维数之间的非线性映射关系模型。

1 非均质岩石试样单轴压缩试验的有限元细观模拟

岩石试样单轴压缩试验如图1所示,H为岩样高度,W为岩样宽度,P为顶部垂直荷载。

图1 岩石试样单轴压缩试验Fig.1 Rock specimen under uniaxial compression test

将岩石试样离散为有限元单元模型。在加载过程中,每个单元的应力状态如图2所示。

图2 单元可能破坏面的法向和切向应力Fig.2 Normal and tangent stresses in some plane for any element

根据力的平衡原理,单元法向应力和切向应力与主应力之间的关系为

式中,σN为单元可能破坏面的法向应力;σT为单元可能破坏面的切向应力;σ1为有限元计算得到的单元第3主应力(取负号),即岩石力学中的大主应力; σ3为有限元计算得到的单元第1主应力(取负号),即岩石力学中的小主应力;α为每个单元最可能破坏面外法线与垂直轴的夹角,即破坏面与水平轴的夹角,其大小与单元的内摩擦角有关。

为表征单轴压缩试验岩样的剪切破坏特性,采用Mohr-Coulomb准则来评价岩石的破坏与否,岩石单元的Mohr-Coulomb破坏准则为

式中,c为岩石材角。

非均质岩石试样单轴压缩试验模拟分析是在ANSYS有限元软件平台上完成的,编写了APDL参数化语言程序。岩石为中晶大理岩,粒径为 1～4 mm,平均粒径为1.5 mm,实际岩石试样的尺寸为高100 mm、直径50 mm[15]。考虑到轴对称性,有限元模型简化为二维模型,其高100 mm、宽50 mm,如图1所示。有限元模型网格尺寸为1 mm,与岩石颗粒的粒径相近,共划分为5 000个单元。

有限元细观模拟岩石试样的基本力学特性参数引自文献[15],详见表1,表中抗剪强度指标参数为平均值。为表征岩石材料的非均质性、各向异性、不连续性等特性,假定岩石单元抗剪强度指标c,φ满足正态分布[16],并利用其平均值与标准差随机生成5 000个不同c和φ值,并赋给5 000个单元,进而实现对每个单元赋予不同的抗剪强度指标以模拟真实岩石材料的非均质性等特性。为模拟岩石试样的加载过程,在有限元模型的顶部施加垂直位移荷载,位移加载步长为0.025 mm,共计20个加载步,累计垂直位移为0.50 mm。

表1 岩石试样力学性能参数[15]Table 1 Basic mechanical properties for rock specimen[15]

根据Mohr-Coulomb剪切破坏准则,在每个荷载步分别判断有限元模型中每个单元的当前应力状态,当满足Mohr-Coulomb剪切破坏准则即式(4)时,认为该单元破坏,进而修改破坏单元的材料属性,对破坏单元的弹性模量进行刚度弱化处理。根据损伤力学理论,破坏后单元的弹性模量为

其中,EF为破坏后单元的弹性模量;R为破坏比[7];E为单元未破坏时的弹性模量;Df为损伤指标,Df=0,表示单元处于无损伤状态,Df=1,表示单元完全丧失抵抗变形的能力,Df的大小与岩石的脆性性质、延性性质以及荷载大小相关。在三轴压缩条件下,损伤指标还与围压相关。在实际问题中,由于相邻单元的约束作用,岩样局部破坏后,单元的弹性模量不可能立即降为0,也就是说满足Mohr-Coulomb剪切破坏准则的单元仍具有部分抵抗变形的能力,其损伤指标不可能马上变为1,根据相关文献,本文取破坏比R= 1[7]。

在岩石内聚力标准差为5.0 MPa,内摩擦角标准差为5.0°的情形下有限元模拟非均质岩石试样破坏的过程如图3所示,其中,颜色较深部分的单元为破坏单元。有限元细观模拟结果表明,岩石试样单轴压缩破坏形成了一系列剪切破坏带,剪切带外法线与垂直轴的夹角约为45°,而实验值为60°左右[15],数值模拟结果与实验结果基本一致。

图3 不同荷载条件下岩石试样破坏区域Fig.3 Distributions of fracturing region of rock specimen in different load case

不同剪切强度参数标准差下数值模拟的顶部荷载与顶部位移关系曲线与试验曲线对比如图4(a)所示,模拟的应力-应变曲线与试验曲线对比如图4(b)所示。其中,模拟曲线1代表的岩样剪切强度参数内聚力标准差 Sc=5.00 MPa,内摩擦角标准差 Sφ= 5.00°;模拟曲线2代表的岩样剪切强度参数标准差Sc=2.50 MPa,Sφ=2.50°;模拟曲线3代表的岩样剪切强度参数标准差Sc=1.25 MPa,Sφ=1.25°。由模拟曲线3计算岩石抗压强度为122 MPa,而实验值为114 MPa,相对误差为7%,两者比较接近。

图4 模拟曲线与试验曲线对比Fig.4 Comparisons between simulated curves and test curves

由图4(b)可以看出,岩石试样的非均质性对模拟曲线的结果有明显的影响,随着剪切强度参数标准差数值的降低,模拟曲线的峰值强度逐渐增大,其峰后曲线越来越陡,应力跌落程度加剧。岩样破坏具有明显的脆性破坏特征,这与有限元模拟将岩样视为准脆性材料假设相符,试验曲线则具有一定的延性破坏特征。模拟曲线与试验曲线在弹性阶段十分吻合,在峰后残余强度阶段体现出不同的破坏特性。峰后残余强度阶段,当岩样接近破坏时,模拟曲线会有一个缓慢上升的趋势,这与实验值差异较大。其原因在于当岩样接近破坏时,其破坏比R可能会急剧下降,R随着轴向应变的增加而减小,但在数值模拟模型中始终假定为一常数。

为了进一步验证所提出模拟方法的有效性,数值模拟了一个算例,其中大理岩样应力-应变试验曲线数据引自文献[17],相关计算参数见表2,取破坏比R=0.1。

表2 第2个岩石试样力学性能参数Table 2 Mechanical properties of the second rock specimen

有限元细观模拟曲线与试验曲线对比如图4(c)所示。其中,岩样剪切强度参数标准差为 Sc= 1.25 MPa,Sφ=1.25°。由图4(c)可看出,模拟曲线与试验曲线在弹性阶段十分吻合,在峰后残余强度阶段有所差别。由模拟曲线计算岩石抗压强度为134 MPa,而文献[17]所给岩石抗压强度对应为130 MPa,相对误差为3%,两者十分相近。有限元模拟结果与算例结果吻合地较好,进一步验证了数值模拟方法的有效性。

2 非均质岩石试样破坏过程的分形特性

式中,Ds为破坏区域的自相似分形维数;r为正方形盒子边长;N(r)为用边长为r的正方形盒子覆盖整个图形中破坏区域所需盒子的数目。

非均质岩石试样单轴压缩试验破坏分形维数的计算是在Matlab数值计算软件平台上完成的,编写了Matlab语言程序。算法主要流程如下:①前处理。读入原始图像,图像灰度化预处理,图像二值化预处理,存储相关数据;②求解。以边长r大小的正方形盒子覆盖二值图,统计岩样破坏区域正方形盒子数N(r),保存相关数据,其中,取r=0.14,0.28,0.56, 1.11,2.22,4.44,8.89,17.78 mm;③ 后处理。对r和N(r)取双对数坐标进行回归分析,得到回归方程

式中,a,b为常数,b值即为岩石破坏分形维Ds,其与方程log N(r)=log a-blog r是等价的,只需对式(7)两边求对数即可。

由图3可以看出,单轴压缩试验岩石试样破坏区域的发展过程具有统计自相似性,近似符合分形特性,可用分形维数表征。顶部位移为0.30 mm时的岩石破坏区域的分形特性拟合曲线如图5所示,相关系数R2=0.997 2,说明分形维数具有较高的可信度,分形维数Ds约为1.867 1。

分形理论可有效描述自然界中许多外表不规律事物的内在规律性,在生物学、物理、化学、天文学、经济学、岩土工程、计算机图形学等诸多领域展现出其独特的应用前景[18-19]。

分形维数是分形理论的核心内容之一,其使用分数维代替传统欧式空间的整数维,能够定量地表征具有非整数值维数的事物,如Cantor集、Koch曲线等经典分形。分形维数具有多种定义方式,本文采用自相似分形维数,也称为盒维数或计盒维数(box-counting dimension),计算公式如下:

图5 顶部位移为0.30 mm时的破坏区域的分形特性Fig.5 Fractal characteristics of fracturing region with a top displacement of 0.30 mm

不同顶部位移情形下岩样破坏分形维数演化曲线如图6所示。由图6可看出,岩石试样加载过程中破坏分形维演化曲线受岩样非均质性影响显著。其中,分形曲线1代表的岩样剪切强度参数标准差Sc= 5.00 MPa,Sφ=5.00°;分形曲线2代表的岩样剪切强度参数标准差Sc=2.50 MPa,Sφ=2.50°;分形曲线3代表的岩样剪切强度参数标准差Sc=1.25 MPa,Sφ= 1.25°。随着岩样剪切强度参数标准差的降低,岩石试样的力学特性趋于更均匀,破坏单元开始出现时的顶部位移增大,在3组不同标准差条件下分别为0.125,0.175,0.200 mm。同时,随着岩样剪切强度参数标准差的降低,破坏分形维演化曲线变得越来越陡。分形维数曲线最后趋于稳定,随着顶部位移的增加分形维数基本保持不变,表明岩样已经完全破坏。对应3组不同的岩样剪切强度标准差,岩样完全破坏时的分形维数分别为1.840,1.850和1.924。说明随着岩样非均质性降低,岩样完全破坏分形维数增大,分形维数有效地表征了单轴压缩试验岩样破坏的特性。

图6 岩石试样加载过程中破坏分形维数演化曲线Fig.6 Evolutional curves of fractal dimensions forfracturing process of rock specimen

岩石试样加载过程中破坏分形维数随荷载演化过程可采用Sigmoid型演化模型来表征[19],表达式为

式中,Dmax,Dmin,α,dt,dt0为分形维数演化模型中的参数,采用回归分析方法确定,见表3。

表3 分形维数Sigmoid演化模型中的参数Table 3 Model parameters of evolutional process of fractal dimension

岩样破坏分形维数演化模型预测值与理论值对比如图7所示。由图7可看出,岩样破坏分形维数演化模型预测值与理论值基本吻合,验证了该演化模型的有效性。

图7 岩样破坏分形维数演化模型预测值与理论值对比Fig.7 Comparison between predicted values and theoretical ones for fracturing process of rock specimen

3 结 论

(1)提出了非均质岩石压缩试验细观模拟方法, 2个数值算例模拟的岩石极限抗压强度与实验值的相对误差分别为3%和7%,验证了数值模拟方法的有效性。

(2)研究结果表明,非匀质岩样单轴压缩破坏具有统计自相似性,岩石试样的非均质性对破坏分形维数演化模型参数有较大影响,分形维数可有效地表征岩石试样的破坏特性。

(3)建立了岩石破坏过程的分形维数Sigmoid演化模型,采用非线性回归分析方法确定了模型中的参数,该模型能够计算分形维数随着岩石试样破坏过程的变化规律。

(4)进一步的研究工作包括进行三轴压缩条件下岩石破坏过程分形特性分析和建立破坏分形维数演化模型参数与岩石力学特性参数之间的映射关系。

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Meso-simulation and fractal characteristics for uniaxial compression test of inhomogeneous rock

LI Shou-ju1,LI De1,WU Li2,CAO Li-juan3
(1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China;2.Institute of Mechanical Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China;3.School of Mechanical and Power Engineering,Dalian Ocean University,Dalian 116023, China)

In order to simulate fracture process of inhomogeneous rock specimen in meso-scale under uniaxial compression test,a new numerical simulation procedure based on finite element method was proposed.The simulation procedure was based on Mohr-Coulomb fracture criterion.Taking rock specimen as inhomogeneous and quasi-brittle material,the shear strength parameters of rock element were subjected to normal distribution.The FEM analysis investigation shows that inhomogeneity of rock specimen has a significant influence on the simulated stress-strain curve and the simulated curve agrees well with the experimental curve.Based on fractal theory,the fractal dimension of rock fracture for different displacement was calculated by using box-counting dimension method.The nonlinear relationship between fractal dimension and displacement at the top was proposed.The fractal analysis investigation show that the fracture of rock specimen has fractal characteristics.Fractal dimension can be used to quantitatively characterize the fracture process of rock specimen under uniaxial compression test.

TD315

A

0253-9993(2014)05-0849-06

李守巨,李 德,武 力,等.非均质岩石单轴压缩试验破坏过程细观模拟及分形特性[J].煤炭学报,2014,39(5):849-854.

10.13225/j.cnki.jccs.2013.0673

Li Shouju,Li De,Wu Li,et al.Meso-simulation and fractal characteristics for uniaxial compression test of inhomogeneous rock[J].Journal of China Coal Society,2014,39(5):849-854.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2013.0673

2013-05-20 责任编辑:常 琛

国家重点基础研究发展计划(973)资助项目(2013CB035402);国家自然科学基金资助项目(51105048);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(DUT13LK14)

李守巨(1960—),男,辽宁沈阳人,教授,博士。E-mail:lishouju@dlut.edu.cn